《2022-2023学年湖北省襄阳市第三高级中学高二上学期12月月考数学试题(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年湖北省襄阳市第三高级中学高二上学期12月月考数学试题(含解析).pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、襄阳市第三高级中学 2022-2023 学年高二上学期 12 月月考 数学试题 日期：12.25 一、单选题 1如果点 M（x，y）在运动过程中，总满足关系式22229696xyyxyy4，点 M 的轨迹是 A双曲线的右支 B椭圆 C双曲线的上支 D射线 2在空间直角坐标系中，点1,2,3A关于y轴的对称点为点B，则点3,0,1C到直线AB的距离为（）A2 3 B2 105 C2 655 D6 3一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶 1座，第二阶 3 座，第三阶 3 座，第四阶 5 座，第五阶 5 座，从第五阶开始塔的数目构成一
2、个首项为 5，公差为 2 的等差数列，总计 108 座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（）A39 B45 C48 D51 4已知直线12:230,:230lxylxy，若圆 C的圆心在轴上，且圆 C 与直线12,l l都相切，求圆 C的半径（）A3 55 B9 55 C3 55或9 55 D98155或 5已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 6，过右焦点F的直线交椭圆C于,A B两点，若AB中点坐标为(1,1)，则C的方程为（）A2214536xy B221189xy C221459xy D2217236xy 6正项等比数列 na中，存在两项ma、na使得13mn
3、a aa，且65423aaa，则14mn的最小值为（）A73 B52 C94 D2 7.如图，已知抛物线1C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，且过点1,4，圆222:8120Cxyx，过圆心2C的直线 l与抛物线和圆分别交于点 P，Q，M，N，则4PMQN的最小值为（）A23 B26 C36 D62 8法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中过椭圆2222:10 xyCabab外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以22ab为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆若椭
4、圆22:1 044xyCmm的蒙日圆为22:7E xy，过圆 E上的动点 M作椭圆 C 的两条切线，分别与圆 E 交于 P，Q 两点，直线 PQ 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则下列结论不正确的是（）A椭圆 C的离心率为12 BM 到 C的右焦点的距离的最大值为71 C若动点 N 在 C上，记直线 AN，BN的斜率分别为1k，2k，则1234k k DMPQ面积的最大值为72 二、多选题 9.给出下列命题，其中正确的命题是（）A若直线的方向向量为(1,0,3)e，平面的法向量为22,0,3n，则直线l B若对空间中任意一点O，有OCOBOAOP414141，则P，A，B，C四点共面 C两个非
5、零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D已知向量(9,4,4)a，(1,2,2)b，则在上的投影向量为1,2,2 10.数列的前项和为，则下列说法正确的是()A.若，则数列一定是等差数列 B.若对于所有的正整数，都有，则这个数列一定是等差数列 C.若是递增数列，则 D.若，则数列一定是等比数列 11.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点分别为12,F F，过2F作垂直于渐近线的直线交两渐近线于 A，B 两点，若223 F AF B，则双曲线 C 的离心率可能为（）A14111 B62 C3 D5 12如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，=
6、3AB，12 6AA，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为,，且sin2sin，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是（）AQ为BC中点 B线段1PA长度的最小值为 C存在一点P，使得/PQ平面11AB D D若P在正四棱柱1111ABCDABC D表面，则点P的轨迹长度为8+3 36 三、填空题 13 na为等差数列，14736939,33aaaaaa，则9S _.14 已知圆22:10Cxaya，过直线:2230lxy上任意一点P作圆C的两条切线,PA PB，切点分别为,A B，若APB为锐角，则的取值范围是_ 15.设定点，抛物线：的焦
