《2023届河北省张家口市高三上学期期末数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届河北省张家口市高三上学期期末数学试题(解析版).pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 23 页 2023 届河北省张家口市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合|110Uxx，1,2,3A，1,2,3,4,5,6B，则UBA（）A4,5,6,7,8,9 B1,2,3 C7,8,9 D4,5,6【答案】D【分析】先根据补集运算求出UA，然后求交集即可得到.【详解】由已知得，|110UAxx且2x 且3x，所以4,5,6UAB.故选：D.2已知复数5i2i2iz，则z（）A1 4i B14i C5 12i D1 2i【答案】A【分析】利用复数的四则运算化简复数z，根据共轭复数的定义可得出复数z.【详解】由已知可得5i 2i2i12i2i14i2i2iz ，因
2、此，14iz .故选：A.3已知a是 1，3，3，5，7，8，10，11 的上四分位数，在 1，3，3，5，7，8，10，11 中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为（）A14 B514 C1528 D1328【答案】C【分析】先根据百分位数的计算公式求出a，再根据古典概型的计算方法求解即可.【详解】上四分位数即第 75 百分位数，因为8 75%6，所以8 1092a.8 个数中有 6 个数小于 9，所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为2628C15C28p.故选:C.第 2 页 共 23 页 4已知函数 f x为偶函数，定义域为 R，当0 x 时，0fx，则不等式 20f xxf x
3、的解集为（）A0,1 B0,2 C1,1 D2,2【答案】B【分析】根据导函数小于 0，得到偶函数 f x在0,上单调递减，从而对不等式变形后得到2xxx，解出解集.【详解】因为当0 x 时，0fx，故偶函数 f x在0,上单调递减，故 20f xxf x变形为：2fxxfx，所以2xxx，显然0 x 不满足不等式，解得：11x，故0,2x.故选：B 5石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的若推动拉杆绕碾盘转动 2 周，碾滚的外
4、边缘恰好滚动了5 圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A3：2 B5：4 C5：3 D4：3【答案】B【分析】绕碾盘转动 2 周的距离等于碾滚滚动 5 圈的距离，列出方程即可求解.【详解】由题意知，2 25 2hr；55,224hhrr，故选：B.6已知等差数列 na的首项10a，而90a，则1111671884aaaaaaa（）第 3 页 共 23 页 A0 B2 C-1 D12【答案】A【分析】由90a，代入99naand即可化简求值.【详解】等差数列 na的首项10a，90a，则91111689997148999802725aaaaadaaaaa
5、aaaddadddd.故选：A 7过点 1,1P作圆22:420E xyxy的切线，则切线方程为（）A20 xy B210 xy C210 xy D210 xy 或210 xy 【答案】C【分析】由题意可得点P在圆E上，根据切线的性质求切线斜率，进而求切线方程.【详解】由题意可知：圆22:420E xyxy的圆心2,1E，半径5r，22114 12 10 ，点P在圆E上，又1 122 1PEk ，则切线的斜率12k，切线方程为1112yx，即210 xy.故选：C.8设2ln2142ln 2,23eabc，则（）Aabc Bcab Cbca Dbac【答案】D【分析】作差后利用指数函数性质比较
6、,a b大小，构造函数ln()xf xx，由导数确定其单调性，由函数单调性比较,a c大小【详解】23ln22ln8lne66ab 22e2.87.848，2ln8lne2，0ab，ab，设ln()xf xx，则21 ln()xfxx，ex时，()0fx，即()f x在(e,)上递减，第 4 页 共 23 页 ln2ln424a，222eln42ln22ee2c，2e8，所以2ee42，2e()(4)2ff，即ca，综上，bac 故选：D 二、多选题 9以下命题正确的有（）A一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小 B一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数 C样
