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1、湖北省部分重点中学高一上学期期末联合考试数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1.函数1()ln1f xxx的定义域是（）A.(1,0)B.(1,)C.(0,)D.,1(1,)（）【答案】C【解析】【分析】由解析式有意义列不等式求x的取值范围即可.【详解】因为1()ln1f xxx有意义，所以0,10 xx，解不等式可得0 x，所以函数1()ln1f xxx的定义域是(0,)，故选：C.2.已知点tan,cosP在第三象限，则角的终边位置在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】
2、【分析】由P所在的象限有tan0,cos0，即可判断所在的象限.【详解】因为点tan,cosP在第三象限，所以tan0,cos0，由tan0，可得角的终边在第二、四象限，由cos0，可得角的终边在第二、三象限或x轴非正半轴上，所以角终边位置在第二象限，故选：B.3.设0.73a，0.7log0.8b，3tan4c，则,a b c的大小关系为（）A.cba B.bac C.bca D.cab【答案】A【解析】【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a和b与 1和 0 的关系，由正切函数性质分析c与 1和 0 的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a，即1a，0.70.7log0.8log0.
3、71b，且0.70.7log0.8log00b，即01b，由正切函数性质可知3tan04c，即0c，故cba，故选：A.4.函数 22logf xxx 的零点所在的区间为（）A.01，B.12，C.23，D.34，【答案】B【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数 22logf xxx,0 x 是单调递增函数，当0 x时，f x，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40ffff ，故(1)(2)0ff 故函数的零点所在的区间为 12，故选：B 5.奇函数 f x满足 4f xf x，当0,2x时，132xf x，则202
4、3f=（）A.72 B.32 C.72 D.552【答案】A【解析】【分析】由()(4)f xf x，可得到函数()f x的周期是 4，利用函数的周期性和奇偶性，将2023f转化为 1f，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数 f x满足 4f xf x，()f x是以 4 为周期的奇函数，又当0,2x时，132xf x，1172023311322ffff ，故选：A.6.函数 cos2xf xx的部分图像大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为 cossin2xxxf xx,sinsinxxfxf xxx .所以 f
5、 x为奇函数,故AB选项错;0,sin0 xx 0f x,故D选项错;故选:C.7.已知函数()sin3f xx（0），若()f x在20,3上有两个零点，则的取值范围是（）A.5,4)2 B.5,)2 C.5 11,)2 2 D.5,42【答案】A【解析】【分析】求出3x的范围，数形结合得到关于2 33的范围，求出的取值范围.【详解】20,3x，0，则 2,3333x，故2 2,333，解得：5,4)2.故选：A 8.已知函数()=|log2(1)|,1 3，若方程()yf xm有 4个不同的零点1234,x x x x，且1234xxxx，则341211()()xxxx（）A.10 B.8
6、 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】作出 f(x)图像，由图可知方程()yf xm的 4 个不同的零点为函数 yf(x)与函数 ym 图像的四个交点的横坐标，由图可知，1212x xxx且3x48x.【详解】作函数 f x 22log1,13816,3xxxxx的图像如图，f xm有四个不同的实根1234,x x x x且1234xxxx，可得3x48x，且2122log1log1xx，即为2122log1log10 xx，即有12111xx，即为1212x xxx，可得343412118xxxxxx.故选：B.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选
7、项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的的 0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若0ab，则22acbc B.若0ab，则22ab C.若0ab，则22aabb D.若0ab，则11ab【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.【详解】对于 A：当0c，22acbc，故 A 错误；对于 B：0ab，22ab，故 B 正确；对于 C：当2a，1b时，则24a，2ab，21b，则22aabb，故 C 错误；对于 D：0ab，11ab，故 D正确；故选：BD.10.下列说法正确的是（）A.命题3:0,0pxx 的否定为：30,0 xx.B
