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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年河南省信阳高级中学高一上学期 11 月月考数学试题 一、单选题 1在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A1yx B1yxx Cyx x D1,01,0 xxyxx 【答案】C【分析】利用函数奇偶性和单调性的概念分别判断各个选项的正误即可.【详解】解：A1yx在定义域内没有单调性，该选项错误；B12x 时，32y ，x1 时，y0；该函数在定义域内不是减函数，该选项错误；Cyx x 的定义域为 R，且 fxxxx xx xf x ；该函数为奇函数；22,0,0 xxyx xxx，该函数在0,，,0上都是减函数，且2200，该函数在定义域 R 上
2、为减函数，该选项正确；D1,01,0 xxyxx ，0 10 1 ；该函数在定义域 R 上不是减函数，该选项错误 故选：C 2已知函数21,0()1,0 xxf xx，则满足不等式21(2)fxfx的x的取值范围是（）A0,2 B0,2 C1,21 D1,2【答案】C【分析】先画出图象，结合图象得到22010 xx或22012xxx，解不等式即可.第 2 页 共 19 页【详解】画出()f x的图象如图所示，要使不等式21(2)fxfx成立，必有22010 xx或22012xxx，由22010 xx可得10 x；由22012xxx可得021x，综上可得1,21x.故选：C.3函数 2212xf
3、 xxx的部分图象大致为（）A B C D【答案】C【分析】分析函数 f x的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.【详解】2222112xxf xxxx，该函数的定义域为R，222211xxfxf xxx ，则函数 f x为奇函数，排除 BD 选项，第 3 页 共 19 页 当0 x 时，2222011112xfxxxxxx，当且仅当1x 时，等号成立，排除 A 选项.故选：C.4定义在R上的偶函数 f x，对任意的1x，2,0 x ，都有 12120 xxf xf x，10f，则不等式 0 xf x 的解集是（）A1,1 B,11,C 1,01,D,10,1 【答案】D【分析】
4、根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.【详解】若对任意的1x，2,0 x ，都有 12120 xxf xf x，则当,0 x 时，f x为减函数，f x是偶函数，当0,x时，f x是增函数，10f，10f，由此画出大致图象，则不等式 0 xf x 等价为 00 xf x或 00 xf x，即1x或01x，即不等式的解集为,10,1，故选：D 5已知 f(x)是定义域在 R 上的奇函数，且满足(2)(2)fxf x，则下列结论不正确的是（）Af（4）0 Byf(x)的图象关于直线 x1 对称 Cf（x8）f(x)D若 f（3）1，则 f（2021）1
5、【答案】B【分析】根据奇函数性质，令2x，即可判断 A 的正误；根据函数的对称性，可判断 B 的正误；第 4 页 共 19 页 根据奇函数及对称性，整理可判错 C 的正误；根据函数周期性，可判断 D 的正误，即可得答案.【详解】对于 A：因为 f(x)是定义域在 R 上的奇函数，所以(0)0f，又(2)(2)fxf x，令2x 代入可得(4)(0)0ff，故 A 正确；对于 B：因为(2)(2)fxf x，所以()f x图象关于2x 对称，无法确定是否关于直线 x1 对称，故 B 错误；对于 C：因为()f x为奇函数，所以(2)(2)(2)f xfxf x ，所以(4)()f xf x，则(
6、8)(4)()f xf xf x，故 C 正确；对于 D：由 C 选项可得，()f x的周期为 8，所以(2021)(253 83)(3)1fff ，故 D 正确；故选：B 6已知,0,a b，且不等式226abmm对任意2,3m恒成立，则11ab 的最大值为 A2 B2 2 C4 D4 2【答案】C【分析】利用二次函数配方得226mm的最小值，再由基本不等式得到关于 ab 的范围，将所求平方即可代入求解【详解】由题意不等式226abmm对任意2,3m恒成立 又2226=156,9mmma+b6 则292abab 当且仅当3ab 成立 211=2 2112 21 6+2+8=16aba bab
7、a bab a b 故11 4ab 故选：C【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最值有关 7已知 f x是定义在 R 上的奇函数，满足 1f xf x，当102x时，f xx，则下列结论错误的是（）A方程 f xxa=0 最多有四个解 第 5 页 共 19 页 B函数 f x的值域为22,22 C函数 f x的图象关于直线12x 对称 Df(2020)=0【答案】A【解析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断B，C，D是否正确，而选项A，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可【详解】由()(1)f xf x 可得
8、：(1)(2)f xf x，则()(2)f xf x，所以函数()f x的周期为 2，所以(2020)(0)0ff，D正确，排除 D；再由()(1)f xf x 以及()()f xfx，所以()(1)fxf x，则函数()f x的对称轴为12x，C正确，排除 C；当012x时，()0f xx，22，又函数是奇函数，102x时，2()2f xx，0，即1122x时22(),22f x ，又因为函数()f x的对称轴为12x，所以1322x时22(),22f x ，所以1322x时22(),22f x 又因为函数()f x的周期为 2，所以函数()f x的值域为22,22，B正确，排除 B；故选：