7、本相关系数r的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数2R的大小可以比较不同模型的拟合效果 D分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例【答案】BC【分析】根据方差,中位数,平均数，相关系数，分层抽样等知识点分别判断即可.【详解】对于A:数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大,故A错误;对于B:根据图可知,中位数靠右大于平均数,故B正确;对于C:样本相关系数r是指样本数据之间的线性相关程度，而决定系数2R是比较不同模型的拟合效果,故C正确;对于D:分层随机抽样所得各层的样本量不一定与各层的大小成比例,等比例分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例,故D错误;故
8、选:BC 10已知椭圆22:11612xyC的左、右焦点分别为1F、2F，点2,1M，直线l与椭圆C交于A、B两点，则（）第 5 页 共 23 页 A12AFAF的最大值为16 B12AF F的内切圆半径3r C1AMAF的最小值为7 D若M为AB的中点，则直线l的方程为30 xy【答案】AC【分析】利用基本不等式可判断 A 选项；利用分析可得1 2AF FSrac，求出1 2AF FS面积的最大值，可判断 B 选项；利用椭圆的定义、数形结合可判断 C 选项；利用点差法可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，在椭圆C中，4a，2 3b，则222cab，即点12,0F、22,0F，由椭圆的定义
9、可得1228AFAFa，由基本不等式可得21212164AFAFAFAF，当且仅当124AFAF时，等号成立，故12AFAF的最大值为16，A 对；对于 B 选项，1 21212162AF FSrAFAFFFac rr，当点A为椭圆C的短轴的顶点时，1 2AF FS取最大值124 32c bbc，1 24 32 3663AF FSr，B 错；对于 C 选项，由椭圆的定义可得128AFAF，所以，12228887AMAFAMAFAMAFMF，当且仅当点A为射线2F M与椭圆C的交点时，等号成立，故1AMAF的最小值为7，C 对；对于 D 选项，22111612，则点M在椭圆C内，设点11,A x
10、 y、22,B xy，若ABx轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，第 6 页 共 23 页 所以，直线AB的斜率存在，由题意可得121242xxyy，由已知可得221122221161211612xyxy，两个等式作差可得 1212121201612xxxxyyyy，即1212046xxyy，所以，直线AB的斜率为121232AByykxx，所以，直线l的方程为3122yx ，即3280 xy，D 错.故选：AC 11正方体1111ABCDABC D的棱长为 2,E F H分别为AD,1DD,1BB的中点,则（）A直线1AD 平面BEF B直线AH平面BEF C三棱锥HEFB的体积为13
11、 D三棱锥HCFB的外接球的表面积为9【答案】BCD【分析】取1,A A中点为T,连接1,ET TB AD,通过求三角形ETB各个边长,可得,ET BE不相互垂直,即可证明1,AD BE不垂直,即可判断选项 A 的正误;连接11,AD HD,根据面面平行的判定定理即可证明平面EFB平面1AHD,再根据面面平行的性质定理即可证明选项 B 的正误;取AB中点为Q,根据一条线与一个平面平行,则这条线上任一点到该平面距离相等,通过等体积转换即可得HEFBHQDBVV即可求出结果;分别取11,A A C C中点为,T G,将三棱锥HCFB的外接球转化为长方体ABCDTHGF的外接球,求出半径及表面积即可
12、.【详解】解:由题知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2,关于选项 A:取1,A A中点为T,连接1,ET TB AD如图所示:第 7 页 共 23 页 ,E F T分别为AD,1DD,1AA的中点,11,EFAD ETAD,且1111,22EFAD ETAD=,由于正方体1111ABCDABC D的棱长为 2,2,5,5ETBEBT,ET BE不相互垂直,即1,AD BE不相互垂直,若直线1AD 平面BEF,则1ADBE,与上面结论矛盾,故选项 A 错误;关于选项 B:连接11,AD HD,如图所示:,E F H分别为AD,1DD,1BB的中点,111,EFAD BHD F BHD
13、F=,第 8 页 共 23 页 四边形1BHD F为平行四边形,1HDBF,1,EFAD EF 平面EFB,1AD平面EFB,1AD平面EFB,1,HDBF BF 平面EFB,1HD平面EFB,1HD平面EFB,1111,ADHDD AD平面1AHD,1HD 平面1AHD,平面EFB平面1AHD,AH 平面1AHD,AH平面BEF,故选项 B 正确;关于选项 C:取AB中点为Q,连接,EQ DQ BD,如图所示:,E F H Q分别为AD,1DD,1,BB AB的中点,EQBDFH,FH 平面FHB,EQ平面FHB,EQ平面FHB,HEFBE FHBQ FHBF QHBVVVV,FDBH BH
