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1、广东省汕头市 2022 届高三三模 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集为 R，210Ax x，0Bx xa，10C ABxx R，则a（）A1 B2 C1 D0 22022 年北京冬季奥运会期间，从 3 名男志愿者和 2 名女志愿者中选 4 名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限则不同的支援方法的种数是（）A36 B24 C18 D42 3在 ABC 中，2BCBAACAC，则 ABC 的形状一定是（）A
2、直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 4已知数列 na中，114a ，当1n 时，111nnaa，则2022a（）A14 B45 C5 D45 5下列说法错误的是（）A命题“xR，cos1x”的否定是“0 xR，0cos1x”B在ABC中，sinsinAB是AB的充要条件 C若 a，b，Rc，则“20axbxc”的充要条件是“0a，且240bac”D“若1sin2，则6”是真命题 6已知0,，3sin45，则cos2（）A2425 B1625 C2425 D1325 753nxxx的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（）A2 B3 C4 D5 8已知函数 ln,01,
3、0 x xx xf xf xx，若关于 x 的方程 210f xkx 有四个不同的实根，则实数 k的取值范围是（）A111 1,464 2 B111 1,464 2 C111,1232 D11,23 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知复数1z对应的向量为1OZ，复数2z对应的向量为2OZ，下列说法中正确的是（）A若1212zzzz，则12OZOZ B若 1212OZOZOZOZ，则12zz C若1z与2z在复平面上对应的点关于实轴对称，则1 21 2z
4、 zz z D若12zz，则2212zz 10关于曲线 C：2221xmymm，下列说法正确的是（）A曲线 C一定不过点0,2 B若1m，过原点与曲线 C相切的直线有两条 C若1m，曲线 C表示两条直线 D若2m，则直线yx被曲线 C截得弦长等于2 2 11 已知函数 sin 22cos2f xxx，g xf xf x，若存在aR，使得对任意xR，f xf a，则（）A f x在,2a a单调递增 B1x，2x R，125g xg x C0，使得 g x在,a a上有且仅有 1 个零点 D若 g x在,3aa单调，则,23 12意大利人斐波那契于 1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数
5、：1，1，2，3，5，8，13，即从第三项开始，每一项都是它前两项的和后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列下面关于斐波那契数列 na说法正确的是（）A12144a B2022a是奇数 C20221232020aaaaa D2020202420223aaa 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知函数 3lnf xxx在点 1,Af x处的切线为 l，若 l与函数 g x相切，切点为2,Bm，则 22gg_ 14已知正方形 ABCD的四个顶点都在椭圆 E：222210 xyabab上，若正方形 ABCD 的一条边经过椭圆 E 的焦点 F，则 E 的离心率是_ 1
6、5某省 2021 年开始将全面实施新高考方案在 6 门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为 A，B，C，D，E共 5 个等级，各等级人数所占比例分别为 15%，35%，35%，13%和 2%，并按给定的公式进行转换赋分该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的原始分进行了等级转换赋分假设该省此次高一学生化学学科原始分 Y 服从正态分布76.3,64N若2,YN，令Y，则0,1N请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分 D等级的最低分为实施分层教学
7、的划线分，试估计该划线分大约为_分（结果保留 1 位小数）附：若0,1N，2.050.98P 16如图，DE是边长为2 3的正三角形 ABC的一条中位线，将 ADE沿 DE 翻折至1ADE，当三棱锥1CABE的体积最大时，四棱锥1ABCDE外接球 O的表面积为_；过 EC的中点 M 作球 O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知 ABC 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，BD为ABC 的角平分线 (1)求证：:AD ABCD CB；(2)若2BD 且26ca，求 ABC 的面积 18目前，新
8、冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标 A的数量 y与连续用药天数 x 具有相关关系刚开始用药时，指标 A的数量 y变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据,iix y，1i，2，3，4，5，10，ix表示连续用药 i天，iy表示相应的临床疗效评价指标 A的数值该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了 y关于 x 的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得 y与
9、x的线性回归方程：2.502.50yx；模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：lnbayx的附近，令lntx，则有10122.00iit，101230iiy，101569.00iiit y，102150.92iit(1)根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x的回归方程；(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以 30 天计，结果保留两位小数）回归模型 模型 模型 残差平方和1021iiiyy 102.28 36.19 附：样本,iit y（1i，2，n）的
10、最小二乘估计公式为121niiiniittyybtt，aybt；相关指数221211niiniiyyRyy，参考数据：ln20.6931 19已知各项均为正数的数列 na中，11a 且满足221122nnnnaaaa，数列 nb的前 n项和为nS，满足213nnSb (1)求数列 na，nb的通项公式；(2)若在kb与1kb之间依次插入数列 na中的 k项构成新数列 nc：1b，1a，2b，2a，3a，3b，4a，5a，6a，4b，求数列 nc中前 50 项的和50T 20 已知椭圆 C：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，上、下顶点分别为 A，B，四边形12AF BF的面
