2021-2022学年上海交大附中高二(下)期中数学试卷含详解.pdf

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1、第1页（共17页）2021-2022 学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1（4 分）已知集合 M，则集合 MP 中整数的个数为 个 2（4 分）设向量，则 在 方向上的数量投影为 3（4 分）某校有学生 1200 人，其中高三学生 400 人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取一个 120 人的样本，则样本中高三学生的人数为 4（4 分）抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作 a、b，则实数 a 是方程 2

2、xb0 的解的概率为 5（4 分）已知圆锥的母线 l10，母线与旋转轴的夹角 30，则圆锥的表面积为 6（4 分）极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 7（5 分）抛物线：yx2上一点 M 到焦点的距离为 1，抛物线在点 M 处的切线的斜率为 8（5 分）已知无穷数列an满足，且 a21，则ai 9（5 分）在参数方程（t 为参数，tR）所表示的曲线上任取一点 P（a，b），则 a2+b2的最小值为 10（5 分）若函数 yx24x+a（ex2+e2x）有且只有一个零点，那么实数 a 11（5 分）虚数 z 满足 z51，若存在正整数 a、b、c 使得 a、b 互质，且，那么 a+b+c 1

3、2（5 分）已知是数列an的一个递推公式，其中 t0 且 t1，若aix|1x44，xZ（i1，2，3，4），则满足条件的实数k的所有可能值的和为 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生第2页（共17页）应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13（5 分）已知空间两条直线 m，n，两个平面，给出下面四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn；其中正确命题的序号是（）A B C D 14（5 分）一个公司有 8 名员工，其中 6 名员工的月工资分别为 5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两

4、名员工数据不清楚，那么 8 位员工月工资的中位数不可能是（）A5800 B6000 C6200 D6400 15（5 分）函数 yf（x）的定义域为（2，2），解析式 f（x）x44x2+1则下列结论中正确的是（）A函数 yf（x）既有最小值也有最大值 B函数 yf（x）有最小值但没有最大值 C函数 yf（x）恰有一个极小值点 D函数 yf（x）恰有两个极大值点 16（5 分）已知样本空间为，x 为一个基本事件 对于任意事件 A，定义 f（A），给出下列结论：f（）1，f（）0；对任意事件 A，0f（A）1；如果 AB，那么 f（AB）f（A）+f（B）；f（A）+f（）1 其中，正确结论的个

5、数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 0 分）17如图，在正四棱锥 PABCD 中，PAABa，E 是棱 PC 的中点（1）求证：PCBD；（2）求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值 第3页（共17页）18已知函数 f（x）sin2x+cos2（x）（xR）（1）求函数 f（x）在区间0，上的最大值；（2）在ABC 中，若 AB，且 f（A）f（B），求的值 19某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a（3a5）元的管理费，预计当每件产品的售价为 x（9x11）元时，一年的销售量为（12x）2万件（1）

6、求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）20如图，双曲线：y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2作直线 l 交 y 轴于点Q（1）当直线 l 平行于的一条渐近线时，求点 F1到直线 l 的距离；（2）当直线 l 的斜率为 1 时，在的右支上是否存在点 P，满足0？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线 l 与交于不同两点 A、B，且上存在一点 M，满足+4（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的方程 21若两个函数 yf（x）与 yg（x）在 xx0处有相

7、同的切线，则称这两个函数相切，切点为（x0，f（x0）第4页（共17页）（1）判断函数 ysinx 与 yx 是否相切；（2）设反比例函数与二次函数 yax2+bx（a0）相切，切点为求证：函数与 yax2+bx 恰有两个公共点；（3）若 0a1，指数函数 yax与对数函数 ylogax 相切，求实数 a 的值；（4）（思考题，本小题不计分）设（3）的结果为 a0，求证：当 0aa0时，指数函数 yax与对数函数 ylogax 的图像有三个公共点 第5页（共17页）2021-2022 学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，

8、第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1【解答】解：Mx|x1|2x|1x3，px|0 x|2x1，则集合 MPx|1x1，故集合中整数为1，0，1 共 3 个 故答案为：3 2【解答】解：，在 方向上的数量投影为 故答案为：2 3【解答】解：根据分层随机抽样原理知，样本中高三学生的人数为 12040 故答案为：40 4【解答】解：由题意，有序数对（a，b），a，b1，2，3，4，5，6，共有 6636 种，其中（1，2），（2，4），（3，6）满足实数 a 是 2xb0 的解，共 3 种，故所求概率 P 5【解答】解：如图所示：在 RtP