14、 平面QBH,FD平面QBH,FD平面QHB,第 9 页 共 23 页 F QHBD QHBHQDBVVV,故1111 21323HEFBH QDBVV ,故选项 C 正确;关于选项 D:分别取11,A A C C中点为,T G,连接,FT TH HG FG如图所示:由图可知三棱锥HCFB的外接球即长方体ABCDTHGF的外接球,2,1ABAD AT,长方体ABCDTHGF的外接球半径为222221322,所以此外接球的表面积为23492,故选项 D 正确.故选:BCD 12已知1x，方程1 20 xxx，21 log0 xxx在区间1,的根分别为,a b，以下结论正确的有（）A22logab
15、ab B111ab C4ab D1ba【答案】ABD【分析】题意说明,a b分别是函数()2xf x 和2()logg xx的图象与函数1xyx的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线yx对称得2()log1bag bbb，()21aabf aa，直接变形判断 AB，利用不等式知识判断 C，由零点存在定理确定3 8(,)2 5a，构造函数yba，确定其单调性，由单调性判断 D【详解】已知两方程化为21xxx，2log1xxx，所以,a b分别是函数()2xf x 和2()logg xx的图第 10 页 共 23 页 象与函数1xyx的图象交点的横坐标，易知()2xf x 和2()log
16、g xx的图象关于直线yx对称，而函数1111xyxx 的图象可以看作是由1yx的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到的，因此1xyx的图象也关于直线yx对称，所以点(,()a f a与(,()b g b关于直线yx对称，2()log1bag bbb，()21aabf aa，22logabab，A 正确；又1()2111aabf aaa，所以(1)(1)1ab，abab，从而111ab，B 正确；1()212411aaabaf aaaaaa，当且仅当111aa 即2a 时取等号，由于222 1，而224，因此2a，等号不成立，即4ab，C 错误，1111abaaaaa，设()2
17、1xxh xx，则323()323802h，8588()253h，7523815855282233，所以8()05h，所以3 8(,)2 5a，1a 时，111yaa 是减函数，所以由3 8(,)2 5a得161311512aa，所以16115ba，D 正确 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定,a b分别是函数()2xf x 和2()logg xx的图象与函数1xyx的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线yx对第 11 页 共 23 页 称得出,a b的关系 三、填空题 13已知向量3,2,2,ab，ab，则实数_【答案】-4【分析】根据
18、平面向量基本定理计算.【详解】2/,32ab，解得：4 ；故答案为：-4.14已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点F到C的一条渐近线20yx的距离为2 3，则双曲线C的方程为_【答案】221312xy【分析】根据条件求出 a，b，c 即可.【详解】渐近线的方程为2yx ，2,2bbaa ，又,0F c，由点到直线的距离公式知：2222 3,1521cc，2222222,415,3,12abcaaab，双曲线 C 的方程为：221312xy；故答案为：221312xy.15已知直线:l ykxb是函数 20f xaxa与函数 exg x 的公切线，若 1,1f是直线l与函数 f
19、 x相切的切点，则b _【答案】321e2【分析】求出导函数()fx，()g x，由(1),(1)ff 得切线方程ykxb，设()g x图象上的切点为11(,)x y，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得1x，从而得,a b值【详解】()2fxax，(1)2fa，又(1)fa，所以切线l的方程为2(1)yaa x，即2yaxa，设直线l与()g x相切的切点为11(,)x y，()exg x，所以切线方程为111e()xyyxx，即111ee(1)xxyxx，第 12 页 共 23 页 所以111e2e(1)xxaxa，解得132321e2xa，所以321e2ba 故答案为：321e2 四
