《新高考数学解答题预测秒杀：第04讲等差数列与等比数列的综合(学生版+解析版)125.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学解答题预测秒杀：第04讲等差数列与等比数列的综合(学生版+解析版)125.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 04 讲 等差数列与等比数列的综合 高考预测一：等差等比的证明 1已知数列na和 nb满足11a，10b，1434nnnaab，1434nnnbba（1）证明：nnab是等比数列，nnab是等差数列；（2）求na和 nb的通项公式；（3）令nnnancbn是奇数是偶数，求数列 nc的前n项和nS的通项公式，并求数列1nS的最大值、最小值，并指出分别是第几项 2已知等比数列na的公比12q （1）若314a，求数列na的前n项和；（2）证明，对任意kN，ka，2ka，1ka成等差数列 3已知数列na满足：对任意u，*vN，都有2uvuvaaa（1）若23692aaaa，求18a的值；（2）若
2、na是等比数列，求na的通项公式；（3）设*kN，3k，求证：若1ka，2ka，3ka，成等差数列，则1a，2a，ka也成等差数列 4已知数列na的前n项和为nS，满足1()2nnn aaS，*nN（1）求证：数列na是等差数列；（2）若数列na的公差不为 0，数列na中的部分项组成数列1ka，2ka，3ka，nka，恰为等比数列，其中11k，25k，317k，求数列nk的通项公式 高考预测二：等差等比的交汇问题 5已知等差数列na，2a，4a，25 成等比数列，6132()aaa（1）求数列na的通项公式；（2）在所有相邻两项ka与1(1kak，2，)之间插入k个2k，使它们和原数列的项构成
3、一个新的数列 nb，记数列 nb的前n项和为nS，求50S的值 6已知数列na满足：1221,2222nnnnananan为正奇数为正偶数（）问数列na是否为等差数列或等比数列？说明理由；（）求证：数列22nna是等差数列，并求数列 2na的通项公式；（）设21nnba，求数列 nb的前n项和nS 7已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列（）若31nan，是否存在m，*kN，有1mmkaaa？请说明理由；（）若(nnbaq a、q为常数，且0)aq 对任意m存在k，有1mmkb bb，试求a、q满足的充要条件 8 设na是等差数列，等比数列 nb的前n项和是nS，4212bb，
4、42323SSS 已知13a，331ab（）求na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足21,nnncbn为奇数为偶数，求1 12 23 322nnaca ca ca c(*)nN 9已知数列na，13a，且对任意*nN，都有212nnnaaa（1）设1nnnbaa，判断数 nb是否为等差数列或等比数列（2）若25a，1,2,nnnaa nc为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项的和2nS 10已知点(1,0)A，(0,1)B和互不相同的点1P，2P，3P，nP，满足*()nnnOPa OAb OB nN，其中na，nb分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若112APPB（1）求1P的坐标
5、；（2）试判断点1P，2P，3P，nP，能否共线？并证明你的结论 第 04 讲 等差数列与等比数列的综合 高考预测一：等差等比的证明 1已知数列na和 nb满足11a，10b，1434nnnaab，1434nnnbba（1）证明：nnab是等比数列，nnab是等差数列；（2）求na和 nb的通项公式；（3）令nnnancbn是奇数是偶数，求数列 nc的前n项和nS的通项公式，并求数列1nS的最大值、最小值，并指出分别是第几项【解答】解：（1）证明：11a，10b，11111abab又1434nnnaab，1434nnnbba，由可得：114()2()nnnnabab，即111(*)2nnnna
6、bnNab，数列nnab是首项为 1，公比为12的等比数列；由可得：114()4()8nnnnabab，即11()()2(*)nnnnababnN，数列nnab是首项为 1，公差为 2 的等差数列（2）解：由（1）知：11()(*)2nnnabnN，1 2(1)21(*)nnabnnnN，由整理得：1122nnan；由整理得：1122nnbn，故1122nnan，1122nnbn；（3）解：由（2）得11,2211,22nnnnncnn 为奇数为偶数，即111(1)()22nnncn 当n为偶数时，111()111111122(1)(2)(3)(4)(1)()112222222212nnnnS