9、OB 中，rsin30105，该圆椎的侧面积 S51050 圆锥的表面积为 50+5275 故答案为：75 第6页（共17页）6【解答】解：极坐标方程整理得：，根据，转换为直角坐标方程为，整理得：，故圆的半径为 5；所以圆的面积为 S5225 故答案为：25 7【解答】解：抛物线 yx2焦点在 y 轴上，焦点坐标为（0，），准线方程为：y，设 M（x，y），过 M 做准线的垂线，垂足为 D，由抛物线的定义可知：丨 MF 丨丨 MD 丨1，即 y+1，解得：y，横坐标为：，y2x，所以，抛物线在点 M 处的切线的斜率为：故答案为：8【解答】解：由数列an满足，且 a21，则数列an为以为公比的等

10、比数列，由 a21，则 a12，第7页（共17页）则ai，故答案为：4 9【解答】解：参数方程（t 为参数，tR）转换为直角坐标方程为 x+2y3（y1）；由于点 P（a，b）满足 a+2b3（b1），所以 a2+b2（32b）2+b2，由于 b1，函数在（，1，上单调递减，故 b1 时，最小值为 2 故答案为：2 10【解答】解：设 f（x）x24x+a（ex2+e2x），则 f（4x）（4x）24（4x）+a（e4x2+e24+x）x24x+a（ex2+e2x）f（x），所以 f（4x）f（x），即函数 f（x）的图象关于 x2 对称，要使函数 yx24x+a（ex2+e2x）有且只有一个

11、零点，则 f（2）0，即 48+2a0，得 a2 故答案为：2 11【解答】解：z51，zcos（k）+isin（k），Imzsin（k），k0，1，2，3，4，由题意 k0 时，Imz0，k3，4 时，Imz0，不合题意，k1 或 k2，Imzsin72或 Imzsin144，由 sin36cos54和二倍角、三倍角公式，得 2sin18cos184cos3183cos18，cos180，2sin184cos2183，化为 4sin218+2sin1810，sin180，sin18，第8页（共17页）正整数 a，b，c 使得 a，b 互质，（Imz）2，当 Imzsin72时，sin272c

12、os2181sin218，符合题意；当 Imzsin144时，cos2721sin272，sin21444sin272cos2724，不合题意，a8，b5，c5，a+b+c18 故答案为：18 12【解答】解：当 n2 时，an+4t（an1+4），且 t0 且 t1，若 k4，则 a1+40，则 an+40，则 an4（nN*），不符合题意，所以 k4，则 a1+4k+40，所以an+4是以 k+4 为首项，以 t 为公比的等比数列，所以，an+4（k+4）tn1，所以 an（k+4）tn14，因为 aix|1x44，xZ（i1，2，3，4），所以（k+4）tn1x|5x44，xZ（i1，2

13、，3，4），所以数列an+4的前 4 项只可能是：5，10，20，40；40，20，10，5；6，12，24，48；48，24，12，6；8，12，18，27；27，18，12，8，因此实数 k 的所有可能值的和为 5+40+6+48+8+2746110 故答案为：110 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13【解答】解：，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，mn，mn，正确，m，n，则 mn 或 m、n 异面，不正确；，mn，m，则 n 或 n，不正确；，mn

14、，m，则 n，又，n，正确 故选：A 14【解答】解：一个公司有 8 名员工，其中 6 名员工的月工资分别为 5200，5300，5500，6100，6500，6600，第9页（共17页）当另外两名员工的工资都小于 5300 时，中位数为5400，当另外两名员工的工资都大于 6500 时，中位数为6300，8 位员工月工资的中位数的取值区间为5400，6300，8 位员工月工资的中位数不可能是 6400 故选：D 15【解答】解：f（x）x44x2+1x（2，2），f（x）4x38x4x（x22）；令 f（x）0，则 x0 或；当 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当 时，f（x）0