20、、双空题 16已知ABC的三个内角A BC，所对的边分别为abc，且43，acb，则ABC面积的最大值是_；若rR，分别为ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为_ 【答案】3；3,24.【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用1sin2ABCSbcA可得答案；对于第二空，利用212，sinABCSarRabcA可得答案.【详解】因abc，在三角形中，则由三角形三边关系可得441224cbbbcbb，又利用余弦定理有：22222101626cosbcabAbcb，又2210cossin，sinAAA，则424224210025632045411363sin
21、cosbbbbAAbb.得242215925423224sinABCSbcAbbb，当且仅当 252b，即102b 时取等号.则ABC面积的最大值是3；对于第二空，因12ABCSabc r，则2234444sinsinABCSbcAbArabcbb，又222sinsinsinaaRRAAA，则222116333112442 12121bbbrRbbbbb，因12b，第 13 页 共 23 页 则213b.令 1f xxx，其中2,3x，因 2210 xfxx，则 f x在2,3上单调递增，故51101213bb，得3,24rR.故答案为：3；3,24.五、解答题 17因疫情防控需要，某社区每天
22、都要在上午 6 点到 8 点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有,A B两个居民小区，两小区的居住人数之比为 9：11，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了 100位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图 (1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16 分钟的居民比例；(2)另据调查，这 100 人中一次核酸采集排队时间超过 16 分钟的人中有 20 人来自A小区，根据所给数据，填写完成下面2 2列联表，并依据小概率值0.01a
23、的独立性检验，能否认为排队时间是否超过 16 分钟与小区有关联？排队时间超过 16 分钟 排队时间不超过 16 分钟 合计 A 小区 B 小区 合计 附表：第 14 页 共 23 页 a 0.100 0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：22n adbcabcdacbd，其中nabcd 参考数据：14 0.0751.05，18 0.03750.675，22 0.0250.55，24 0.03750.9，260.01250.325，28 0.01250.35【答案】(1)13.4；30%.(2)是 【分析】（1）由频率
24、分布直方图平均数的计算代入即可得出答案；频率分布直方图中每个矩形的面积表示落在该组内的频率，由此可估计排队时长超过 16 分钟的居民比例（2）利用独立性检验公式计算2K，对照附表得出结论.【详解】（1）由直方图估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为：0.01252+0.03756+0.05 10+0.075 14+0.037518+0.02522+0.0125264=13.4（分钟）直方图分别该社区居民在一次核酸采集中排队时长超过 16 分钟的居民比例为：0.0375+0.025+0.01254=0.3=30%.（2）这 100 人中A小区的人有9100=4520（人），100 人中 B
25、小区的人有11100=5520（人），由题意知，排队时长超过 16 分钟的居民有100 0.3=30（人），其中 20 人来自于A小区，10 人来自于 B小区，排队时长不超过 16 分钟的居民有1003070（人），其中452025人来自于A小区，55 1045人来自于 B小区，填表如下：排队时间超过 16 分钟 排队时间不超过 16 分钟 合计 A 小区 20 25 45 第 15 页 共 23 页 B 小区 10 45 55 合计 30 70 100 则由独立性检验 2210020 4525 108.1296.63545 55 30 70K，故在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，能认
26、为排队时间是否超过 16 分钟与小区有关联.18已知nS为数列 na的前n项和,242nnSan(1)证明:数列4na 为等比数列;(2)求数列nna的前n项和nT【答案】(1)证明见解析(2)1231 2226nnnn 【分析】(1)先求出1a,根据242nnSan,写出112412nnSan,2n,两式相减即可得124nnaa,要证数列4na 为等比数列,只需证明144nnaa为一个常数,将124nnaa代入即可;(2)由(1)得出数列 na的通项公式,若求324nnnann前n项和,需要进行分组求和,先利用错位相减求出2nnbn的前n项和,再求等差数列的前n项和,即可得nT.【详解】（1
