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1、河南省顶级名校 2022 届高三下学期 5 月考前真题重组导向卷（三）理科数学 一选择题 1已知Ra，i是虚数单位，若3zai，4z z，则a（）A1 或1 B7或7 C3 D3 2设集合2|2,|10,xAy yxRBx x 则AB=（）A(1,1)B(0,1)C(1,)D(0,)3下列命题为真命题的是（）A10且34 B12或45 CxR，cos1x DxR，20 x 4已知函数 f x的定义域为R，2f x为偶函数，21fx为奇函数，则（）A102f B 10f C 20f D 40f 5两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情
2、形）共有（）A10 种 B15 种 C20 种 D30 种 6在平面直角坐标系xOy中，已知向量,1,0,a b aba b点Q满足2()OQab.曲线|cossin,02CP OPab，区域|0,PrPQR rR.若C为两段分离的曲线，则（）A13rR B13rR C13rR D13rR 7设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则（）A,B,C,D,8 已知函数，xR.若在区间(,2)内没有零点，则的取值范围是（）A B C D 9已知1F，2F是椭圆22221(0)
3、xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，则C的离心率为（）A23 B12 C13 D14 10若过点,a b可以作曲线exy 的两条切线，则（）Aeba Beab C0eba D0eab 11已知的内角，面积S满足所对的边，则下列不等式一定成立的是 A B()16 2ac ab C D1224abc 12设函数 f x满足 222,2,8xeex fxxf xfx则0 x 时，f x A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 二填空题 13已知(13)nx 的
4、展开式中含有2x 项的系数是 54，则 n=_.14设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12f xf x的 x的取值范围是_ 15.设双曲线 x223y=1 的左、右焦点分别为 F1，F2若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_ 16已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_.三解答题 17已知首项都是 1 的两个数列（），满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若13nnb，求数列的前 n 项和 18已知直三棱
5、柱111ABCA BC中，侧面11AA B B为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点11BFA B （1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?19.在核酸检测中,“k 合 1”混采核酸检测是指：先将 k个人的样本混合在一起进行 1 次检测,如果这 k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这 k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行 1 次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对 100 人进行核酸检测，假设其中只有 2 人感染新冠病
6、毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这 100 人随机分成 10 组，每组 10 人，且对每组都采用“10 合 1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的 2 人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的 2 人分在同一组的概率为111.设 X 是检测的总次数，求 X的 分布列与数学期望 E(X).(II）将这 100 人随机分成 20 组，每组 5 人，且对每组都采用“5 合 1”混采核酸检测.设 Y 是检测的总次数，试判断数学期望 E(Y)与(I)中 E(X)的大小.(结论不要求证明)20已知抛物线C：22(0)ypx p的焦点为F，过F且斜率为43的直线l与抛物线C交于A，B两
7、点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为 4.（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG HE为定值，并求出定值.21已知函数2()(2)(1)xf xxea x有两个零点.（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x2是()f x的两个零点，证明：122xx.22已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1：224cos4sinxy，（为参数），C2：1,1xttytt （t 为参数）.（1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C
8、2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.23已知 11f xxax.（1）当1a 时，求不等式 1f x 的解集；（2）若0,1x时不等式 f xx成立，求a的取值范围.理科数学答案 1【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】D 10【答案】D 11.【答案】A 12.【答案】D 13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】17（1）因为，所以 所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知 于是数列前 n 项和 相减得 所以 18.（1）方法一：几何法 因为，
9、所以 又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过 E 作的平行线分别与交于其中点，连接，因为 E，F分别为和的中点，所以是 BC 的中点，易证，则 又因为，所以 又因为，所以平面 又因为平面，所以 方法二【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面，又，平面所以两两垂直 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图 41(,)4(2 7,8)131112,2nnnnnnaaccbb nc11c 2d 21.ncn13nnb1(21)3nnnnac bn0111 33 3(21)3nnSn 1231 33 3(21)3nnSn 121212(333)(21)32(22)3nn