15、，此时函数 f（x）单调递增；当 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增，f（x）在 时取得极小值，在 x0 时取得极大值，故 C，D 错误；f（2）f（2）24422+11；f（0）1，；函数 f（x）既有最小值也有最大值；故答案为：A 16【解答】解：任意 x 恒成立，任意 x恒不成立，f（）1，f（）0，故正确；对任意事件，f（A）0，1，0f（A）1 成立，故正确；如果 AB，当 xAB 时，f（AB）1，此时 xA 或 rB若 xA，则 xB，f（A）1，f（B）0，f（A）+f（B）1，f（AB）f（A）+f（B）成立；xB 时，

16、xA，f（A）0，f（B）1，f（A）+f（B）1，f（AB）f（A）+f（B）成立；当 xAB 时，xA，xB，f（AB）0，f（A）0，f（B）0，那么 f（AB）f（A）+f（B）成立，正确；当 xA 时，xA，此时 f（A）1，f（A）0，f（A）+f（A）1 成立；当 xA 时，xA，第10页（共17页）此时，f（A）+f（A）1 成立，故正确 综上，正确的结论有 4 个，故选：D 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 0 分）17【解答】证明：（1）四边形 ABCD 为正方形，且 PAABa，PBC，PDC 都是等边三角形，（2 分）E 是棱 PC 的中点，BEPC，DEPC，又

17、BEDEE，PC平面 BDE（5 分）又 BD平面 BDE，PCBD（6 分）解：（2）连接 AC，交 BD 于点 O，连 OE 四边形 ABCD 为正方形，O 是 AC 的中点（8 分）又 E 是 PC 的中点 OE 为ACP 的中位线，APOE BEO 即为 BE 与 PA 所成的角 （10 分）在 RtBOE 中，BE，EO，（12 分）cosBEO 直线 BE 与 PA 所成角的余弦值为（14 分）18【解答】（本题满分 14 分）第（1）小题满分（6 分），第（2）小题满分（8 分）解：f（x）sin2x+cos2（x）+第11页（共17页）sin2xcos2x sin（2x）（1）

18、由于 0 x，因此2x，所以当 2x即 x时，f（x）取得最大值，最大值为 1；（2）由已知，A、B 是ABC 的内角，AB，且 f（A）f（B），可得：2A，2B，解得 A，B，所以 CAB，得 19【解答】解：（1）分公司一年的利润 L（万元）与售价 x 的函数关系式为：L（x3a）（12x）2，x9，11（2）L（x）（12x）2+2（x3a）（12x）（1）（12x）22（x3a）（12x）（12x）（18+2a3x）令 L（x）0 得 x6+a 或 x12（不合题意，舍去）3a5，86+a 在 x6+a 两侧 L的值由正值变负值 所以，当 86+a9，即 3a时，LmaxL（9）（9

19、3a）（129）29（6a）；当 96+a，即a5 时，LmaxL（6+a）（6+a3a）12（6+a）2 4（3a）3，第12页（共17页）即当 3a时，当每件售价为 9 元，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q（a）9（6a）万元；当a5 时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q（a）4（3a）3万元 20【解答】解：（1）双曲线：y21，焦点在 x 轴上，a，b1，c2，则双曲线左、右焦点分别为 F1（2，0），F2（2，0），过 F2作直线 l，设直线 l 的斜率为 k，l 交 y 轴于点 Q 当直线 l 平行于的一条渐近线时，不妨令 k，则直线 l 的方

20、程为：y（x2），即 xy20，则点 F1到直线 l 的距离为 d2；（2）当直线 l 的斜率为 1 时，直线 l 的方程为 yx2，则点 Q（0，2）；假设在的右支上存在点 P（x0，y0），则 x00；0，（x0+2）（0+2）+（y00）（20）0，整理得 y0 x0+2，与双曲线方程1 联立，消去 y0，得 2+12x0+150，240，方程有实根，解得：x，所以不存在点 P 在右支上；（3）当 k0 时，直线 l 的方程 x2，则 A（2，），B（2，），由（+），第13页（共17页）M（1，0），则 M 不椭圆上，显然不存在，当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程

