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1、1章末综合测评章末综合测评( (二二) ) 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线 3x2y29 的焦距为( )A. B2 66C2 D433D D 方程化为标准方程为1，x2 3y2 9a23，b29，c2a2b212，c2，2c4.332抛物线y24x的焦点到双曲线x21 的渐近线的距离是( ) y2 3【导学号：97792116】A. B. 1 232C1 D.3B B 抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21 的渐近线xy0 的
2、距离y2 33为，故选 B.| 3 11 0| 3212323已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为x2 a2y2 b2F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A. B. 1 255C. D.21 45A A 由题意可得 2|F1F2|AF1|F1B|，即 4cacac2a，故e .c a1 24双曲线1(mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，x2 my2 n则mn的值为( )A. B. 3 163 8C. D.16 38 32A A 抛物线的焦点为(1,0)，由题意知2.1m即m ，则n1 ，从而m
3、n.1 41 43 43 165已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1Bx2 a2y2 b2的周长为 16，椭圆的离心率e，则椭圆的方程是( )32A.1 B.1x2 4y2 3x2 16y2 3C.1 D.1x2 16y2 12x2 16y2 4D D 由椭圆的定义知|AF1|BF1|AB|4a16，a4.又e ，c2，b242(2)24，椭圆的方程为1.c a3233x2 16y2 46过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A8 B16 C32 D64B B 抛物线中 2p8，p4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾
4、斜角为 45的直线方程为yx2，由Error!得x212x40，则x1x212(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)从而弦长为x1x2p12416.7已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点x2 a2y2 b23在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为( )7A.1 B.1x2 21y2 28x2 28y2 21C.1 D.1x2 3y2 4x2 4y2 3D D 由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得 2.b a33b a由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得a2b277.a2b27由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.3x2 4y2 3
5、8已知定点A(2,0)，它与抛物线y2x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )Ay22(x1) By24(x1)Cy2x1 Dy2 (x1)1 23D D 设P(x0，y0)，M(x，y)，则Error!所以Error!由于yx0，所以 4y22x2，2 0即y2 (x1)1 29已知是ABC的一个内角，且 sin cos ，则方程x2sin y2cos 3 41 表示( ) 【导学号：97792117】A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆D D sin cos ，sin cos .为ABC的一个内角，sin 3 47 320，cos cos
6、0，0，方程x2sin y2cos 1 cos 1 sin 1 是焦点在y轴上的椭圆10设圆锥曲线 的两个焦点分别为F1，F2.若曲线 上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线 的离心率等于( )A. 或 B. 或 21 23 22 3C. 或 2 D. 或1 22 33 2A A 设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ；若圆锥曲线为双曲线，则由|F1F2| |PF1|PF2|3 421 2双曲线的定义，得e .综上，所求的离心率为 或 .故选 A.|F1F2| |PF1|PF2|3 423 21 23 211已
7、知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )Ax21(x1)y2 8Bx21(x0)y2 8Dx21(x1)y2 104A A 设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422，点P的轨迹是以M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，b28.故双曲线的方程是x21(x1)y2 812已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线x2y21 的渐近线与椭圆x2 a2y2 b232C有四个
8、交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C的方程为( )A.1 B.1x2 8y2 2x2 12y2 6C.1 D.1x2 16y2 4x2 20y2 5D D 因为椭圆的离心率为，所以e ，c2a2a2b2，所以b2a2，即32c a323 41 4a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即x2 a2x2 b21，所以x2b2，xb.所以yb，则在第一象限，双曲线的渐x2 4b2x2 b25x2 4b24 52525近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为 4bbb216，所(25b，25b)252516 5以b25，所以椭圆C的方程为1，选 D.x2 20
9、y2 5二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13设F1，F2为椭圆1 的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在yx2 9y2 5轴上，则的值为_|PF2| |PF1|因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为5 13，所以|PF2| ，则|PF1|2a|PF2|，.(2， 5 3)5 313 3|PF2| |PF1|5 1314如图 1 所示，已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作ABl于B，|AK|AF|，则AFK的面积为2_. 【导学号：977921