7、点为，点为抛物线上的动点若的最小值为，则实数的值为_.16.如图是瑞典数学家科赫.HV Koch在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线 设原三角形（图）的边长为，把图，图，图，中的图形依次记为1M，2M，3M，nM，则3M的边数3N _，nM所围成的面积nS _ 四、解答题 17已知数列 na的前项和nS，14a，124nnSan(1)证明数列2na 为等比数列，并求出na的通项公式；(2)设2log2nnnbaa，求数列 nb的前 n
8、项和nT 18已知nS是等差数列 na前项和，96881,26Saa.(1)求 na的通项公式；(2)在 na中，去掉以1a为首项，以2a为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为 nb，求 nb前 100 项和100T 19如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD为菱形，PA平面 ABCD，ABC60，E，F 分别是 BC，PC的中点 (1)证明：AEPD；(2)H是 PD上的动点，EH与平面 PAD所成的最大角为 45，求二面角 EAFC 的正切值 20已知抛物线 C：24yx的焦点为F，点O 为坐标原点，直线过定点,0T t（其中0t，1t 与抛物线 C相交于A，B 两点（点
9、A位于第一象限）(1)当4t 时，求证：OAOB；(2)如图，连接AF，BF 并延长交抛物线 C于两点1A，1B，设ABF 和11AB F的面积分别为1S和2S，求12SS 21已知三棱柱，侧面为矩形，平面平面 求证：；若二面角的余弦值为，点为棱中点，求直线与平面所成角的正弦值 22在一张纸片上，画有一个半径为 4 的圆（圆心为 M）和一个定点 N，且2 5MN，若在圆上任取一点 A，将纸片折叠使得 A 与 N重合，得到折痕 BC，直线 BC 与直线 AM 交于点 P (1)若以 MN所在直线为y轴，MN 的垂直平分线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点 P 的轨迹方程；(2)在（1
10、）基础上，在直线2yx，2yx 上分别取点 G，Q，当 G，Q 分别位于第一、二象限时，若GPPQ，1,32，求GOQ面积的取值范围 12 月数学月考答案 一、单选题 1如果点 M（x，y）在运动过程中，总满足关系式22229696xyyxyy4，点 M 的轨迹是 A双曲线的右支 B椭圆 C双曲线的上支 D射线【答案】C【解析】对关系式进行配方处理,即为2222(3)(3)4xyxy,由两点间距离公式可知其表示点 M（x,y）与定点（0,3）,（0,3）的距离的差为 4,进而根据双曲线的定义即可判断.【详解】22229696xyyxyy4,即2222(3)(3)xyxy4,表示点 M（x,y）
11、与定点（0,3）,（0,3）的距离的差为 4,46,点 M（x,y）的轨迹是以（0,3）为焦点,实轴长为 4 的双曲线的上支,故选:C【点睛】本题考查动点的轨迹,考查双曲线的定义的应用,解题时需注意轨迹为双曲线的一支还是全部.2在空间直角坐标系中，点1,2,3A关于y轴的对称点为点B，则点3,0,1C到直线AB的距离为（）A2 3 B2 105 C2 655 D6【答案】C【分析】按照空间中点到直线的距离公式 22daa u直接求解.【详解】由题意，1,2,3B，2,0,6AB ，AB的方向向量2613,0,0,4364361010u，(2,2,2)AC，则点C到直线AB的距离为222132
12、654442251010dACAC u.故选：C.3一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶 1 座，第二阶 3 座，第三阶 3 座，第四阶 5 座，第五阶 5 座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为 5，公差为 2 的等差数列，总计 108 座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（）A39 B45 C48 D51【答案】D【分析】先由等差数列的求和公式得出总阶数，再由等差数列的性质得出最下面三阶的塔数之和.【详解】设该塔群共有 n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 na，依题意可知5a，6a，na成等差数列，且公差
