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1、2022 届湖北省华中师范大学第一附属中学高三 5 月高考押题 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在8ix（其中 i 为虚数单位）的展开式中，4x项的系数为（）A-1 B1 C-70 D70 2设U R，已知两个非空集合 M，N 满足UMN，则（）AMN R BMN CNM DMN R 3已知命题:qx R，210 xx，则（）A命题:qx R，210 xx 为假命题 B命题:qx R，210 xx 为真命题 C命题:qx R，210 xx 为假命题 D命题:qx R，210 xx 为真命题 4已知实数
2、 a，b，0,1c，e 为自然对数的底数，且22aaee，33bbee，2ln2cce，则（）Abac Babc Cbca Dcab 5A，B，C，D，E，F 这 6 位同学站成一排照相，要求 A 与 C 相邻且 A 排在 C 的左边，B 与 D 不相邻且均不排在最右边，则这 6 位同学的不同排法数为（）A72 B48 C36 D24 6已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别是1F，2F，过2F的直线 l 交双曲线 C 于 P，Q两点且使得2201PFF Q A 为左支上一点且满足120F AF P，1222133FFAFAQ，2AF P的面积为2b，则双曲线 C 的离心
3、率为（）A33 B2 C102 D3 7下列说法正确的是（）A随机变量 X 服从两点分布，若103P X，则 13E X B随机变量,XB n p，若 30E X，10D X，则43p C随机变量 X 服从正态分布4,1N，且50.1587P X，则350.8413PX D随机变量 X 服从正态分布3,4N，且满足23XY，则随机变量 Y 服从正态分布0,1N 8设函数 2sin3fxx，0，下列说法错误的是（）A当2时，f x的图像关于直线12x对称 B当时，f x的图象关于点4,03成中心对称 C当12时，f x在0,2上单调递增 D若 f x在0,上的最小值为-2，则的取值范围为76 9
4、 孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在算书九章大衍求一术中将此问题系统解决“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”现有一道同余式组问题：将正整数中，被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数，按由小到大的顺序排成一列数，则 281 是第几个数（）A18 B19 C20 D21 10设 P 为直线:10l xy 上一点，过 P 作圆22:2220C xyxy的两条切线，切点分别为 A，B，则PA PB的最小值为（）A8 312 B0 C128 3 D8 212 11如图，在四棱锥PABCD中，底面 AB
5、CD 是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，且2PA，点 E，F，G 分别为棱 AB，AD，PC 的中点，下列说法错误的是（）AAG平面 PBD B直线 FG 和直线 AC 所成的角为3 C过点 E，F，G 的平面截四棱锥PABCD所得的截面为五边形 D当点 T 在平面 ABCD 内运动，且满足AGT的面积为12时，动点 T 的轨迹是圆 12 已 知 函 数 212xxkf xkkR是 定 义 域 不 为R的 奇 函 数 定 义 函 数 22117xf xa f xaaR下列说法错误的是（）A1k B f x在定义域上单调递增 C函数 x不可能有四个零点 D 若函数 x仅有三个零点1x，
6、2x，3x，满足123xxx且130 xx，则 a 的值唯一确定且3,2a 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则CE FD_ 14已知抛物线2:22C ypx p的焦点为 F，点 M 为 C 上一点，点 N 为 x 轴上一点，若FMN是边长为 2 的正三角形，则 p 的值为_ 15设数列 na满足下列三条性质：11a 且21a ；*n N，414nnaa；m，*nN，1,2m nmnmnaaaaa则5a _ 16在正三棱柱111ABCABC中，18AA，底面ABC的边长为 2，用一个平面截此三棱柱，截面与侧棱1AA，1BB，1C
7、C分别交于点 M，N，P，且MNP为直角三角形，给出下列四个结论：当MNP为等腰直角三角形时，斜边与底面所成角的正弦值为33；当截面 MNP 将三棱柱截成体积相等的两个几何体时，MNP的直角顶点一定为所在侧棱的中点；截面MNP面积的最大值为65；平面与三棱柱底面所成锐角的余弦值最大为33其中正确结论的序号为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生按要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（本小题满分 12 分）为丰富学生在校的课余生活，某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门
8、等体育活动 各班拟推选“运动健将”组建班级代表队参与年级组织的体育比赛，年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰 （1）踢毽子是团体项目之一班级人均一分钟踢毽子数不低于 37 个就认定为优秀A 班利用体育课进行一分钟踢毽子练习，体育委员统计出同学们的成绩（全介于 10 到 70 之间）并作出频率分布直方图如图所示（原始成绩单丢失）已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列，假若以这次练习的成绩做评价，该班是否能达到优秀标准？请你说明你的判断理由 （2）年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目，竞赛规则如下：参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛，若投中或射中就称之
