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1、兰陵四高 2022-2023 学年高二上学期线上期末考试 数学试卷 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题）一、单选题（每题 5 分，共 40 分）1如果0AB 且0BC，那么直线0AxByC不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，点F是侧面11CDDC的中心，若1AFxADyABzAA，求xyz（）A1 B32 C2 D52 3已知从点5,3发出的一束光线，经 x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：22115xy的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A2310 xy
2、 B2310 xy C3210 xy D3210 xy 4已知等差数列 na的前n项和为nS，若369aa，则8S=（）A12 B24 C36 D48 5若函数 2121262f xfxx，则 2f 的值为（）A2 B4 C6 D8 6设x、yR，向量,1,1ax，1,1by，3,6,3c 且ac，/b c，则ab（）A2 2 B2 3 C4 D3 7已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的左右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A为直径的圆与直线20bxayab相交，则椭圆 C的离心率的取值范围为（）A60,3 B6,13 C2,13 D20,3.8“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1
3、852 年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 7 除余 2 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 na，则6=a（）A103 B107 C109 D105 二、多选题（每小题 5 分，共 20 分。至少 2 个选项正确，全对得 5 分，部分选对得 2 分，选了错误答案得0 分）9下列导数运算正确的有（）A211xxB(1)xxxexeC 2
4、22xxeeD2ln2xx 10 设抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，点M在C上，5MF，若以MF为直径的圆过点0,2，则C的方程为（）A22yx B24yx C28yx D216yx 11如图，点P在正方体1111ABCDABC D的面对角线1BC上运动，则下列结论中正确的是（）A三棱锥11APB D的体积不变 B/DP平面11AB D C11APBDD平面1ACP 平面PBD 12设数列na是等差数列，nS是其前 n 项和，且45SS，567SSS，则下列结论正确的是（）A0d B84SS C60a D5S和6S均为nS的最大值 第 II 卷（非选择题）三、填空题（每小题 5 分，共
5、 20 分）13直线:10l xmym 被圆 O；223xy截得的弦长最短，则实数 m=_.14已知数列 na的首项1111,12nnaaa，则2021a_ 15曲线2x1yx2在点1,3 处的切线方程为_ 16已知双曲线E：22221xyab（0a，0b），矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且236ABBC，则双曲线E的标准方程是_ 四、解答题 17如图，已知PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAADAB，,M N分别为,AB PC的中点 （1）求证：MN 平面PCD；（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值 18已知数列 na是各项均为正数的等比数列，其
6、前n项和为nS，满足337Sa，112a （1）求数列 na的通项公式；（2）设2lognnnbaa，求数列 nb的前n项和nT 19已知椭圆C的标准方程为：22221(0)xyabab，若右焦点为(2,0)F且离心率为63（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是C上的两点，直线MN与曲线222xyb相切且M，N，F三点共线，求线段MN的长 20在0nS，2234aa，数列nSn的前 3 项和为 6，0na 且1a，2a，42a 成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知nS是等差数列 na的前 n项和，11a，_.(1)求na；(2)设1223nnnabna，求数列 nb的
7、前 n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21已知 P(1，2)在抛物线 C：y22px上(1)求抛物线 C的方程；(2)A，B是抛物线 C上的两个动点，如果直线 PA的斜率与直线 PB 的斜率之和为 2，证明：直线 AB过定点 22已知圆 C 经过坐标原点 O，圆心在 x轴正半轴上，且与直线3480 xy相切（1）求圆 C的标准方程；（2）直线:2l ykx与圆 C交于 A，B 两点 求 k 的取值范围；证明：直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为定值 参考答案：1C【详解】由0AB 且0BC，可得,A B同号，,B C异号，所以,A C也是异号；令0 x，得0CyB；
8、令0y，得0CxA；所以直线0AxByC不经过第三象限.故选：C.2C【详解】11111112222AFADDFADDDDCADABADABAAAA，故1x，12y，12z，则2xyz 3A【详解】设点A的坐标为5,3，圆22115xy的圆心坐标为(1,1)B，设(,0)C x是 x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆22115xy的圆周，所以反射光线经过点(1,1)B，由反射的性质可知：301 0100512ACBCkkxxx ，于是1 02131()2BCk，所以反射光线所在的直线方程为：21()231032yxxy，4 C【详解】因为 na是等差数列，且369aa，故可得：189aa；又81
9、9436Saa.5B【详解】因为 2121262f xfxx，则 212fxfx，所以，22212ff，解得 24f .6 D【详解】因为ac，则3630a cx，解得1x，则1,1,1a，因为/b c，则136y，解得=2y，即1,2,1b，所以，2,1,2ab，因此，4 143ab.7B【详解】由题设，以线段12A A为直径的圆为222xya，与直线20bxayab相交，所以222abaab，可得222233()baca，即223e，又01e，所以613e.8B【详解】由题意可将问题转化为2na 既是 3 的倍数，也是 7 的倍数，也即是 21 的倍数，即221(1),Nnann，则211
10、9nan，621 6 19107a，9 BC【详解】对于 A，12211xxxx ，故错误；对于 B，(1)xxxxxexex exe，故正确；对于 C，22222xxxexee，故正确；对于 D，11ln222xxxx，故错误.10 BD【详解】由22ypx可得,02pF，设00,M x y，则052pMFx，则052px，设以MF为直径的圆上任一点,N x y，则00,MNxx yy，,2pFNxy，则0002pMN FNxxxyyy，所以以MF为直径的方程为00()()02pxxxyyy，将0,2代入得：00840pxy，因为2002ypx，即2004802yy，解得：04y，由2002