13、为 2，55a，则451 3355421082nnn ，解得12n.故最下面三价的塔数之和为1011121133 52 651aaaa.故选：D 4已知直线12:230,:230lxylxy，若圆 C的圆心在轴上，且圆 C 与直线12,l l都相切，求圆 C的半径（）A3 55 B9 55 C3 55或9 55 D98155或【答案】C【分析】设出圆心坐标，利用圆心到直线12,l l的距离相等列方程，求得圆心坐标并求得圆的半径.【详解】设圆心坐标为,0a，则233055aaa或6a，所以圆的半径为033 555或639 555.故选：C 5已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 6，
14、过右焦点F的直线交椭圆C于,A B两点，若AB中点坐标为(1,1)，则C的方程为（）A2214536xy B221189xy C221459xy D2217236xy【答案】B【分析】设1(A x，1)y，2(B x，2)y，代入椭圆方程得22112222222211xyabxyab，利用“点差法”可得12121222120 xxyyyyaxxb利用中点坐标公式可得122xx，122yy，利用斜率计算公式可得12121 011 32AByykxx 得到222ab，再利用223cab，即可解得2a，2b进而得到椭圆的方程【详解】1(A x，1)y，2(B x，2)y，代入椭圆方程得2211222
15、2222211xyabxyab，相减得22221212220 xxyyab，12121222120 xxyyyyaxxb 122xx，122yy，12121 011 32AByykxx 2221202ab，化为222ab，又223cab，解得218a，29b 椭圆E的方程为221189xy 故选：B【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.正项等比数列 na中，存在两项ma、na使得13mna aa，且65423aaa，则14mn的最小值为（）A73 B52 C94 D2【答案】A【解析】【分析】设等比数列 na的公比，根据题意求得4
16、mn，结合*,m nN，即可求解.【详解】设等比数列 na的公比，（其中0q），因为65423aaa，可得223qq，即2230qq，解得3q 或1q （舍去）又因为13mna aa，所以219mna aa，即2221139m naa，所以4mn，所以=13mn或=22mn或=31mn，所以147=3mn或52或133，所以14mn的最小值为73.故选：A.7如图，已知抛物线1C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，且过点1,4，圆222:8120Cxyx，过圆心2C的直线 l与抛物线和圆分别交于点 P，Q，M，N，则4PMQN的最小值为（）A23 B26 C36 D62【答案】B【分析】解法一：
17、设直线 l的方程为：4xty，设 P、Q坐标分别为11,x y和22,x y，联立抛物线方程可得韦达定理，进而根据焦点弦长公式结合基本不等式求解即可；解法二：根据抛物线的性质11214PFQFp，结合基本不等式求解即可【详解】解法一：设抛物线的方程220ypx p，则1621p，得8p，所以抛物线方程为216yx，焦点4,0F，圆222:44Cxy，圆心24,0C，半径2r，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线 l过焦点 F.设直线 l的方程为：4xty，设 P、Q 坐标分别为11,x y和22,x y，由2164yxxty联立，得216640yty，1216yyt，1264yy，2121281
18、68xxt yyt，1216xx，4242410PMQNPFQFPFQF 121212124441041024104104 161026xxxxxxx x，当且仅当124xx，即18x，22x 时取等号.解法二：4242410PMQNPFQFPFQF，又11214PFQFp，4114441041026QFPFPFQFPFPMQNPQFQFF，当且仅当2PFQF，即12PF，6QF 时等号成立.故选：B.8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中过椭圆2222:10 xyCabab外的一点作椭圆的两条切
19、线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以22ab为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆若椭圆22:1 044xyCmm的蒙日圆为22:7E xy，过圆 E上的动点 M作椭圆 C 的两条切线，分别与圆 E 交于 P，Q 两点，直线 PQ 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则下列结论不正确的是（）A椭圆 C的离心率为12 BM 到 C的右焦点的距离的最大值为71 C若动点 N 在 C上，记直线 AN，BN的斜率分别为1k，2k，则1234k k DMPQ面积的最大值为72【答案】D【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断