9、A【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8已知函数 f xxR满足 2fxf x，若函数1xyx与 yf x图象的交点为 112220202020,x yxyxy，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A1010 B-2020 C2020 D4040 第 6 页 共 19 页【答案】C【分析】根据已知条件得出函数
10、()yf x及1xyx的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000 个交点两两配对，坐标之和易求【详解】函数 f xxR满足 2fxf x，即为 2f xfx可得 f x的图像关于点0,1对称.函数1xyx，即11yx 的图象关于点0,1对称，即若点11,x y为交点，则点11,2xy也为交点；同理若点22,x y为交点，则点22,2xy也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 112220202020111122xyxyxyxyx 1222220202020200020000222020yxyxyxyxy .故选：C【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质
11、是解题关键函数()yf x：（1）若满足()(2)2f xfmxn，则函数图象关于点(,)m n对称；（2）若满足()(2)f xfmx，则函数图象关于直线xm对称 二、多选题 9若命题“x R，2214 130kxk x”是假命题，则k的值可能为（）A1 B1 C4 D7【答案】BC【解析】首先写出特称命题的否定，根据命题“x R，2214 130kxk x”是真命题，根据恒成立，讨论k的取值，求参数k的取值.【详解】由题可知，命题“x R，2214 130kxk x”是真命题，当210k 时，1k 或1k.若1k，则原不等式为30，恒成立，符合题意；若1k，则原不等式为830 x，不恒成立
12、，不符合题意.当210k 时，依题意得22210,16 14130kkk .第 7 页 共 19 页 即110,170,kkkk解得17k.综上所述，实数k的取值范围为17kk.故选:BC.【点睛】本题考查存在量词命题否定的应用，重点考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于基础题型.10定义,max,a aba bb ab，若函数 2max33,33f xxxx，且 f x在区间,m n上的值域为 1,3，则区间,m n长度可能为（）A12 B1 C74 D72【答案】BC【分析】作出函数 f x的图象，求出nm的最大值和最小值，即可得解.【详解】,3336,3x xxx x，当3x时，若233
13、xxx，即2430 xx，解得1x或3x；当3x 时，若2336xxx，即2230 xx，解得1x或3x，此时3x.所以，233,13,13xxxxf xxx或，作出函数 f x的图象如下图所示：第 8 页 共 19 页 因为函数 f x在区间,m n上的值域为 1,3，则当 ,0,1m n 时，区间,m n的长度取最小值；当,0,3m n 时，区间,m n的长度取最大值.所以，区间,m n的长度的取值范围是 1,3.故选：BC.11已知实数 x0，y0，且 2x8yxy0，则（）Axy的最小值为 18 Bxy的最小值为 64 C22xy的最小值为 128 D22161xy的最小值为18【答案
14、】ABD【分析】对 A，化简得821xy，根据82xyxyxy结合基本不等式求最小值即可；对 B，化简得28xyxy，根据基本不等式求得关于xy的不等式再求最小值即可；对 C，化简得222222644323268yxxxyyxxyy，再根据基本不等式分析最小值大于 128 即可判断；对 D，化简得821xy，再平方后根据基本不等式求解不等式即可【详解】对 A，由题意，28xyxy，故821xy，故第 9 页 共 19 页 8282821010218yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当82yxxy，即12,6xy时取等号，故 A 正确；对 B，282 288xyxyxyxy，故8xy，即64x
15、y，当且仅当28xy，即16,4xy时取等号，故 B 正确；对 C，化简得821xy，故22644321xyxy，故222222222264432644323268yxyxxyxyxyyyxxyx，因为22222222644644232xyxyxyxy当且仅当2xy时取等号，32323232264yxyxxyxy当且仅当xy时取等号，故222222644323268683264164128yxxyxyyxxy，故 C 错误；对 D，821xy，平方有2222226444 16441614 214xyx yxyxy ，即2216181xy，故2216118xy，当且仅当41xy，即4xy，16,
16、4xy时取等号.故 D 正确；故选：ABD 12已知函数 243,012,0 xxxf xxx若存在123xxx，使得 123f xf xf xt，则下列结论正确的有（）A234xx B23x x的最大值为 4 Ct的取值范围是1,3 D123xxx的取值范围是113，【答案】AD【分析】首先作出函数 f x的图象，根据图象的对称性，判断 A；根据基本不等式判断 B；根据图象，以及yt与函数 f x的图象有 3 个交点，判断 C；求出1x的范围，即可求解123xxx的取值范围，判断 D.【详解】如图，作出函数 f x的图象，根据123xxx，可知，23,xx是yt与243,0yxxx的两个交点
17、，第 10 页 共 19 页 根据对称性可知234xx，则2232342xxx x，因为23xx，所以234x x，故 A 正确，B 错误；2243211,0yxxxx ，122,0yxx 由图可知 t的取值范围是1,2，故C 错误；因为1121x，所以113x ，又234xx，则123xxx的取值范围是113，故 D 正确 故选：AD 三、填空题 13若不等式组222304(1)0 xxxxa 的解集是空集，则实数a的取值范围是_.【答案】,4 【分析】先由题中条件，得到不等式2410 xxa的解集为集合1x x 或3x 的子集，讨论0，0，0 三种情况，分别求解，即可得出结果.【详解】由2