10、nnSnn(1)31.nnSn1 11 1,/BFAB ABABBFAB1ABBB1BFBBBAB 11BCC B2ABBC1111ABCGABC GABAGBC，,M N11,AM BNAC1CCN1RtRtBCFB BN1CBFBBN1190BBNBNB1190CBFBNBBFBN，1 111 11,BFAB BNABBBF 11AMNBED 11AMNBBFDE111ABCA BC1BBABC1BBAB11/A BAB11BFABBFAB1BBBFBAB11BCC B1,BA BC BBB1,BA BC BB,x y z，由题设（）因为，所以，所以（2）方法一【最优解】：向量法 设平面的
11、法向量为，因为，所以，即 令，则 因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则 当时，取最小值为，此时取最大值为 所以，此时 方法二：几何法 如图所示，延长交的延长线于点 S，联结交于点 T，则平面平面 作，垂足为 H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角 设，过作交于点 G 由得 又，即，所以 又，即，所以 所以 则，0,0,0,2,0,0,0,2,0,BAC1110,0,2,2,0,2,0,2,2BAC1,1,0,0,2,1EF,0,2D a02a0,2,1,1,1,2BFDEa012 1 120BF DEa BFDEDFE,mx y z1,1,1,1,1,2EFDE
12、a 00m EFm DE0120 xyza xyz 2za3,1,2maa11BCCB2,0,0BA11BCC BDEFcosm BAmBA2622214aa232214aa12a 2224aa272cos3632722min63sin133112B D EF11ACDS11BCDFE1 1BBCC FT1BHFT1DB 11BB C CDH1DHB11BBC CDFE1,B Dt0,2,t1BTs1C111/CGABDS111113C SCGSAAD11(2)3C Gt1111BDBTCGCT12(2)3tsst31tst111BHBTC FFT1211(2)B Hss121(2)sB Hs
13、2211DHB HB D2221(2)sts2229225tttt11sinB DDHBDH2229225ttttt219119222t所以，当时，19.（1）对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次；所以总检测次数为 20 次；由题意，可以取 20，30，则的分布列:所以；（2）由题意，可以取 25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则.20（1）由题意得：，因为点的横坐标为 4，且在轴的上方，所以，因为的斜率为，所以，整理得：，即，得，抛物线的方程为：.（2）由（1）得：，淮线方程，直线 的方程：，由解得或，于是得.设点，又题意且
14、,所以直线：，令，得，即，同理可得：，.21.试题解析：（）（）设，则，只有一个零点（）设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增 又，取满足且，则，故存在两个零点（）设，由得或 若，则，故当时，因此在单调递增 又当时，所以不存在两个零点 若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增 又当时，所以不存在两个零点 12t 1min3sin3DHBX12011P X 1103011111P X XX2030P1111011 1103202030111111E X Y232981510020499C CPC29599P 49529502530=999999E YE X(,0)2pFBBx(
15、4,8)BpAB4384342pp3 280pp(2)(4 2)0pp2p C24yx(4,4)B(1,0)F1x l4(1)3yx24(1)34yxyx14x 4x 1(,1)4A2(,)4nPn1n 4n PA41114yxn 1x 41nyn 41nHEn 444nHGn444414nnHG HEnn()(1)2(1)(1)(2)xxfxxea xxea0a()(2)xf xxe()f x0a(,1)x()0fx(1,)x()0fx()f x(,1)(1,)(1)fe(2)fab0bln2ab 223()(2)(1)()022af bba ba bb()f x0a()0fx 1x ln(
16、2)xa2ea ln(2)1a(1,)x()0fx()f x(1,)1x()0f x()f x2ea ln(2)1a(1,ln(2)xa()0fx(ln(2),)xa()0fx()f x(1,ln(2)a(ln(2),)a1x()0f x()f x综上，的取值范围为（）不妨设，由（）知，在单调递减，所以等价于，即 由于，而，所以 设，则 所以当时，而，故当时，从而，故 22.(1)方法一：消元法 由得的普通方程为 由参数方程可得，两式相乘得普通方程为 方法二【最优解】：代入消元法 由得的普通方程为，由参数方程可得，代入中并化简得普通方程为(2)方法一：几何意义+极坐标 将代入中解得，故 P点的
17、直角坐标为 设 P 点的极坐标为，由得，故所求圆的直径为，所求圆的极坐标方程为，即 方法二：由得所以 P点的直角坐标为 因为 设圆 C的极坐标方程为，所以，从而，解得 故所求圆的极坐标方程为 方法三：利用几何意义 由得所以 P点的直角坐标为，化为极坐标为，其中 如图，设所求圆与极轴交于 E 点，则，所以，所以所求圆的极坐标方程为 a(0,)12xx12(,1),(1,)xx 22(,1)x()f x(,1)122xx12()(2)f xfx2(2)0fx222222(2)(1)xfxx ea x 22222()(2)(1)0 xf xxea x222222(2)(2)xxfxx exe 2()
18、(2)xxg xxexe 2()(1)()xxg xxee1x()0g x(1)0g1x()0g x 22()(2)0g xfx122xx22cossin11C4(04)xyx22,xyt xyt224xy22cossin11C4(04)xyx2xyt1xtt 224xy1,1xttytt 4xy2t 5 3,2 2P00,P 222tanxyyx034203tan505 34cos34172cos5r2 cosr17cos5224,4xyxy5,23,2xy5 3,2 2P225334|222OP2 cosa55cos2|34OP3452234a1725a17cos5224,4xyxy5,2
19、3,2xy5 3,2 2P34,2P5cos3490OPE17cos5OPOE17cos5方法四【最优解】：由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为 联立得解得 设 Q 为圆与 x轴的交点，其直角坐标为，O 为坐标原点 又因为点都在所求圆上且为圆的直径，所以，解得 所以所求圆的极坐标方程为 方法五利用几何意义求圆心 由题意设所求圆的圆心直角坐标为，则圆的极坐标方程为 联立得，即 P 点的直角坐标为 所以弦的中垂线所在的直线方程为，将圆心坐标代入得，解得 所以所求圆的极坐标方程为 23.详解：（1）当时，即 故不等式的解集为（2）当时成立等价于当时成立 若，则当时；若，的解集为，所以，故 综上，的取值范围为 (,0)a2 cosa2240,4xyxy5,23,2xy5 3,2 2P(2,0)Qa,(0,0),(2,0)P OQaOQ0OP PQ1710a 17cos5(,0)a2 cosa22404xyxy5232xy5 3,2 2POP106170 xy1060170a1710a 17cos51a 11f xxx 2,1,2,11,2,1.xf xxxx 1f x 12x x0,1x11xaxx0,1x11ax 0a 0,1x11ax 0a 11ax 20 xa21a02aa0,2