20、；C.根据PQ为圆的直径，则点,A B关于原点对称，利用点在椭圆上，证明1234k k ；D.利用圆的几何性质，确定MPQ面积的最大值.【详解】A.因为椭圆22:1 044xyCmm的蒙日圆为22:7E xy，根据蒙日圆的定义，47m，得3m，所以椭圆22:143xyC，24a，23b，则21c，所以椭圆的离心率12cea，故 A 正确；B.点M是圆22:7E xy上的动点，椭圆的右焦点 10F，则MF的最大值是71，故 B 正确；C.根据蒙日圆的定义可知MPMQ，则PQ为圆E的直径,PQ与椭圆交于两点,A B，点,A B关于原点对称，设11,A x y，11,Bxy，00,N x y，222
21、2010101012222010101013344ANBNxxyyyyyykkxxxxxxxx，故 C 正确；D.因为PQ为圆的直径，2 7PQ，当点M到直线PQ的距离为7r 时，PQM的面积最大，此时最大值是12 7772，故 D 错误.故选：D 二、多选题 9给出下列命题，其中正确的命题是（）A若直线的方向向量为(1,0,3)e，平面的法向量为22,0,3n，则直线l B若对空间中任意一点O，有OCOBOAOP414141，则P，A，B，C四点共面 C两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D已知向量(9,4,4)a，(1,2,2)b，则在上的投影向量为1,2
22、,2【答案】CD【分析】根据向量法证明直线与平面得位置关系得方法即可判断 A；根据空间向量共面定理即可判断 B；根据平面向量基底得定义即可判断 C；根据投影向量的定义即可判断 D.【详解】解：对于 A，因为220e n ，所以en，所以直线l 或l，故 A 错误；对于 B，故 B 错误；对于 C，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故 C 正确；对于 D，由(9,4,4)a，(1,2,2)b，得在上的投影向量为1,2,29881,2,233a bbbb，故 D 正确.故选：CD 10.数列的前项和为，则下列说法正确的是()A.若，则数列一定是等差数列 B.若对
23、于所有的正整数，都有，则这个数列一定是等差数列 C.若是递增数列，则 D.若，则数列一定是等比数列【答案】BD 【解析】【分析】本题考查等差数列，等比数列的判断，考查数列的单调性及数列通项求法，属中档题 对于，求出值即可判断数列不是等差数列；对于，利用判定即可；对于，根据对任意恒成立，求解即可判断【解答】解：对于，令，得，令，得，得，令，得，得，显然不成等差数列，所以 A 错误；对于，当时，两式作差得，得，两式作差得，整理得，即，所以数列一定是等差数列，故 B正确，对于，若是递增数列，则对任意恒成立，即对任意恒成立，得，故 C错误；对于，若，当时，两式作差得，所以数列一定是等比数列，故 D 正
24、确 故选 BD 11已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点分别为12,F F，过2F作垂直于渐近线的直线交两渐近线于 A，B 两点，若223 F AF B，则双曲线 C 的离心率可能为（）A14111 B62 C3 D5【答案】BC【分析】设点2(,0)F c，求出2|AF，由对称性设出 l的方程，与渐近线方程联立求出线段 AB 长，再分情况计算作答.【详解】设点2(,0)F c，由双曲线对称性，不妨令直线 l垂直于渐近线：byxa，即0bxay，则222|bcAaFbb，直线 l的方程为：()ayxcb，由()0ayxcbbxay 解得点 A的横坐标21axc，由()0ay
25、xcbbxay 解得点 B的横坐标2222a cxab，当0ab时，点 B在线段2F A的延长线上，由223 F AF B得|2ABb，因此有222122212acaa cABxxbbbcab，整理得223ca，则离心率3cea，当0ab时，点 B在线段2AF的延长线上，由223 F AF B得|4ABb，因此有222212214aca caABxxbbb abc，整理得2232ca，则离心率62cea，所以双曲线 C 的离心率为3或62.故选：BC 12如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，=3AB，12 6AA，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别