10、18】5图 18 由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)(y00)，过点A作ABl于B，B(2，y0)，|AF|AB|x0(2)x02，|BK|2|AK|2|AB|2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面积为 |KF|y0| 448.1 21 215如图 2 等边三角形OAB的边长为 8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)3上，则抛物线E的方程为_图 2x24y 依题意知，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 3043，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在抛物线E：x22py(p0)上，所以(4)3
11、3322p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.16如图 3，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为x2 a2y2 b2圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_图 31 如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知3AF2F130.易知AF1F2为直角三角形，则6|AF1| |F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，从而双曲线的离心率e 1.1 233c a3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知直线yx4 被抛物线y22mx(
12、m0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程2解 设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)由Error!得x22(4m)x160，所以x1x22(4m)，x1x216，所以弦长为1k2x1x22244m24 162.2m28m由 26.2m28m2解得m1 或m9.经检验，m1 或m9 均符合题意所以所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.18(本小题满分 12 分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，x2 100y2 b2P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值.64 33【导学号：97792119】
13、解 (1)|PF1|PF2|100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)，(|PF1|PF2| 2)2|PF1|PF2|的最大值为 100.(2)SF1PF2 |PF1|PF2|sin 60，1 264 33|PF1|PF2|，256 3由题意知：Error!3|PF1|PF2|4004c2.由得c6，b8.19(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为 4 的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切(1)求圆C的方程；7(2)若椭圆1 的离心率为 ，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在x2 25y2 b24 5点P，使得PF1F2为直角三角形？若存在，请指出
14、共有几个这样的点？并说明理由解 (1)依题意，设圆的方程为(xa)2y216(a0)圆与y轴相切，a4，圆的方程为(x4)2y216.(2)椭圆1 的离心率为 ，x2 25y2 b24 5e ，解得b29.c a25b254 5c4，a2b2F1(4,0)，F2(4,0)，F2(4,0)恰为圆心C，()过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2(图略)，则P1F2F1P2F2F190，符合题意；()过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，连接CP3，CP4(图略)，则F1P3F2F1P4F90，符合题意综上，圆C上存在 4 个点P，使得PF1F2为直角三角形20(本小题满分 12 分)
15、已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在x2 a2y2 b2222C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解 (1)由题意，得，又点(2，)在C上，所以1，两方程联a2b2a2224 a22 b2立，可解得a28，b24.所以C的方程为1.x2 8y2 4(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.x2 8y2 4故xM，yMkxMb.x1x2 22kb 2k21b
16、2k21所以直线OM的斜率kOM，所以kOMk .yM xM1 2k1 2故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值821(本小题满分 12 分)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与(0，1 2)抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解 (1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p .1 2所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x .(1 4，0)1 4(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx (k0)，l与抛物
17、线C的交点为1 2M(x1，y1)，N(x2，y2)由Error!得 4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.1k k21 4k2因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.y2 x2(x1，y2x1 x2)因为y12x1y2x1 x2y1x2y2x12x1x2 x2(kx11 2)x2(kx21 2)x12x1x2 x22k2x1x212x2x1 x20，2k2 1 4k21k 2k2 x2所以y12x1，y2x1 x2故A为线段BM的中点22(本小题满分 12 分)从椭圆1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好
18、通过椭x2 a2y2 b2圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率；(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求F1QF2的取值范围. 9【导学号：97792120】解 (1)依题意知F1点坐标为(c,0)，设M点坐标为(c，y)若A点坐标为(a,0)，则B点坐标为(0，b)，则直线AB的斜率k.(A点坐标为(a,0)，B点坐标为(0，b)时，同样有k)b ab a则有，y.y cb abc a又点M在椭圆1 上，x2 a2y2 b21.c2 a2y2 b2由得 ， ，c2 a21 2c a22即椭圆的离心率为.22(2)设|QF1|m，|QF2|n，F1QF2，则mn2a，|F1F2|2c.在F1QF2中，cos m2n24c2 2mn110.mn22mn2a2 2mna2 mn当且仅当mn时，等号成立，0cos 1，.0， 2即F1QF2的取值范围是.0，2