8、.2()lgf xx与()2lgg xx为同一函数 C.若幂函数()yf x的图象过点(2,2)，则(9)2f D.函数2xy 和2logyx的图象关于直线yx对称【答案】AD【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知 A正确；根据两个函数的定义域不同，可知 B不正确；利用待定系数法求出()f x的解析式，再根据解析式求出(9)f，可知 C 不正确；根据函数2xy 与2logyx互为反函数，可知 D 正确.【详解】对于 A，命题3:0,0pxx 的否定为：30,0 xx，故 A正确；对于 B，2()lgf xx与()2lgg xx的定义域不同，所以不为同一函数，故 B不正确；对于 C，
9、设()f xx，则(2)22af，所以12，所以12(9)93f，故 C不正确；对于 D，函数2xy 与2logyx互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，故 D 正确.故选：AD 11.已知函数()sin(3)f xx22的图象关于直线4x对称，则（）A.函数12fx为奇函数 B.函数 f x在12 3，上单调递增 C.若 122f xf x，则12xx的最小值为3 D.函数 f x的图象向右平移4个单位长度得到函数cos3yx 的图象【答案】AC【解析】【分析】利用()sin(3)f xx的图象关于直线4x对称，即可求出的值，从而得出 f x的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即
10、可.【详解】因为()sin(3)f xx的图象关于直线4x对称，所以342kkZ，得4k，Zk，因为 22，所以0,4k，所以()sin 34f xx，对于 A：sin 3sin312124fxxx，所以12fx为奇函数成立，故选项 A 正确；对于 B：12 3x，时，30,434x，函数 f x在12 3，上不是单调函数；故选项 B 不正确；对于 C：因为 max1f x，min1f x，又因为 122f xf x，所以12xx的最小值为半个周期，即21323，故选项 C 正确；对于 D：函数 f x的图象向右平移4个单位长度得到 sin 3sin 3sin344yxxx，故选项 D 不正确
11、；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题 12.已知函数123,12()1,222xxf xxfx，则下列说法正确的是（）A.函数1()6yf xx有 3个零点 B.关于 x 的方程*1()0(N)2nf xn有24n个不同的解 C.对于实数1,)x，不等式2()30 xf x 恒成立 D.当1*2,2(N)nnxn时，函数()f x的图象与 x轴围成的图形的面积为12【答案】ACD【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可.【详解】当312x时，()22f
12、xx，当322x时，()42f xx，当23x时，则3122x，1()1222xxf xf，当34x时，则3222x，1()2222xxf xf，当46x时，则232x，11()2822xxf xf，当68x时，则342x，1()1282xxf xf，依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，对于 A，由1()06f xx，得1()6f xx，令16yx，由图象可知16yx与()yf x的图象只有 3个交点，所以函数1()6yf xx有 3个零点，所以 A 正确，对于 B，当1n 时，1()02f x，即1()2f x，由图象可知12y 与()yf x的图象只有 3个交点，所以关
13、于 x 的方程1()02f x 有 3个不同的解，而当1n 时，246n，所以 B 错误，对于 C，对于实数1,)x，不等式2()30 xf x 恒成立，即3()2f xx恒成立，由图可知函数()f x的图象的每一个上顶点都在曲线32yx上，所以3()2f xx恒成立，所以 C正确，对于 D，当1n 时，则1,2x，此时函数()f x的图象与 x 轴围成的图形的面积为111 122 ，当2n 时，则2,4x，此时函数()f x的图象与 x 轴围成的图形的面积为1112222，当3n 时，则4,8x，此时函数()f x的图象与 x 轴围成的图形的面积为1114242，当1*2,2(N)nnxn时
14、，函数()f x的图象与 x 轴围成的图形的面积为11111(22)222nnn，所以 D正确，故选：ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.17cos3_【答案】12【解析】【分析】由于17633，进而结合诱导公式求解即可.【详解】由诱导公式可得171coscos6cos3332 故答案为：12.14.已知函数 sin0,0,0f xAxA的图象如图所示.则函数 f x的解析式为_.【答案】()2sin(2)3f xx【解析】【分析】根据最值可求A，根据周期可求，代入特殊值可求.【详解】由图可知，2A，313341234T，T，2T，2，又0，2.2sin
15、2,0f xx，当3x时，222sin02333fkkZ，解得3.故答案为：()2sin(2)3f xx.15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为，则该勒洛三角形的面积为_.【答案】99 32【解析】【分析】计算出等边ABC的边长，计算出由弧AB与AB所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC的边长为a，则3a，解得3a，