26、记为,，且sin2sin，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是（）AQ为BC中点 B线段1PA长度的最小值为 C存在一点P，使得/PQ平面11AB D D若P在正四棱柱1111ABCDABC D表面，则点P的轨迹长度为8+3 36【答案】BD【分析】对于选项 A，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设(,)P x y z，求出所以点P的轨迹为以点(3,4,0)为球心，以 2 为半径的球在正四棱柱内部（含表面）的部分.3(3,0)2Q,不满足方程222(3)(4)4xyz，所以该选项错误；对于选项 B，设球心为1O,线段1PA长度的最小值为72=5.所以该选项正确；对于选项 C
27、,所以球与矩形11BCC B的交线为弧GQ,球与矩形11CDD C的交线为弧GH,所以QMN和球没有交点，所以不存在一点P，使得/PQ平面11AB D,所以该选项错误；对于选项 D,点P的轨迹长度为238+3 32326,所以该选项正确.【详解】解：对于选项 A，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设(,)P x y z，过点P作PO平面ABCD,垂足为O,连接,OB OC.则,PBOPCO由题得|2|sin2sin=,|2|POPOPBPCPCPB,因为(3,0,0),(3,3,0)BC，所以 222222(3)4(3)4(3)4xyzxyz，即222(3)(4)4xyz，所以点P的轨迹为
28、以点(3,4,0)为球心，以 2 为半径的球在正四棱柱内部（含表面）的部分.由题得当Q为BC中点时，3(3,0)2Q,不满足方程222(3)(4)4xyz，所以Q为BC中点不满足题意，所以该选项错误；对于选项 B，设球心为1O,则22211|(30)(40)(2 6)7O A,所以线段1PA长度的最小值为72=5.所以该选项正确；对于选项 C,由题得|1CQ，过点Q作1/QN BC,交1CC于点N,过点N作1/MN C D交CD于点M.所以11/QN BCAD,QN 平面11AB D,AD 平面11AB D,所以/QN平面11AB D,同理/MN平面11AB D,又,QNMNN QN MN平面
29、QMN,所以平面QMN/平面11AB D,所以12|2 6633CN,设球与棱1CC的交点为G,与CD交于点H,222|213|6,|3|13CGCNCHCM，所以球与矩形11BCC B的交线为弧GQ,球与矩形11CDD C的交线为弧GH,所以QMN和球没有交点，所以不存在一点P，使得/PQ平面11AB D,所以该选项错误；对于选项 D,由题得球与矩形11BCC B的交线为弧GQ,球与矩形11CDD C的交线为弧GH,球与正方形ABCD的交线为弧QH,由于11|2GQQOGOCH,所以113QO GGO H,所以弧GQ=弧QH=2233,弧GH=132342,所以P在正四棱柱1111ABCDA
30、BC D表面，则点P的轨迹长度为238+3 32326,所以该选项正确.故选：BD 三、填空题 13 na为等差数列，14736939,33aaaaaa，则9S _.108【分析】方法 1：由等差数列的等和性以及等差数列的前 n项和公式1()2nnn aaS 可得结果.方法 2：由等差数列的通项公式以及等差数列前 n项和公式（基本量）可得结果.【详解】方法 1：na为等差数列，1474339aaaa，3696333aaaa，413a，611a，194699()9()9(13 11)108222aaaaS，方法 2：na为等差数列，设公差为 d，147111369111363925833aaaa
31、adadaaaadadad 解得：1161ad 919 89 899 16(1)10822Sad 故答案为：108.14已知圆22:10Cxaya，过直线:2230lxy上任意一点P作圆C的两条切线,PA PB，切点分别为,A B，若APB为锐角，则的取值范围是_【答案】1,2【详解】试题分析：由于圆心到直线的距离,当APB时,所以,即,注意到,故,即.考点：圆与直线的位置关系及运用【易错点晴】本题考查的是圆与直线的位置关系的问题.解答时先求出圆心到定直线:2230lxy的距离,再考虑为APB直角的特殊情形,求出此时圆心与动点的距离为定值,这时的是最小的,当由直角变小时,会增大,由于是动点与圆
32、心连线中长度是最小的,因此只要圆心到直线的距离也大于即可,所以求得的范围是1,2.15.设定点，抛物线：的焦点为，点为抛物线上的动点若的最小值为，则实数的值为()【答案】或【分析】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离即可求解【解答】解：若在抛物线内部，如下图，过作垂直准线，由抛物线的定义有，所以当，三点共线时，最小，因为准线方程为，所以，解得，若在抛物线的外部，则当，共线，且在，之间时，最小，则的最小值为，解得或，由于时，在抛物线的内部，所以舍去，综上，或 16.如图是瑞典数学家科赫.HV Koch在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开