9、为成功 甲方式：从投篮、射门两项中通过抽签等可能地选择其中一个项目连续测试两次；乙方式：从投篮、射门两项中通过抽签等可能地选择其中一个项目进行测试，若该项目成功则换另一个项目接着进行测试，否则重复测试该项目，此方式也只测试两次 积分规则：无论选甲、乙哪种方式，若某项目首次测试成功就记 5 分，失败则记 0 分；再次测试该项目时，成功只记 4 分，失败仍记 0 分 A 班推选 a 同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛已知 a 同学投篮和射门的命中率分别为45，35，且前后两项测试不会相互影响以参加比赛的得分期望为标准，请问 a 同学该选择哪种方式？18（本小题满分 12 分）如图
10、，在四棱锥PABCD中，PAC为等边三角形，平面 PAC平面 ABCD，E 为 PD 的中点底面 ABCD为等腰梯形，BCAD，2AD，1ABBCCD （1）证明：PACD；（2）求二面角PCEA的余弦值 19（本小题满分 12 分）已知数列 na满足234a，*11221nnnaaannN（1）证明：数列21nan为等比数列；（2）求数列 na的前 n 项和nS 20（本小题满分 12 分）已知函数 212xf xex，6sin5g xxx（1）若0 x，直线 l 是 f x的一条切线，求切线 l 的倾斜角的取值范围；（2）求证：f xg x对于2,x 恒成立（参考数据：42.19e，32.
11、85e，21.41，31.73，3.14）21（本小题满分 12 分）如图，已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率为32，直线11:2lyxb与圆222:O xyb交于M，N 两点，4 55MN （1）求椭圆 E 的方程；（2）A，B 为椭圆 E 的上、下顶点，过点 A 作直线2:0lykxb k交圆 O 于点 P，交椭圆 E 于点 Q（P，Q 位于 y 轴的右侧），直线 BP，BQ 的斜率分别记为1k，2k，试用 k 表示1214kk，并求当12152,42kk时，BPQ面积的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分
12、。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面坐标系xOy中，圆 M 的参数方程为42cos,22sinxy（为参数）以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos4tan（1）求圆 M 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）过圆 M 的圆心作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若111MAMB，求直线 l 的直角坐标方程 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设 a，b，c 都是正数，f xxaxbc，且 f x的最小值为 1（1）求abc 的值；（2）证明：3131311abcabc 数学参考答案和评分标准 一、选择题 1【答案】D 2
13、【答案】B 3【答案】D 4【答案】A 5【答案】C 6【答案】C 7【答案】D 8【答案】C 9【答案】B 10【答案】D 11【答案】D 12【答案】B 二、填空题 13【答案】-6 14【答案】3 15【答案】0 16【答案】三、解答题 17【解析】（1）设倒数第 1，2，3，4 柱高的公比为 q（1q），则40.05 10.751qq，即21115qq，记函数 231f qqqq，1q，该函数在定义域上单调递增且 215f，故2q 利用频率分布直方图的信息可估计该班的一分钟踢毽子的平均值为 15 0.0925 0.1635 0.445 0.255 0.165 0.0537.1，因为37
14、.137，所以 A 班能达到优秀标准（2）a 同学若是选择甲方式，记得分为 X，X 可能的取值为 9，5，4，0 144133192552552P X，141132152552555P X，114123142552555P X，1111221025525510P X，得分的期望值为 111195406.325510E X a 同学若是选择乙方式，记得分为 Y，Y 可能的取值为 10，5，4，0 143134121025525525P X，14213111525525550P X，114123142552555P X，1111221025525510P X，得分的期望值为 12111110540
15、6.72550510E Y 因为 E YE X，所以 a 同学该选择乙方式 18【解析】（1）取 AD 的中点 F，连接 CF，因为BCAF且BCAF，所以四边形 ABCF 是平行四边形，所以1CFAB 因为12CFAD，所以ACCD 因为平面 PAC平面 ABCD，平面PAC 平面ABCDAC，所以 CD平面 PAC，又PA 平面 PAC，所以PACD（2）方法 1：如图，取 PC 的中点 G，连接 AG，EG 因为PAC为等边三角形，所以AGPC 由（1）知 CD平面 PAC，CD 平面 PCE，平面 PAC平面 PCE 又平面PAC 平面PCEPC，AG平面 PCE，AGCE 过点 G