11、积和周长分别为2 3和 8，椭圆的短轴长大于焦距(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 为椭圆 C上的动点（不是顶点），点 P 与点 M关于原点对称，过 M作直线垂直于 x 轴，垂足为 E 连接 PE并延长交椭圆 C于点 Q，则直线 MP 的斜率与直线 MQ 的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21如图，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD为菱形，2PDAD，E，F分别是 PA，PD的中点，过 E，F 作平面交线段 PB，PC分别于点 G，H，且PGt PB (1)求证：GHBC；(2)若 PD平面 ABCD，且二面角APDC为120，二面角EFGP的正弦值为134
12、，求 t的值 22已知函数 2sinf xxx(1)求 f x在0,的极值；(2)证明：函数 lng xxf x在0,有且只有两个零点 1页 参考答案：1D 2A 3A 4B 5C 6A 7B 8C 9ABC 10AB 11AD 12AD 139 14512 1559.9 16 13 94#94 17(1)由题意可得sinsinsinADBBDCBDC，因为 BD 为ABC 的角平分线，则ABDCBD，在 ABD中，sinsinADABABDADB，则sinsinADABDABADB，同理可得sinsinCDCBDCBBDC，因此ADCDABCB，即:AD ABCD CB(2)设ABDCBD，
13、则2ABC，因为ABCABDCBDSSS，即111sin2sinsin222a cc BDa BD，又2BD 且26ca，可得sin 2sin2sincos，因为02，则02，则sin0，cos0，可得1cos2，3，所以，3sin22，139 33 6222ABCS 2页 18(1)由题意，知10122.00iit，101230iiy，可得2.20t，23y，又由112221110569.00 10 2.20 232550.92 102.20 2.2010nniiiiinniitittyyt ytybtttt，则2325 2.2032aybt，所以，模型中 y 关于 x的回归方程25ln32
14、yx；(2)由表格中的数据，可得102.2836.19，即21010211102.2836.19iiiiyyyy，所以模型的2R小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好；(3)根据模型，当连续用药 30 天后，3025ln3032y，连续用药 15 天后，1525ln1532y，301525ln 217.327517.33yy，用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高 17.33 19(1)由221122nnnnaaaa 得：1112nnnnnnaaaaaa 1102nnnnaaaa na是首项11a，公差为 2 的等差数列 21nan 又当1n 时，11213Sb 得11b 当2n，由
15、213nnSb 11213nnSb 由整理得：13nnbb，110b，3页 10nb，13nnbb，数列 nb是首项为 1，公比为 3 的等比数列，故13nnb；(2)依题意知：新数列 nc中，1ka（含1ka）前面共有：1212312kkkk 项 由12502kk，（*kN）得：8k，新数列 nc中含有数列 nb的前 9 项：1b，2b，9b，含有数列 na的前 41 项：1a，2a，3a，41a；9501 1 341 1 81115221 32T 20(1)由题意可知，2221222 3248c baabc，且bc，解得23ab，所以椭圆 C的方程为22143xy(2)设点1111,0,0
16、P x yxy，22,Q xy，则11,Mxy，1,0Ex，所112PEykx，所以直线 PE 的方程为1112yyxxx，联立111222143yyxxxxy 所以2222222111111132120 xyxx y xx yx，4页 所以21112221123x yxxxy，2211122211123xyx xxy，所以21122211123xyxxy，2311111221222211111122233yyx yyyxxxxxyxy，而121121MPMQyyykkxxx代入2x，2y，可得2221111122211111333322MPMQyx yxykkxxyx y ，所以直线 MP的
17、斜率与直线 MQ 的斜率之积为定值32 21(1)证明：E，F 分别是 PA，PD 中点，EFAD，又ADBC，EFBC，又EF 平面 PBC，BC 平面 PBC，EF 平面 PBC，又EF 平面，平面平面PBCGH，EFGH，GHBC；(2)解：PD平面 ABCD，AD，CD 平面 ABCD，ADPD，CDPD，ADC为二面角APDC的平面角，则120ADC，取 BC中点 O，连接 OD，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DO所在直线为 y轴，DP 所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，5页 则1,0,1E，0,0,1F，00 2P,，1,3,0B，设点 G 坐标为,x y z，PGt
18、 PB，0,1t，,21,3,2x y zt，322xtytzt，,3,22G ttt，设平面 PBD 的法向量为111,nx y z，则00DP nDB n，即1112030zxy，令13x，则11y ，10z，则3,1,0n，设平面 EFG 的法向量为222,mxyz，1,0,0EF ，,3,1 2FGttt，00EF mFG m，即222203120 xtxtyt z，令2 21yt，则23zt，20 x，则0,21,3mtt，设二面角 E-FG-P 的平面角为，二面角 E-FG-P 的正弦值为134，13sin4，3cos4，22221213coscos,427412321n mttn
19、 mttnmtt，25410tt，解得15t 或1t（舍去）.22(1)6页 由 2sinf xxx得 1 2cosfxx，0,x，令 0fx 得，3x 当03x时，0fx，此时函数 f x单调递减，当3x时，0fx，此时函数 f x单调递增，所以，函数 f x的极小值为333f，无极大值(2)证明：lnln2sing xxf xxxx，0,x，则 112cosgxxx，令 12cos1xxx，则 212sinxxx 当0,x时，212sin0 xxx，则 x在0,上单调递减 303，2102，所以，存在0,3 2x，使得 000 xgx 当 x变化时，g x，g x变化如下表：x 00,x 0 x 0,x g x 0 g x 单调递增 极大值 0g x 单调递减 而ln30333g，2lnlne20g，则 003g xg，又6gln166，令 ln1h xxx，其中01x，则 1110 xh xxx，所以，函数 h x在0,1上单调递增，则 10h xh，所以，ln10666h，由零点存在定理可知，函数 g x在0,上有两个零点