7、nn ；当n为奇数时，111()1111111122(1)(2)(3)(4)(2)(1)1122222222212nnnnSnnn ，即1(1)1()22nnnnS 易知：1nS的最大值为111S，为第一项；最小值为214S，为第二项 2已知等比数列na的公比12q （1）若314a，求数列na的前n项和；（2）证明，对任意kN，ka，2ka，1ka成等差数列【解答】（1）解：由23114aaq，以及12q 可得11a 数列na的前n项和111 1()22()221312nnnS （2）证明：对任意kN，2112()2kkkaaaa 11kqa 11kqa 1kqa 12(21)kqqq 把1
8、2q 代入可得2210qq，故212()0kkkaaa，故ka，2ka，1ka成等差数列 3已知数列na满足：对任意u，*vN，都有2uvuvaaa（1）若23692aaaa，求18a的值；（2）若na是等比数列，求na的通项公式；（3）设*kN，3k，求证：若1ka，2ka，3ka，成等差数列，则1a，2a，ka也成等差数列【解答】解：（1）2uvuvaaa，23692936182(2)(2)424aaaaaaaaa ，183a；（2）设数列na的公比为q，根据题意得：2 1212aaa，12a 又可得41363222aaaaaa，得：353221010qqqqq ，即223(1)(1)0(
9、1)(1)0qqqqq，解得：1q 故数列na的通项公式为：2na （3）由题意知数列1ka，2ka，3ka，成等差数列，可设公差为d 2(1)1(1)kkaakd 3(1)2(1)(1)kkaakd 4(1)3(1)(1)kkaakd (1)(1)(1)(1)k kkkaakd 对任意u，*vN，都有2uvuvaaa，1112kkaaa 2(1)212kkaaa 3(1)312kkaaa (1)12k kkkaaa 212(1)1(1)kkaaaakd 323(1)2(1)(1)kkaaaakd 434(1)3(1)(1)kkaaaakd 1(1)(1)(1)(1)kkk kkkaaaakd
10、 1a，2a，ka也成等差数列 4已知数列na的前n项和为nS，满足1()2nnn aaS，*nN（1）求证：数列na是等差数列；（2）若数列na的公差不为 0，数列na中的部分项组成数列1ka，2ka，3ka，nka，恰为等比数列，其中11k，25k，317k，求数列nk的通项公式【解答】解：（1）证明：由1()2nnn aaS，得12()nnSn aa，所以11111222(1)()()nnnnnaSSnaan aa，即11(1)nnnanaa，所以211(1)nnnanaa，两式相减得212nnnnanana，所以212nnnaaa 所以数列na成等差数列（2）等差数列na的公差0d，其
11、子数列nka恰为等比数列，其中11k，25k，317k，可得11kaa，25kaa，317kaa，且有251 17aaa，即2111(4)(16)ada ad，化为12ad，则1(1)(1)naandnd，子数列nka为首项为2d，公比为513aa的等比数列，则123(1)nnknadkd，可得12 31nnk 高考预测二：等差等比的交汇问题 5已知等差数列na，2a，4a，25 成等比数列，6132()aaa（1）求数列na的通项公式；（2）在所有相邻两项ka与1(1kak，2，)之间插入k个2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列 nb，记数列 nb的前n项和为nS，求50S的值【解答】解
12、：（1）设等差数列na的公差为d，则由已知242613252()aaaaa可得：2111(3)25()3adadda，解得11a，3d 或10ad（舍去），所以11a，3d，则1 3(1)32nann，*nN，（2）在数列 nb中，1ka前共有(3)1 23.2k kkk 项，因为*kN，令(3)502k k，解得8k，*kN，当8k 时，在数列 nb中，9a之前共有 44 项，28950129(.)(22 2.8 25 2)Saaa 289117(22 2.8 2)5 2 ，令2822 2.8 2T，则239222 2.8 2T，则8289992(12)22.28 28 27 2212T ，
13、所以9722T，所以99501177 225 26263S 6已知数列na满足：1221,2222nnnnananan为正奇数为正偶数（）问数列na是否为等差数列或等比数列？说明理由；（）求证：数列22nna是等差数列，并求数列 2na的通项公式；（）设21nnba，求数列 nb的前n项和nS【解答】解：（）11 1112111112222aaaa，2212222132aaa，33 122313152222aaa，4422422282aaa（3 分）因为322aa，433aa，3243aaaa，所以数列na不是等差数列 又因为3322121253,3aaaaaaaa，所以数列na也不是等比数列