16、作GHEC，垂足为 H，连接 AH AGGHG，EC平面 AHG AHG即为二面角PCEA的平面角 在RtACD中，易得3AC，3322AGAC，在RtPCD中，2PD，112CEPD，EG 为PCD的中位线，EGCD，EGPC，则1332214EGCGGHCE，tan2 3AGAHGGH，所以13cos13AHG 所以二面角PCEA的余弦值为1313 方法 2：取 AC 的中点 O，POAC，PO 平面 ABCD ABBC，OBOC 以点 O 为坐标原点，OB方向为 x 轴正方向，OC方向为 y 轴正方向，OP方向为 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 30,0,2P，30,02A，3
17、0,02C，31,02D，13 3,244E 330,22PC，13 3,244CE，0,3,0AC，设平面 PCE 的法向量为1111,nx y z，由110,0,nPCn CE取11z，得10,3,1n 设平面 ACE 的法向量为2222,nxyz，由220,0,nCEnAC取22z，得23,0,2n 12121213cos,13n nn nn n，易知二面角ADFC为锐角，所以二面角ADFC的余弦值为1313 19【解析】由题意得111212212 21nnnnaaann，故11212 21nnaann，而21034a，从而数列21nan是以1212132aa为首项，12为公比的等比数列
18、（2）由（1）知1212nnan，故1212nnan，故21111321222nnSn ，231111113212222nnSn ，得21111111222122222nnnSn 2111111221131221231222212nnnnn，所以13232nnSn 20【解析】（1）xfxex，设 p xfx，则 10 xp xe，所以 fx在0,上单调递增，故 01fxf，即tan1，因此,4 2 （2）令 216sin25xh xf xg xexxx，2,x，则 61cos5xh xexx，设函数 xh x，得 61sin5xxex，当2,0 x 时，10 xe ，sin0 x，0 x；当
19、0,x时，10 xe ，sin0 x，0 x；当,x时，661sin1055xxexe 所以 x在2,0上单调递减，在0,上单调递增，min6005x，2621cos205e，所以12,0 x，使得 10 x 又4623.1412.191 0.6 1.410.441044524e 3613.1412.851 0.60.203033523e 所以2,4 3x，使得 20 x 函数 h x的单调性及极值情况如下表：x 12,x 1x 12,x x 2x 2,x h x+0-0+h x 极大值 极小值 因为22662sin2sin2055hee，所以只需证明 20h x 由 20h x，得22261
20、cos5xexx，所以 222222222216661sin1cossin25552xh xexxxxxx 令 26 211cos542m ttt，,4 3t，因为 m t在,4 3 上单调递减，所以 22226 133.1411.60.6 1.730.014035 221818h xm xm，所以 0h x 对于2,x 恒成立，即 f xg x对于2,x 恒成立 21【解析】（1）圆心 O 到直线1l的距离为22212 525112bdb，解得21b，联立2221,3,2,bcacab解得2,3,ac故椭圆 E 的方程为2214xy（2）由（1）可知，点0,1A，0,1B，直线2l的方程为1
21、0ykxk，设点11,P x y，22,Q xy，联立221,1,ykxxy，得22120kxkx，所以1221kxk，2112111kykxk，联立221,1,4ykxxy得224180kxkx，所以22841kxk，222241141kykxk，22121212222811114128441141kyxkkkkkkxykkk 由152,2kk，得12,2k，2121222218262411411BPQABQABPkkkSSSAB xxxxkkkk 令函数 226411kf kkk，422226 12510411kkfxkk，所以函数 f k在12,2上单调递增，12285f，1625f，所
22、以BPQ面积的取值范围为12 6,85 5 22【解析】（1）因为cos4tan，所以222cos4 sin4xy，又2242cos,42422sin,xxyy，所以圆 M 的普通方程为22424xy，曲线 C 的直角坐标方程为24xy（2）4,2M，设直线 l 的参数方程为4cos,2sinxtyt（t 为参数），带入24xy得 24cos4 2sintt，22cos4 2cossin80tt，222216 2cossin4 8cos02cossin4sincos0 ，1224 2cossincostt，1 228cost t 又1 2280cost t，所以12121 211111ttMA
23、MBttt t，222cossin24cossin4sincos4，2222224cossin4sincos4tan4tan44sincostan1，23tan4tan0tan0或4tan3，带入式满足:20l y或4243yx，所以直线 l 的直角坐标方程为20y 或43220 xy 23【解析】（1）f xxaxbcxaxbcabc，因为 a，b，c 都是正数，且 f x的最小值为 1，所以1abcabc（2）313131222a ba cb cabca b cb a cc a ba b a cb a b cc a c baababcabcabcbcc 若ab时，1ab，01a baabb，若ab时，01ab，01a baabb，所以1a bab 同理可证1a cac，1b cbc，所以1a ba cb caabbcc 故3131311abcabc