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1、线性代数线性代数 齐次线性方齐次线性方程组解的结构程组解的结构第1页，本讲稿共24页 本节所考虑的齐次线性方程组为本节所考虑的齐次线性方程组为简记为简记为一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间 主要讨论主要讨论 有非零解的情况。有非零解的情况。第2页，本讲稿共24页1.解的性质解的性质证明证明(1)由由 有有(2)由由 有有表明表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间(1)若若 为为 的解，的解，也是也是 的解。的解。则则 也是也是 的解。的解。故故
2、也是也是 的解。的解。即即(2)若若 为为 的解，的解，也是也是 的解。的解。则则 P118 定理定理4.3 第3页，本讲稿共24页1.解的性质解的性质2.解空间解空间称之为齐次线性方程组的称之为齐次线性方程组的解空间解空间，解空间解空间又称为又称为 A 的的零空间零空间或者或者 A 的的核核。启示启示说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次线性方程组的解。线性方程组的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间齐次线性方程组齐次线性方程组 的所有解构成一个向量空间，的所有解构成一个向量空间，定义定义记为记为 P1
3、18 第4页，本讲稿共24页二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法(1)线性无关；线性无关；满足：满足：(2)的任何一个解都可以由的任何一个解都可以由设设 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 的一组解，的一组解，定义定义1.基础解系基础解系线性表出。线性表出。称称 为方程组为方程组 的的(一个一个)基础解系基础解系。P118 定义定义 4.3第5页，本讲稿共24页二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系说明说明一组基础解系一组基础解系，其中其中 是任意常数。是任意常数。(1)齐次线性方程组的基础解系就是其齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基解空间的基，因此基础解系是因此
4、基础解系是不惟一不惟一的。的。(2)一组基础解系中所含的解向量的个数是一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一惟一的，的，其个数即为其个数即为解空间的维数解空间的维数。(3)如果如果 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 的的那么那么 的的通解通解可表示为可表示为 P119 第6页，本讲稿共24页不妨设不妨设 A 的前的前 r 个列向量线性无关，个列向量线性无关，二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法于是于是 A 可化为可化为设齐次线性方程组的系数矩阵设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为的秩为初等行变换初等行变换第7页，本讲稿共24页二、基础解
5、系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法相应地，齐次线性方程组相应地，齐次线性方程组 等价等价(或或同解同解)变形为变形为第8页，本讲稿共24页二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法进一步改写为进一步改写为其中其中是是自由未知量自由未知量，共有，共有(n-r)个。个。由此得到方程组由此得到方程组 A X=0 的的所有所有解为：解为：第9页，本讲稿共24页二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法其中，其中，任意取值。任意取值。第10页，本讲稿共24页
6、二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法令令第11页，本讲稿共24页二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法则则(1)是方程组的一组是方程组的一组线性无关线性无关的的解解，方程组的方程组的所有所有解可由解可由(2)线性表示，线性表示，即即因此因此 是方程组的一组基础解系。是方程组的一组基础解系。注：注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出基础解系，基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。只需按前面的求解过程完成即可。第12页，本讲稿
7、共24页二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法3.关于解空间的维数关于解空间的维数定理定理设设 A 为为 阶矩阵，阶矩阵，解空间解空间 的维数为：的维数为：推论推论设设 A 为为 阶矩阵，则阶矩阵，则(1)齐次线性方程组齐次线性方程组 A X=0 的任意的任意 个线性个线性无关的解都是它的无关的解都是它的(一个一个)基础解系。基础解系。(2)A X=0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是则齐次线性方程组则齐次线性方程组 A X=0 的的 P119 定理定理 4.4 P120 推论推论1 推论推论2 第13页，本讲稿共24页例例 求解齐
8、次线性方程组求解齐次线性方程组(1)对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形解解第14页，本讲稿共24页(2)由标准阶梯形得到方程组为由标准阶梯形得到方程组为(3)由此得到方程组的解：由此得到方程组的解：(4)写成向量形式为写成向量形式为:其中其中任意取值。任意取值。其中其中任意取值。任意取值。第15页，本讲稿共24页例例 求解线性齐次方程组求解线性齐次方程组解解初等行变换初等行变换故方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量。其基础解系中有三个线性无关的解向量。由于由于第16页，本讲稿共24页令自由未知量令自由未知量得到方程组
9、的一个基础解系为得到方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为其中其中 为任意常数。为任意常数。分别分别第17页，本讲稿共24页例例 求解线性齐次方程组求解线性齐次方程组解解初等初等行变换行变换两个线性无关的解向量。两个线性无关的解向量。故方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解，由于由于其中其中 为为自由未知量自由未知量。其基础解系中有其基础解系中有第18页，本讲稿共24页令自由未知量令自由未知量得到方程组的一个基础解系为得到方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为其中其中 为任意常数。为任意常数。分别分别第19页，本讲稿共24页(1)取取求该方程组解空间的标准
10、正交基求该方程组解空间的标准正交基附：附：(2)单位单位化化第20页，本讲稿共24页从而从而 B 的三个列线性相关，的三个列线性相关，故故例例设设 B 是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组的解，求的解，求 l l 的值和的值和解解由于线性齐次方程组由于线性齐次方程组 有非零解，有非零解，当当 时，时，即即 的基础解系中只含一个解向量，的基础解系中只含一个解向量，因此因此 P122 例例8 第21页，本讲稿共24页例例设设 A 为为 n 阶方阵，且阶方阵，且 r(A)=n-1，证明，证明证证由由 r(A)=n-1，有，有又由又由 A 中至少有一
11、个中至少有一个 n-1 阶子式不等于零，阶子式不等于零，故故即即 的每一列都是线性齐次方程组的每一列都是线性齐次方程组 的解，的解，(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过)根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得即即 的基础解系中只含一个解向量，的基础解系中只含一个解向量，不妨设为不妨设为有有则则 的每一列都是的每一列都是 的倍数，的倍数，第22页，本讲稿共24页例例设设 A 为为 阶实矩阵，证明阶实矩阵，证明证证(1)先证方程组先证方程组 和和 等价。等价。由由由由(2)由方程组由方程组 和和 等价，有等价，有(解空间相等解空间相等)P122 例例9 第23页，本讲稿共24页 轻松一下吧第24页，本讲稿共24页