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1、宁夏银川一中 2022 届高三第四次模拟考试 数学（理）试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合12 35 711A，315|Bxx，则 AB 中元素的个数为（）A2 B3 C4 D5 2已知命题:R,25xpx，则p为（）AR,25xx BR,25xx C00R,25xx D00R,25xx 3已知向量()()2 33 2ab，则|ab A2 B2 C52 D50 4已知下列命题：回归直线ybxa恒过样本点的中心,x y;两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于 1;两个模型中残差平方和越小的模型拟
2、合的效果越好 则正确命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 5已知点sin,cos66P在角的终边上，且0,2)，则角的大小为（）A3 B23 C53 D43 6抛物线214yx的焦点到准线的距离为（）A18 B14 C1 D2 7函数241xyx的图象大致为（）A B C D 8下图是计算234533333的程序框图，则图中执行框与判断框中应分别填入（）Aii3a，i4?Bi+1i3a，i4?Cii3a，i5?Di+1i3a，i5?9中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA垂直
3、于底面，13AA，底面扇环所对的圆心角为2，弧AD长度是弧BC长度的 3 倍，2CD，则该曲池的体积为（）A92 B5 C112 D6 10已知随机变量X的概率分布为1,2,3,41aP Xnnn n，其中a是常数，则1522PX（）A12 B23 C13 D56 11某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形ABCD，2 3AB，4BC（单位：百米），CDAD，60ADC，且拟在A、C两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪ABCD的面积最大时，AC（）A2 7百米 B2 10百米 C2 13百米 D2 19百米 12已知函数 1,0ln,0 xa xf
4、xxxa x，则下列关于函数()f x的描述中，其中正确的是（）当0a 时，函数()f x没有零点；当02a时，函数()f x有两不同零点，它们互为倒数；当2a 时，函数()f x有两个不同零点；当2a 时，函数()f x有四个不同零点，且这四个零点之积为 1 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知x，y满足约束条件40040 xyxyx，则3zxy的最小值为_.14函数 sin22sincosf xxx的最大值为_.15已知双曲线C：2221(0)12xyaa的左、右焦点分别为1F，2F，一条渐近线方程为30 xy，若点M在双曲线C上，且15MF
5、，则2MF _.16棱长为 6 的正方体内有一个棱长为 x 的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则 x的最大值为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17如图，四棱锥PABCD中，/ABCD，且90BAPCDP，(1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)若PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为 3 的正方形，E是PA中点，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.18在能源和环保的压力下，
6、新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向2016 年 4 月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌2020 年 11 月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划（20212035 年），要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展下表是 2016 年至 2020 年新能源汽车年销量（单位：十万辆）情况：年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 5 年销量y 5 7 12 12 14 (1)试建立年销量y关于年份编号x的线性回归方程ybxa；(2)根据（1）中的线性回归方程预测 2023
7、年新能源汽车的年销量 参考公式：121niiiniixxyybxx，aybx 19已知数列 na是等差数列，nb是等比数列，且22b，34b，11ab，851ab (1)求数列 na、nb的通项公式；(2)设11nnnacb，数列 nc的前n项和为nS，若不等式12nnnS对任意的*n恒成立，求实数的取值范围 20设函数 2ln1f xxa xx，其中aR.（）讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由；（）若 0,0 xf x 成立，求a的取值范围.21已知椭圆 E：222210 xyabab的离心率为12，1F，2F为其左、右焦点，左、右顶点分别为 A，B，过1F且斜率为 k的直线 l交椭圆
8、 E 于 M，N 两点（异于 A，B 两点），且2MNF的周长为 8(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P 为椭圆上一点，O为坐标原点，OPMN，求MNOP的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2 cos14，曲线C的极坐标方程为2 cosa(1)设t为参数，若212yt，求直线l的参数方程；(2)已知直线l与曲线C交于P，Q，设0,1M，且24PQMPMQ，求实数a的值