16、所以，由弧AB与AB所围成的弓形的面积为222119 339 3sin323236424aa，所以该勒洛三角形的面积9 339 399 334242S.故答案为：99 32.16.函数 2ln12f xaxx是定义在R上的奇函数，且关于x的不等式22sincos0fmmxfx恒成立，则实数m的取值范围为_.【答案】0,)【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求解实数a；再利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题，利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解即可.【详解】函数 f x的定义域为R，由函数 f x为R上的奇函数，可得 2222ln12ln12ln 14
17、0fxf xaxxaxxaxx，即221414axxa，则实数4a；所以 2ln142f xxx，任取12,Rx x，设12xx，则 21122121122222142ln142ln142ln142xxf xf xxxxxxx，2212121414,22xxxx，2112221421142xxxx，则211222142lnln10142xxxx，所以 12f xf x，则函数 f x为R上增函数；又函数 f x为R上的奇函数，所以不等式22sincos0fmmxfx恒成立，转化为222sincoscosfmmxfxfx，即22sincosmmxx 对x R恒成立，所以2sinsin210 xm
18、xm 对x R恒成立，即222sin4 2sin3sin132sin42sin2sin2sinxxxmxxxx，令2 sintx，因1sin1x，则12sin3x，即13t，则332sin442 342sinxtxt，当且仅当3t 时取等号，由双勾函数的单调性知：1,3t，函数单调递减，3,3t，函数单调递增，当1t 时，340tt，当3t 时，340tt，所以32 342sin402sinxx，所以0m，故实数m的取值范围为0,.故答案为：0,.【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题是解决本
19、题的关键.四、解答题：本题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M的坐标为03(,)5y，且3(,2)2.（1）求sin的值；（2）求9cos()cos(23sin()tan()2）的值.【答案】（1）45（2）14【解析】【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；（2）由同角三角函数的关系即可求解.【小问 1 详解】角的终边与单位圆的交点为M03(,)5y 35cos 3(,2)2 sin0 24sin1 cos5 .【小问 2 详解】原式cossincossin1tancostansin
20、tan 又sintans43co 原式4113443 18.某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽 3m，东西的人行通道宽 4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为 30m，则其东西侧边长为 40m，人行通道占地面积最小 5282m【解析】【分析】设矩形停车场南北侧边长为mx，则其东西侧边长为1200 xm，人行通道占地面积为1200(6)81200Sxx，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为m0 x
21、x，则其东西侧边长为1200 xm，人行通道占地面积为 212007200681200848mSxxxx，由均值不等式，得2720072008482 8482 24048528mSxxxx，当且仅当72008xx，即30mx 时，2min528mS，此时120040mx 所以，设计矩形停车场南北侧边长30m，则其东西侧边长为 40m，人行通道占地面积最小 528m2 19.设函数()sin 2,R4f xxx（1）求函数()f x的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x在区间3,84上的最大值和最小值【答案】（1），37,Z88kkk（2）最大值为 1；最小值为22【解析】【分析】（
22、1）代入正弦函数的周期公式与单调递减区间即可求解；（2）根据正弦函数单调区间与定义域即可求出最大值和最小值.【小问 1 详解】由题知，()sin 2,R4f xxx 所以函数()f x的最小正周期22T，令3222,Z242kxkk，得37,Z88kxkk，所以()f x的单调递减区间为37,Z88kkk【小问 2 详解】因为384x，所以50244x，所以当242x即38x时，()f x有最大值，最大值为 1；当5244x即34x时，()f x有最小值，最小值为22.20.中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家