27、）证明:由题知242nnSan,11124 12aSa ,解得:12,a 故146a,由242nnSan,可得112412nnSan,2n,两式相减可得:11224nnnnnaSSaa,2n,所以124nnaa,2n,第 16 页 共 23 页 所以1114244244nnnnaaaa,2n,所以数列4na 是以 6 为首项,2 为公比的等比数列;（2）由(1)得数列4na 是以 6 为首项,2 为公比的等比数列,所以1462nna,故3 24nna,则324nnnann,设2nnbn,其前 n 项和为nP,则231 2223 22nnPn ,234121 2223 22nnPn ,-可得:2
28、311 21 21 21 22nnnPn 12 1 221 2nnn 1122nn,所以11 22nnPn,所以41233nnPnT 1311 2242nnnn 1231 2226nnnn,综上:1231 2226nnTnnn.19在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，sinsinsinsinsinsinsinABABCCB (1)求A；第 17 页 共 23 页(2)如图，在ABC所在平面上存在点E，连接,BE CE，若3ECAC，0120ACE，030EBC，2BC，求ABC的面积【答案】(1)120(2)333 【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；（2）由（1）的结
29、论，运用正弦定理和条件计算出ABC，再用面积公式计算.【详解】（1）sinsinsinsinsinsinsinABABCCB，由正弦定理得：ababc cb，即222abcbc，由余弦定理得：2222cosabcbcA，1cos2A ，又A 是三角形内角，120A；（2）令ABC，四边形内角和为360，由（1）的结论知：90E，在ABC 中，由正弦定理得：4 3,sinsinsin3BCACACA，在BCE 中，1212,sinsinsinsinECBCECCBEEEE，又13,4sinsinECACE，将代入得：4sinsin 901,2sin 21，120,180,060AAACB，230
30、 即15，62sin15sin 45304 ，4 33 26sin1533AC，13345,?sin4523ABCACBSAC BC；综上，120A，333ABCS.20如图，在四棱锥PABCD，2PCPBABBCCDDA，E为棱AP的中点，EBBC (1)证明：BCPD；(2)若32BE，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值 第 18 页 共 23 页【答案】(1)证明见解析.(2)1313.【分析】（1）通过证明线面垂直PD 面BEGC来证明线线垂直PDBC；（2）以 PD的中点为原点建立空间直角坐标系，通过坐标运算可得结果.【详解】（1）取 PD的中点 G，连接 EG、CG，如图所示，则
31、/EG AD，1=12EGAD，2ABBCCDDA 四边形 ABCD为菱形，/AD BC/EG BC，1=2EGBC 四边形 BEGC为梯形，BE与 GC相交，又PCCD，PBBA CGPD，BEPA 又BEBC，/AD BC BEAD 又BEPA，ADPAA，AD、PA面PAD，BEPAD 面 BEPD 又CGPD，BE与 GC 相交，BE、CG面BEGC，PD 面BEGC，PDBC（2）在Rt BEA中，2297442AEABBE，7AP，第 19 页 共 23 页 由（1）知，PDBC，又/AD BC，ADPD，在Rt ADP中，22743PDPAAD，取 BC 的中点 F，连接 GF，
32、则/EGBF且EGBF，四边形 BEGF 为平行四边形，/BEGF 又BEBC，/EGBC GEGF 由（1）知，PG 面BEGC，以 G为原点，分别以 GE、GF、GP 为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系 Gxyz，如图所示，则3(0,0,)2P，3(0,0,)2D，3(1,0)2B，3(1,0)2C，33(1,)22PC ，(0,0,3)PD，33(1,)22PB，设面 PDC的一个法向量为1111(,)nx y z，则111111330022030n PCxyzn PDz 取13x，则12y，10z，1(3,2,0)n，设面 PBC的一个法向量为2222(,)nxy z，则222