9、23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 211f xxx (1)画出 yf x的图象；(2)若 f xm xn，求mn的最小值 1页 参考答案：1B 2D 3A 4D 5B 6D 7A 8D 9D 10D 11C 12C 138 141 159 1626 17(1)90BAPCDP，BAAP，CDPD，又/CDAB，BAPD，PDPAP，,PD PA 面PAD，BA 面PAD，BA 平面 ABCD,平面PAD 平面ABCD(2)平面PAD 平面ABCD，PFAD交AD于点F，PF 平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，PF 平面ABCD，以D为原点，DA，DC的方向分别为x轴，y轴的正
10、方向建立空间直角坐标系Dxyz，则0,3,0C，33 3,0,22P，3,0,0A，3,3,0B，93 3,0,44E，0,3,0DC，33 3,0,22DP，33 3,3,44BE，2页 设平面PCD的法向量为,nx y z，则00n DCn DP，求得法向量为3,0,1n ，由15sincos,10BE nBE nBEn，所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为1510.18(1)11(12345)3,(57121214)1055xy，511 52 73 124 125 14173iiix y ，522222211234555iix，所以515222151735 3 102.3555 35
11、iiiiix yxybxx ，102.3 33.1aybx，所以年销量y关于年份编号x的线性回归方程2.33.1yx(2)当8x 时，2.3 8 3.121.5y ，所以 2023 年新能源汽车的年销量约为215万辆 19(1)解：因为数列 nb是等比数列，则可得2123124bbqbbq，解得112bq，所以12nnb 3页 因为数列 na是等差数列，且111ab，8117116aad ，则公差2d，所以1 2121nann 故21nan，12nnb；(2)解：由（1）得：1112nnnnancb，数列 nc的前 n 项和为121231222nnnS 所以22111231222222nnnn
12、nS 由-得：12111111212 1222222222nnnnnnnnnS，所以1242nnnS 不等式12nnnS恒成立，化为不等式2142n恒成立，令2142nnc且 nc为递增数列，即转化为 minnc 当1n 时，1 2min1422nc，所以2 综上可得：实数的取值范围是,2 20（1）当0a 时，10g x ，0fx 在1,上恒成立 所以，函数 fx在1,上单调递增无极值；（2）当0a 时，28198aaaaa 当809a时，0 ，0g x 所以，0fx，函数 fx在1,上单调递增无极值；当89a 时，0 设方程2210axaxa 的两根为1212,(),x xxx 因为121
13、2xx 所以，1211,44xx 4页 由 110g 可得：111,4x 所以，当11,xx 时，0,0g xfx，函数 fx单调递增；当12,xx x时，0,0g xfx，函数 fx单调递减；当2,xx时，0,0g xfx，函数 fx单调递增；因此函数 fx有两个极值点（3）当0a 时，0 由 110g 可得：11,x 当21,xx 时，0,0g xfx，函数 fx单调递增；当2,xx时，0,0g xfx，函数 fx单调递减；因此函数 fx有一个极值点 综上：当0a 时，函数 fx在1,上有唯一极值点；当809a时，函数 fx在1,上无极值点；当89a 时，函数 fx在1,上有两个极值点；（
14、）由（）知，（1）当809a时，函数 fx在0,上单调递增，因为 00f 所以，0,x时，0f x ，符合题意；（2）当819a 时，由 00g，得20 x 所以，函数 fx在0,上单调递增，又 00f，所以，0,x时，0f x ，符合题意；（3）当1a 时，由 00g，可得20 x 所以20,xx 时，函数 fx 单调递减；又 00f 5页 所以，当20,xx时，0f x 不符合题意；（4）当0a 时，设 ln1h xxx 因为0,x时，11011xhxxx 所以 h x 在0,上单调递增，因此当0,x时，00h xh 即：ln1xx 可得：221f xxa xxaxa x 当11xa 时，
15、210axa x 此时，0,f x 不合题意.综上所述，a的取值范围是0,1 21(1)依题意知12e，即2ac，又2MNF的周长为 8，即2,1ac，3b 因此椭圆的方程为22143xy(2)当0k 时，点,M N为点,A B，不符合题意，舍去；设直线 l的方程为1yk x，且0k，1122,M x yN xy，联立221431xyyk x，消去 y可得22223484120kxk xk，则2122834kxxk，212241234kx xk，所以222222122221218164811343434kkkMNkxxkkkk 设直线 OP的方程为1 yxk，6页 联立221431xyyxk
16、解得222 3342 334kxkyk 或222 3342 334kxkyk 不妨设222 32 3,3434kPkk，所以2222222 32 312 12343434kkOPkkk 故222121 3443kkMNOPk，令243tk，3,t，则2371034MNOPtt，令 27103f mmm，110,3mt，f m开口向上，对称轴10357,m f m在10,3上单调递增，643,9f m 33 4 3,423MNf mOP 22(1)直线l的极坐标方程为2 cos14，所以2 coscos2 sin sin144 又cos,sinxy，所以1xy，因为t为参数，若212yt ，代入
17、上式得22xt，所以直线l的参数方程为22212xtyt （t为参数）(2)由2 cosa，得22cosa，7页 由cosx，siny代入，得222xyax，将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得22 110ta t.则22 140a，化简可得21a 或21a 且122 1tta，1 21t t，设点P，Q分别对应参数1t，2t恰为上述方程的根.则1MPt，2MQt，12PQtt，由题设得212124ttt t.则有2121 28ttt t，所以22(1)8a 得1a 或3a .23(1)（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数 3,112,1213,2x xf xxxx x ，所以()yf x的图象如图所示：(2)因为 21|()31f xxxx，所以3m xnx，8页 设 g xm xn，则由图象知0m 已知 20fn，解得2n 当12x 时，函数 3f xx的斜率为3k，要使 f xg x恒成立，则3m且2n，即mn的最小值为5.