23、发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度v（米/秒）之间满足关系：510 2033vqv（），其中q表示燕子耗氧量的单位数（1）当该燕子的耗氧量为720个单位时，它的飞行速度大约是多少？（2）若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：lg20.3，lg30.48）【答案】（1）31（米/秒）（2）8（米/秒）【解析】【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将5v表示为对数，然后求出v即可（2）记燕子原来的耗氧量为1q，飞行速度为1v，现在的耗氧量为2q，飞行速度为2v，则可得21523vv，然后化为对数运算即可【小问 1 详解】当720q 时，57
24、2010 2v，即5272v，所以22222lg 3log 72log 8log 932log 336.25lg 2v，所以31v，即它的飞行速度大约是31（米/秒）【小问 2 详解】记燕子原来的耗氧量为1q，飞行速度为1v，现在的耗氧量为2q，飞行速度为2v，则213qq，即21551023 102vv，所以21523vv，212log 35vv，所以212lg35log 358lg2vv，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）21.已知函数 2f xxaxb abR，(1)若1b ，且函数 f x有零点，求实数a的取值范围；(2)当1ba 时，解关于x的不等式 0f x；(3)若正数ab，满
25、足43ab，且对于任意的 10 xf x，恒成立，求实数ab，的值【答案】(1)(,22,)；(2)2a 时 1,1a；2a 时1；2a 时1,1a；(3)1,2ab；【解析】【分析】(1)由240a 可得结果；(2)1ba 时，21f xxaxa11xxa，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)1x，时 0f x 恒成立，当且仅当 10f，即10ab，即1ab，由43ab，可得43ab，则413bb，解不等式即可的结果【详解】(1)1b 时，21f xxax，由函数 f x有零点，可得240a，即2a或2a；(2)1ba 时，21f xxaxa11xxa，当1 1 a
26、即2a 时，0f x 的解集为11 a，当1 1 a 即2a 时，0f x 的解集为 1，当1 1 a 即2a 时，0f x 的解集为11a，；(3)二次函数 f x开口响上，对称轴2ax ，由2a 可得 f x在1，单调递增，1x，时 0f x 恒成立，当且仅当 10f，即10ab，即1ab，由43ab，可得43ab，则413bb，由0可得2440bb，即220b，则2b，此时11a，则1a 【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数
27、问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中 22.设函数()212xxaf x(a为实数).（1）当0a 时，求方程1|()|2f x 的实数解；（2）当1a 时，（）存在1,2t使不等式22(2)(2)0f ttftk成立，求k的范围；（）设函数()2,g xxb若对任意的10,1,x 总存在20,1,x 使12()()f xg x，求实数b的取值范围.【答案】（1）=1x或23log2x （2）（）(3,)；（）3,12【解析】【分析
28、】（1）将0a 代入()f x中，直接求方程1|()|2f x 的实数根即可；（2）将1a 代入()f x中，根据指数函数的性质判断()f x的单调性.（）根据条件，可得2min2ktt，求出2min 2tt，即可得到k的取值范围；（）求出()f x和()g x的值域，根据条件得到11,22bb，再求出实数b的取值范围.【小问 1 详解】当0a 时，()21xf x，则1|()|2f x 1212x 或1212x =1x或23log2x.【小问 2 详解】当1a 时，1()212xxf x.因2xy 在(,)上单调递增，12xy 在(,)上单调递减，所以1()212xxf x 在R上单调递增.
29、（）因为存在1,2t，使不等式22(2)(2)0f ttftk成立，所以22(2)(2)f ttftk，所以2222tttk，所以只需2min2ktt，又当1,2t时，2min23tt，所以3k，即k的取值范围为(3,).（）当0,1x时，()2g xxb的值域为,2bb；当0,1x时，1()212xxf x 的值域为1 1,2.因为对任意的10,1,x 总存在20,1,x 使12()()f xg x，所以11,22bb，所以1122bb，解得312b，所以实数b的取值范围为3,12.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数,yf xxa b，,yg xxc d（1）若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 2maxminf xg x；（2）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2maxmaxf xg x；（3）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2minminf xg x；（4）若若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x，则 f x的值域是 g x值域的子集