14、（5 分）（）（解法一）因为对任意正整数n，112221221322,22222nnnnnnnaaaaa，所以数列22nna是首项为32，公差为12的等差数列，（7 分）从而对*12231,(2)2222nnnnannNan 所以数列 2na的通项公式是1*2(2)2()nnannN（9 分）（解法二）因为对任意正整数n，12222nnnaa，得1122(3)22(2)2nnnnanan，11 122(12)230aa 所以数列12(2)2nnan是每项均为 0 的常数列，从而对*12,(2)2nnnNan，所以数列 2na的通项公式是1*2(2)2()nnannN（7分）1*22212321
15、,2222222nnnnnnaaannnnN，2322a，所以数列22nna是首项为32，公差为12的等差数列（9 分）（）*nN，2n，122332122112111(1)2(1)(22)22222nnnnnnnnbaann，111211baa也适合上式 所以数列 nb的通项公式为233*1(1)(22)()2nnnbnnN（11 分）（解 法 一）设 数 列(1)nnq的 前n项 和 为nT，则 当*nN，1q，0q 时，231()234(1)nnnT qqqqnqnq，2341()234(1)nnnqT qqqqnqnq，1112312311211(1)(1)()2(1)(1)1(1)(
16、1)(1)()11(1)1nnnnnnnnnnqqnqq TqqqqqnqqqqqqnqqnqTqqqq （12分）*111(1)4(1)2()882nnnbnnnN，11111111 4(1)41(4)(2)1 1 1 2(1)288289382nnnnnnnnnnSTTn 212(32)292192nnnnnnS（14 分）（解法二）利用待定系数法可得：对*nN，有23232548448(1)2()2()23939nnnnnn，334(1)2222(1)2nnnnnn，（12 分）从而212323251488(32)21(1)2()223999nnknnknnk，331 421(1)222
17、2(11)22nknnkknn，（13 分）所以212*(32)29 21()92nnnnnnSnN（14 分）7已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列（）若31nan，是否存在m，*kN，有1mmkaaa？请说明理由；（）若(nnbaq a、q为常数，且0)aq 对任意m存在k，有1mmkb bb，试求a、q满足的充要条件【解答】解：（）由1mmkaaa，得6631mk，整理后，可得423km，m、kN，2km为整数，不存在n、*kN，使等式成立（）当1m 时，则12kb bb，23ka qaq，3kaq，即caq，其中c是大于等于2的整数 反之当caq时，其中c是大于等于2
18、的整数，则n cnbq，显然121 21m cmcmcmmkb bqqqb ，其中21kmc a、q满足的充要条件是caq，其中c是大于等于2的整数 8 设na是等差数列，等比数列 nb的前n项和是nS，4212bb，42323SSS 已知13a，331ab（）求na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足21,nnncbn为奇数为偶数，求1 12 23 322nnaca ca ca c(*)nN【解答】解：（）na是等差数列，设公比为q的等比数列 nb的前n项和是nS，4212bb，42323SSS已知13a，331ab 由于42323SSS整理得43322()SSSS，所以432bb，解得
19、2q 又因为4212bb，解得12b，所以2nnb，数列na是等差数列，由于13a，331ab 整理得3nan；（）数列 nc满足21,nnncbn为奇数为偶数，所以1 12 23 322135212 14 22()()nnnn naca ca ca caaaaa ba ba b 2(1)36(6 2 12 26 2)2nn nnn，2236(1 22 22)nnn 设2122 22nnTn，则23121 22 22nnTn，得：1212222nnnTn，12(21)22 1nnn，所以1(1)22nnTn，所以211 12 23 32236(1)212nnnaca ca ca cnn 9已知
20、数列na，13a，且对任意*nN，都有212nnnaaa（1）设1nnnbaa，判断数 nb是否为等差数列或等比数列（2）若25a，1,2,nnnaa nc为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项的和2nS【解答】解：（1）数列na，13a，且对任意*nN，都有212nnnaaa 所以：211nnnnaaaa，所以：数列na的公差为 0 时，10nnbb，所以：数列 nb是等差数列，不是等比数列 当数列na的公差不为 0 时，10nnbb，所以：数列 nb既是等差数列，又是等比数列（2）若25a，由（1）知：1212nnaaaa，所以：21nan 所以，1 22(1)3PPqKd，2 32(1)3P Pq qKd，因为1q，所以，1 22 3kP PkP P，点1P，2P，3P不会同一条直线上，即点1P，2P，3P，nP，不会在同一条直线上 综上，1P，2P，3P，nP，可以共线