21、为 ykx+b，联立方程组，消去 y，得（13k2）x26kbx3b230，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2，x1x2，设（x3，y3），+4，（+），即，又 M 为双曲线上一点，即 x323y323，由（x1+x2）23（y1+y2）248，化简得：（x123y12）+（x223y22）+2（x1x23y1y2）48，又 A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以 x123y123，x223y223，x1x23y1y221，由直线 l 过椭圆的右焦点 F（2，0），则 k，而 x1x23y1y2x1x23（kx1+b）（kx2+b），x1x23k2x1x23kb

22、（x1+x2）3b223b3b221，由解得：，或，直线 l 的方程 xy+2 方法二：设直线 l 的方程为 xmy+2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），整理得：（m23）y2+4my+10，第14页（共17页）则 y1+y2，y1y2，x1+x2m（y1+y2）+4，x1x2（my1+2）（my2+2）m2y1y2+2m（y1+y2）+4，+4，则（x1+x2，y1+y2）4，求得：x0，y0，由 M 在椭圆方程，代入，求得 m22，解得：m，直线 l 的方程 xy+2 21【解答】解：（1）对于函数 ysinx求导得 ycosx，y|x00，曲线 ysinx 在

23、x0 处的切线方程为 yx，函数 ysinx 与 yx 相切；（2）证明：反比例函数 y与二次函数 yax2+bx（a0）在 xt 处有相同的切线，对函数 y求导得 y，对函数 yax2+bx（a0）求导得 y2ax+b，整理得 3at3+2bt20，t0，t，代入，得，27a24b3，此时令，得 ax3+bx2+10，它的一个解为，方程 ax3+bx2+10 可化为（x+）（ax2+）0 解得，方程 ax3+bx2+10 的三个解为，第15页（共17页）函数与 yax2+bx 恰有两个公共点（t，），（，）；（3）设指数函数 yax与对数函数 ylogax 在 xx0处有相同的切线，对函数

24、yax求导得 yaxlna，对函数 ylogax 求导得，由题意得，令，方程组等价于，loga（），即 lna，a，则，将代入，得（），化简，得，tlnlnt2，0a1，则 yax为严格减函数，则 tlna0，t2ln（t），即 t+2ln（t）0，构造函数 f（t）t+2ln（t），其中 t0，则+（1+）20，且 f（t）不恒为 0，函数 f（t）t+2ln（t）在（，0）上为减函数，且 f（1）0，方程 t+2ln（t）0 的唯一解为 t1，第16页（共17页）aeee，（4）证明：设函数 g（x）axlogax，其中 0aee，且 x0，求导得，令 h（x）1xax（lna）2，则 h

25、（x）ax（lna）2（1+xlna），令 h（x）0，得 x，由 h（x）0，得 0 xlogae，由 h（x）0，得 xlogae，函数 h（x）地（0，logae）上是减函数，在（logae，+）上是增函数，h（x）minh（logae）1+，0aee，则 h（x）min1+0，h（0）10，函数 h（x）在（0，logae）内有一个零点，在（logae，+）内取 x1，则 h（1）1a（lna）2，令（a）a（lna）2，其中 0aee，则（a）lna（lna+2），0aee，则 lnae，则 lna+2e+20，（a）lna（lna+2）0，（a）在（0，ee）上单调递增，且（a）（

26、ee）e2e1，h（1）1a（lna）20，函数 h（x）在（logae，+）内也有一个零点，函数 g（x）在（0，+）内共有两个零点，不妨设为 x1，x2，且 x1x2，当 0 xx1或 xx2时，g（x）0，函数 g（x）有一个极大值 g（x1）和一个极小值 g（x），下面证明 g（x1）0，g（x2）0，设函数 yax与直线 yx 的交点为（x3，x3），则 x3为函数 yaxx 的一个零点，则 x3logax3，当 0aee时，函数 yax为减函数，则函数 yaxx 也为减函数，且，第17页（共17页）0 x3，x3（x1，x2），且 g（x3）0，g（x1）0，g（x2）0，g（1）a0g（x3），且 x31，函数 g（x）在（x3，1）内有一个零点，也是（x3，+）上的唯一零点，同理，g（a）aa10g（x3），且a，g（x）在（a，x3）愉有一个零点，也是（0，x3）内唯一零点，综上，当 0aa0时，指数函数 yax与对数函数 ylogax 的图像有三个公共点