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1、线性代数二次型及线性代数二次型及其标准型其标准型第1页，本讲稿共27页一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型.第2页，本讲稿共27页只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）例如例如都为都为二次型；二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形.第3页，本讲稿共27页1 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法第4页，本讲稿共27页2用矩阵表示第5页，本讲稿共27页第6页，本讲稿共27页三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，
2、任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系第7页，本讲稿共27页解解例第8页，本讲稿共27页设设四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形第9页，本讲稿共27页证明证明即 为对称矩阵.第10页，本讲稿共27页说明第11页，本讲稿共27页第12页，本讲稿共27页用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
3、第13页，本讲稿共27页解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2第14页，本讲稿共27页从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组第15页，本讲稿共27页4将正交向量组单位化，得正交矩阵第16页，本讲稿共27页于是所求正交变换为第17页，本讲稿共27页解解例3第18页，本讲稿共27页第19页，本讲稿共27页第20页，本讲稿共27页第21页，本讲稿共27页第22页，本讲稿共27页五、小结五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二
4、次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第23页，本讲稿共27页化为标准型，并指出 表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题思考题第24页，本讲稿共27页思考题解答思考题解答第25页，本讲稿共27页第26页，本讲稿共27页第27页，本讲稿共27页