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1、 北师版北师版 八年级下八年级下第六章平行四第六章平行四边形形素养集训素养集训 2构造三角形的中位线的五种方法构造三角形的中位线的五种方法习题链接习题链接提示：点击 进入习题答案显示答案显示1234见习题见习题5见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题见习题素养集训素养集训1如图，已知点如图，已知点B为为AC上一点，分别以上一点，分别以AB，BC为边在为边在AC同侧作等边三角形同侧作等边三角形ABD和等边三角形和等边三角形BCE，点，点P，M，N分别为分别为AC，AD，CE的中点的中点(1)求证：求证：PMPN；素养集训素养集训证明：如图，连接证明：如图，连接CD，AE.M，N，P分别是分别
2、是AD，CE，AC的中点，的中点，MP，NP分别是分别是ACD和和ACE的中位线的中位线PM DC，PN AE.ABD和和BCE都是等边三角形，都是等边三角形，ABDB，BEBC，ABDEBC60.ABEDBC.ABEDBC(SAS)AEDC.PMPN.素养集训素养集训解：如图，设解：如图，设PM交交AE于点于点F，PN交交DC于点于点G，AE交交DC于点于点H.由由(1)知知ABEDBC，BAEBDC.AHDABD60.FHG120.易知易知PNAE，PMDC，四边形四边形PFHG为平行四边形为平行四边形MPNFHG120.(2)求求MPN的度数的度数素养集训素养集训2如图，在如图，在ABC
3、中，中，AB6，AC10，AD平分平分BAC，BDAD于点于点D，点，点E为为BC的中点，求的中点，求DE的长的长素养集训素养集训解：如图，延长解：如图，延长BD交交AC于点于点F.AD平分平分BAC，BADFAD.BDAD，ADBADF90.又又ADAD，ADBADF(ASA)AFAB6，BDFD.AC10，CFACAF1064.E为为BC的中点，的中点，BDFD，DE是是BCF的中位线的中位线DE CF 42.素养集训素养集训3如图，在如图，在ABC中，中，ABC90，BABC，BEF为等腰为等腰直角三角形，直角三角形，BEF90，M为为AF的中点求证：的中点求证：ME CF.证明：如图，
4、延长证明：如图，延长FE至点至点N，使，使ENEF，连接连接BN，AN.易得易得ME AN.EFEN，BEF90，BFBN.素养集训素养集训BNFBFN.BEF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BEF90，BFN45，BNF45.FBN90，即，即FBAABN90.又又FBACBF90，CBFABN.在在BCF和和BAN中，中，BCFBAN(SAS)CFAN.ME CF.素养集训素养集训4如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，M，N分别是分别是AD，BC的中点，的中点，若若AB10，CD8，求，求MN长度的取值范围长度的取值范围解：如图，连接解：如图，连接BD并取并取BD的中点的中点P
5、，连接，连接PM，PN.M是是AD的中点，的中点，P是是BD的中点，的中点，PM是是ABD的中位线的中位线PM AB5.同理可得同理可得PN CD4.在在PMN中，中，PMPNMNPMPN，1MN9.素养集训素养集训5如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC于点于点D，点，点P是是AD的的中点，延长中点，延长BP交交AC于点于点N.求证：求证：AN AC.证明：如图，取证明：如图，取NC的中点的中点H，连接，连接DH，过点，过点H作作HEAD，交，交BN的延长线于点的延长线于点E.ABAC，ADBC，D为为BC的中点的中点又又H为为NC的中点，的中点，DH为为BCN的中位线的中位线DHBN.素养集训素养集训HEAD，四边形四边形PDHE是平行四边形是平行四边形HEPD.P为为AD的中点，的中点，APPD.APHE.易证易证APNHEN，ANNH.又又NHHC，ANNHHC.AN AC.