33、22222330022033022xyznPCnPBxyz 取21y，则20 x，23z，2(0,1,3)n，121212213cos,13|132n nn nnn 第 20 页 共 23 页 平面 PDC与平面 PBC夹角的余弦值为1313.21已知函数 eaxf xx (1)讨论函数 f x的单调性；(2)证明：1ln1 xaxf x【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分0a、0a 与a0讨论求解单调性即可；（2）1ln1 xaxf x可转化为1lne10eaxaxxx，令eaxtx，即证明1ln100ttt.设 1ln10g tttt，利用导数求 g t的最小值即可证
34、明.【详解】（1）eee1axaxaxfxaxax ，当0a 时，f xx，在R上单调递减；当0a 时，令 0fx，得1xa，当1xa 时，0fx；当1xa 时，0fx.当a0时，令 0fx，得1xa，当1xa 时，0fx；当1xa 时，0fx.综上所述，当0a 时，f x在R上单调递减；当0a 时，f x在1,a 上单调递增，在1,a上单调递减；当a0时，f x在1,a 上单调递减，在1,a上单调递增.（2）1ln1 xaxf x,即为1ln1eaxxaxx，即1lne10eaxaxxx，令eaxtx，可得0t，即证明1ln100ttt.设 1ln10g tttt，则 22111tg ttt
35、t，当0,1t时，0g t，函数 g t单调递减；第 21 页 共 23 页 当1,t时，0g t，函数 g t单调递增.所以 1ln1 1 10g tg ，即1ln100ttt.所以 1ln1 xaxf x.【点睛】结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用 22已知动圆E过定点6,0A,且在y轴上截得
36、的弦BD的长为 12,该动圆的圆心E的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程;(2)点P是曲线C上横坐标大于 2 的动点,过点P作圆2211xy的两条切线分别与y轴交于点,M N,求PMN面积的最小值【答案】(1)212yx(2)25 33 【分析】(1)设曲线C上任一点为,x y,根据题意,利用半径及弦BD的长为 12 建立等式,化简即可;(2)设出P点坐标及,PM PN的直线方程,求出,M N两点坐标,根据,PM PN与圆相切,建立等式,根据两个等式形式统一,可化为关于k的二次函数且12,k k为其两根,利用韦达定理写出12,k k之间的关系,写出面积公式,将12,k k之间的关系代入化简可得
37、关于0 x的式子,设新函数,求导求单调性,即可求出最值.【详解】（1）解:由题知,记曲线C上任一点为,x y,即动圆的圆心E的坐标为,x y,由于动圆E过定点6,0A,则半径226rxy,由于动圆E在y轴上截得的弦BD的长为 12,则2226xr,联立,消去r即可得:第 22 页 共 23 页 222266xyx,即212yx,故曲线C的方程为:212yx;（2）由题设00,P x y,则20012yx,且02x,设100:,PMlykxxy 令0 x,可得01 00,Myk x,设200:PNlykxxy,令0 x,可得0200,Nyk x,由于直线PM与圆2211xy相切,所以100211
38、11kxyk,化简可得:222100100022110kxxk yxy,由于直线PN与圆2211xy相切,同理可得:222200200022110kxxk yxy,故12,k k是方程2220000022110kxxkyxy 的两个根,所以0012200212yxkkxx,201220012yk kxx,且02x,故012PMNMNSyyx 00100202xyk xyk x 00212xxkk 220212142xkkkk 22200002200002114222yxxyxxxx 22220000002002141222xyxyxxxx 第 23 页 共 23 页 220000022xyxx
39、x 因为20012yx,所以20000102PMNxxxxS 430020102xxx,设 43210,22xxxxf x,则 232652xfxxxx,所以当2,5x时,0fx,f x单调递减,当5,x时,0fx,f x单调递增,即当5x 时,f x取最小值 4553f,此时PMNS取最小值,最小值为25 33.【点睛】思路点睛:该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,属于难题,关于求轨迹方程的思路有:(1)已知轨迹,建立合适的轨迹方程,用待定系数求解;(2)未知轨迹,求哪点轨迹设哪点坐标为,x y,根据题意建立关于,x y的等式即可;(3)轨迹不好判断,等式关系不好找时,找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的定量关系,根据转化找出轨迹特点,建立轨迹方程,用待定系数求解.