33、始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线 设原三角形（图）的边长为，把图，图，图，中的图形依次记为1M，2M，3M，nM，则3M的边数3N _，nM所围成的面积nS _【答案】48 12 33 345209n【分析】记nM的边数为nN，三角形边长为na，面积为nS，由图形变化规律可直接得到134nnN，从而得到3N；根据21134nnnnSSNa，采用累加法可求得nS.【详解】记nM的边数为nN，三角形边长为na，面积为nS，由图形变换规律可知：134nnN，113nnaa，则233448N；由图形可知：nM
34、是在1nM每条边上生成一个小三角形（去掉底边），则21134nnnnSSNa，由21134nnnnSSaN，2121234nnnnSSaN，2212134SSaN；左右分别相加得：22212112134nnnnnSSa NaNa N；数列 2na是公比为19的等比数列，数列 nN是公比为的等比数列，11222211211413934145919nnnnnna NaNa N，1133342 33 34144595209nnnS.故答案为：48；12 33 345209n.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合应用问题，解题关键是根据图形的变化规律确定nM的边数的变化规律符合等比数列的变化；并得到
35、图形面积变化所满足的递推关系式，采用累加法表示出图形面积.四、解答题 17已知数列 na的前项和nS，14a，124nnSan(1)证明数列2na 为等比数列，并求出na的通项公式；(2)设2log2nnnbaa，求数列 nb的前 n项和nT【详解】（1）因为124nnSan 当2n时,1214nnSan 可得12nnnaaa,即得122nnaa 因为12222222222nnnnnnaaaaaa,又因为14a,则26a,即得2124222aa 所以2na 是以12=2a 为首项,以 2 为公比的等比数列 所以12=222nnna,即2+2nna （2）由(1)可得22log2=22 log
36、222nnnnnnbaan 则应用等比数列和等差数列前项和公式 1122122(5)=2223+4+21225222nnnnn nTnnn 18已知nS是等差数列 na前项和，96881,26Saa.(1)求 na的通项公式；(2)在 na中，去掉以1a为首项，以2a为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为 nb，求 nb前 100 项和100T【答案】(1)21nan(2)10904 【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式；（2）设以1a为首项，以2a为公比的数列为 ,nncc前项和为nM.利用 1001055TSM即可求解.【详解】（1）（1）设数列
37、 na的公差为 d.96881,26Saa，1119 898125726adadad,解得:1a1,d 2.所以，11121naandn，即21nan.（2）设以1a为首项，以2a为公比的数列为 ,nncc前项和为nM.由（1）知11123nnnca a，所以1 31311 32nnnM 5610581,243,209cca 51001055105 1041105 123110904.22TSM 19如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD为菱形，PA平面 ABCD，ABC60，E，F 分别是 BC，PC的中点 (1)证明：AEPD；(2)H是 PD上的动点，EH与平面 PAD所成的最大角
38、为 45，求二面角 EAFC 的正切值 （1）由四边形 ABCD为菱形，ABC60，得 ABC为正三角形，因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC，又 BC/AD，因此 AEAD，因为 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，所以 PAAE，而 PA平面 PAD，AD平面 PAD且 PAADA，所以 AE平面 PAD，又 PD平面 PAD，所以 AEPD（2）由（1）知，AE平面 PAD，连接 AH,EH,AHE是 EH与平面 PAD所成的角，由于 AE 为定值，当 AH最小时，AHE 最大 此时 AHPD，AHE45 设 AB2a，则 AE3a，AHAE3a，PAPDAHAD，AD PAP