11、ypx得：16252pp，解得：2p 或8，则方程为24yx或216yx，11 ABD【详解】解：对于 A，11AB D的面积是定值，11/ADBC，1AD 平面11AB D，1BC 平面11AB D，1/BC平面11AB D，故P到平面11AB D的距离为定值，三棱锥11PAB D的体积是定值，即三棱锥11APB D的体积不变，故 A 正确；对于 B，111111111/,/,ADBC B DBD ADB DD BCBDB，平面11/AB D平面1BDC，DP 平面1BDC，/DP平面11AB D，故 B 正确；对于 C，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABC D的
12、棱长为 2，P 在1BC上，故可设(,2,),02P aaa，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)ABD，1(2,2,)APaa，1(2,2,2)BD ，则1122424AP BDaaa 不一定为0，1AP和1BD不垂直，故 C 错误；对于 D，设(,2,),02P aaa，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)ACBDD，1(2,2,)APaa，1(2,2,2)AC ，(,2,2)DPaa，(2,2,0)DB，设平面平面1ACP的法向量(,)nx y z，则11(2)202220n APaxyazn ACxyz ，取1x，得221
13、,22aanaa，设平面PBD的法向量(,)ma b c，则20220m DPaxyazm DBxy，取1x，得1,1,1m ，221022aam naa.平面1ACP和平面PBD垂直，故 D 正确.12ACD【详解】由45SS得123142453aaaaaaaaa，即50a，又56SS，6650aSS，60a，故 C 正确；560daa，故 A 正确；对于 B，8456784672()aaaaSaSSa，而60,0ad，故70a，670aa，故84SS，B错误；由以上分析可知：125670aaaaa，故12567SSSSS,56SS均为nS的最大值，故 D 正确；131【详解】直线 MN的方
14、程可化为10 xmym，由1 110yx ，得11xy，所以直线MN过定点 A（1，1），因为22113，即点 A在圆223xy内.当OAMN时，|MN|取最小值，由1OAMNkk，得111m ，1m，141【详解】由1111,12nnaaa，则234123111111,12,1,2aaaaaa ，以此类推可知，对任意的*nN，都有3nnaa，即数列 na是以3为周期的周期数列，因为20213 6732，所以202121aa.15520 xy【详解】由题，当=1x时，=3y，故点在曲线上求导得：222221522xxyxx，所以1|5xy故切线方程为520 xy 162211344xy【详解】
15、由题意得3AB，2BC 如图所示，设AB，CD的中点分别为M，N，在RtBMN中，=22MNc，故222235=+=+2=22BNBMMN由双曲线的定义可得532122aBNBM，则214a，又22c，所以1c，234b 所以双曲线E的标准方程是2211344xy 17（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 1,0,0,0,0,2,2,2,0,1,1,1,0,2,0MPCND.0,1,1,2,2,2,0,2,2MNPCPD，220220MN PCMN PD，所以,MNPC MNPD,由于PCPDP，所以MN 平面PCD.（2）0,2,2PD，1,0,2,1,2,0MPMC，设平面PMC
16、的法向量为,nx y z，则 2020n MPxzn MCxy ，令1z，则2,1xy，所以2,1,1n.设直线PD与平面PMC所成角为，则 43sin36 2 2n PDnPD.18【详解】解：（1）设数列 na的公比为q，因为337Sa于是2211(1)7aqqa q，解得12q 或13q ，因为0q，所以12q，所以111()2nnnaanNq（2）由（1）可得，2lognnnbaa12nn，2311123112222nnTn 23111+1+2+312222nn 11(1)1221212nn n211+222nnn()nN.19【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c 且63cea，则3a
17、，又2221bac，椭圆方程为2213xy；（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx 当直线MN的斜率不存在时，直线:1MNx，不合题意：当直线MN的斜率存在时，设11,M x y，22,N xy又M，N，F三点共线，可设直线:(2)MNyk x，即20kxyk，由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得2|2|11kk，解得1k ，联立22(2)13yxxy，得246 230 xx，则123 22xx，1234xx，21212|1 143MNxxxx.20(1)解：选条件：设等差数列 na的公差为 d，则由2234aa得21124adad，将11a 代入，解得2d 或2d ，因为0nS，所
18、以2d，所以21nan；选条件：设等差数列 na的公差为 d，则1112nSandn，由数列nSn的前 3 项和为 6 及11a 得3362d，解得2d，所以21nan；选条件：设等差数列 na的公差为 d，则由1a，2a，42a 成等比数列得211132ada ad，将11a 代入得220dd，解得2d 或1d，因为0na，所以2d，所以21nan；(2)解：由（1）得22222122134111411nnnanbnannnn，所以1222222111111142231nnTbbbnn22211214141nnnn.21【详解】（1）P 点坐标代入抛物线方程得 42p，p2，抛物线方程为 y
19、24x（2）证明：设 AB：xmy+t，将 AB 的方程与 y24x联立得 y24my4t0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1+y24m，y1y24t，所以 016m2+16t0m2+t0，1121112241214PAyykyxy，同理：242PBky，由题意：1244222yy，4(y1+y2+4)2(y1y2+2y1+2y2+4)，y1y24，4t4，t1，故直线 AB恒过定点(1，0)22【详解】（1）由题意，设圆心为,0(0)C aa，因为圆 C过原点，所以半径 r=a，又圆 C 与直线3480 xy相切，所以圆心 C 到直线的距离|38|15adaa（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：2211xy.（2）（）将直线 l代入圆的方程可得：2214240kxkx，因为有两个交点，所以2234216104kkk ，即 k 的取值范围是3,4.（）设1122,A x yB x y，由根与系数的关系：12212242141kxxkxxk，所以1212121212122222OAOBxxyykxkxkkkxxxxx x2242212141kkkk.即直线 OA,OB 斜率之和为定值.