39、D AH，22234a PAaPAa，PA2 3a，以AE、AD、AP所在直线为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 310,0,2 3,3,0,0,3,0,322PaEaCa aFaaa，设平面 AFC 的一个法向量为,mx y z，则2 3030m APazm ACaxay，取 x1，得1,3,0m，设平面 AEF 的一个法向量为111,nx y z，则111130313022n AEaxn AFaxayaz，取1z1，得0,2 3,1n，63cos,2 1313m nm nmn，91213tan,3313m n，二面角 EAFC 的正切值为23 20已知抛物线 C：24yx的焦点为
40、F，点O 为坐标原点，直线过定点,0T t（其中0t，1t 与抛物线 C相交于A，B 两点（点A位于第一象限）(1)当4t 时，求证：OAOB；(2)如图，连接AF，BF 并延长交抛物线 C于两点1A，1B，设ABF 和11AB F的面积分别为1S和2S，求12SS【答案】(1)证明见解析(2)212StS 【分析】（1）设直线方程为4xmy，11,A x y，22,B xy，联立直线与抛物线 C的方程244xmyyx，结合韦达定理以及向量的数量积求解即可.（2）设直线方程为xmyt，11,A x y，22,B xy，联立直线与抛物线 C的方程24xmytyx，得到124y yt，设133,A
41、 xy，144,Bxy，1A A的方程为1xny，联立直线1A A与抛物线 C的方程，转化求解314yy，同理可得：424yy，然后求解三角形的面积比值.【详解】（1）证明：设直线方程为4xmy，11,A x y，22,B xy，联立直线与抛物线 C的方程244xmyyx，消去，得24160ymy，所以1216y y 所以 1122,OA OBx yxy 121222121244x xy yyyy y 212121616 160y yy y 即OAOB（2）解：设直线方程为xmyt，11,A x y，22,B xy，联立直线与抛物线 C的方程24xmytyx，消去，得2440ymyt，故124
42、y yt 设133,A xy，144,Bxy，1A A的方程为1xny，联立直线1A A与抛物线 C的方程214xnyyx，消去得2440yny，从而134yyn，134y y ，则314yy，同理可得：424yy，1212113411111sin21sin2AF BFAFBAF BFy ySSAF B Fy yAF B FAFB 2221216y yt 212StS 21已知三棱柱，侧面为矩形，平面平面 求证：；若二面角的余弦值为，点为棱中点，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】证明：取棱的中点，因为是正三角形，所以，又四边形为矩形，所以，又，所以，又，A、平面，所以平面，又平面，所以，所以
43、 解：因为平面平面，平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，设，则，所以，设平面法向量为，由，得 令，则，平面法向量为，设二面角的平面角为，则，所以，所以，所以，又平面法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为 22在一张纸片上，画有一个半径为 4 的圆（圆心为 M）和一个定点 N，且2 5MN，若在圆上任取一点 A，将纸片折叠使得 A 与 N重合，得到折痕 BC，直线 BC 与直线 AM 交于点 P (1)若以 MN所在直线为y轴，MN 的垂直平分线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点 P
44、 的轨迹方程；(2)在（1）基础上，在直线2yx，2yx 上分别取点 G，Q，当 G，Q 分别位于第一、二象限时，若GPPQ，1,32，求GOQ面积的取值范围(1)过点 N作圆 M 的切线，切点分别为 E，F 由题意知，BC是线段 AN的垂直平分线，因为直线 BC 与直线 AM交于点 P，所以PAPN，当点 A在劣弧 EF上时，点 P 在射线 MA上，所以4PMPNPMPAMA；当点 A在优弧 EF上时，点 P 在射线 AM上，所以4PNPMPAPMMA 所以42 5PMPN，所以点 P 的轨迹是以 M，N为焦点的双曲线 设该双曲线的标准方程为222210,0yxabab，则24a，22 5c，所以 a2，5c，2221bca，所以点 P 的轨迹方程为2214yx；(2)由题可设00,P x y，33,2G xx，44,2Q xx，0303,2GPxxyx，4040,2PQxxxy 因为GPPQ，所以34003400340340,1222.1xxxxxxxyxxyxxy 将点00,P x y的坐标代入双曲线方程有223434111xxxx，化简得23414x x 故423443343341111122222222GOQSx yx yxxxxx x（三角形面积公式343412Sx yx y）因为1,32，所以由对勾函数性质得1102,3，故011822,23G QS