18、230 xx得13x，即不等式2230 xx的解集为1,3；又不等式组222304(1)0 xxxxa 的解集是空集，所以不等式2410 xxa的解集为集合1x x 或3x 的子集，当24410a，即5a 时，不等式2410 xxa的解集为，符合题意；当0，即5a 时，不等式2410 xxa的解集为2x x ，也符合题意；当0，即5a ，设函数 241f xxxa，则该函数的图象开口向上，且对称轴方程为2x，且213 ，第 11 页 共 19 页 为使不等式2410 xxa的解集为集合1x x 或3x 的子集，所以必有 140fa ，即54a ；综上实数a的取值范围是4a.故答案为：4a.14
19、给出以下四个命题：若集合,Ax y，20,Bx，AB，则1x，0y；若函数 f x的定义域为1,1，则函数21fx的定义域为1,0；函数 1f xx的单调递减区间是,00,；若 f xyf x f y，且 11f，则 242014201620161320132015ffffffff 其中正确的命题有_（写出所有正确命题的序号）【答案】【分析】根据集合相等的定义及集合元素的互异性，可判断；根据抽象函数定义域的求法，可判断；根据反比例函数的图像，注意单调区间的书写，可判断；根据已知得到(1)(1)1()f xff x，进而可判断【详解】由,Ax y，20,Bx，AB可得20,yxx或20,xyx（
20、舍）.故1x，0y，正确；由函数 f x的定义域为1,1，得函数21fx满足121 1x ，解得10 x，即函数21fx的定义域为1,0，正确；函数 1f xx的单调递减区间是,0，0,，不能用并集符号，错误；由题意 f xyf x f y，且 11f得(1)(1)1()f xff x，则 242014132013ffffff20161 1110082015ff ，错误.故答案为【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合相等的定义及集合元素的互异性，抽象函数定义域的求法，不连续函数的单调区间的书写，难度中档 第 12 页 共 19 页 15若函数 22g xxxt xt在区间0,2上
21、是严格减函数，则实数t的取值范围是_.【答案】(,26,)【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴进行分类讨论可得【详解】因为2222222222(),2,()2()2(),32,xxtxtxtxtxtg xxxt xtxxtxtxtxtxt，当0t时，0,2x时，2()g xx单调递增，不合题意；当0t 时，0,2x时，2222()2()2g xxtxtxtt，函数()g x在区间0,2上是严格减函数，则2t，即2t ；当2t 时，0,2x时，22()32g xxtxt，函数()g x在区间0,2上是严格减函数，则23t，即6t；当02t
22、时，22222,2()32,0 xtxttxg xxtxtxt，0t，因此222yxtxt在,2t是单调递增，不合题意；综上，t的范围是(,26,)故答案为：(,26,)四、双空题 16已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，2f xxaxa，其中aR 1f _；若 f x的值域是R，则a的取值范围是_【答案】1 ,04,【分析】运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；由 f x的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x轴有交点，得到0，解不等式即可得到所求范围【详解】由题意得：111faa 第 13 页 共 19 页 f x为R上的奇函数 fxf x 111ff 若 f x的值域为
23、R且 f x图象关于原点对称 当0 x 时，2f xxaxa与x轴有交点 240aa 解得：0a 或4a a的取值范围为,04,故答案为1；,04,【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题 五、解答题 17已知全集U R，非空集合2031xAxxa，220 xaBxxa(1)当12a 时，求UBA；(2)命题 p：xA，命题 q：xB，若 q是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围【答案】(1)9542xx(2)1 11 35,2 332a 【分析】(1)当12a 代入两个集合，分别求解集合,A B，再求UAB；（
24、2）由条件可知，AB，分情况讨论集合A，再利用子集关系，列不等式求实数a的取值范围.【详解】（1）当12a 时522Axx，1924Bxx，12UBx x或94x，9542UBAxx（2）由 q 是 p 的必要条件，即pq，可知AB，由22aa，得22Bx axa 当312a，即13a 时，231Axxa，再由22231aaa，第 14 页 共 19 页 解得13532a 当312a，即13a 时，A，不符合题意；当312a，即13a 时，312Ax ax，再由23122aaa，解得：1123a 综上，1 11 35,2 332a 18已知函数21()(2)()2f xxmx mR（1）若关于
25、x的不等式()4f x 的解集为(2,4)，求m的值；（2）若对任意0 x，4，()2 0f x 恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）1；（2）0，).【分析】（1）()4f x 可化为2(42)80 xm x，然后根据解集，由根与系数的关系可得关于m的方程，解出m；（2）当0 x 时，0 2恒成立，符合题意；当(0 x，4时，则只需122()2minmxx成立，利用基本不等式求出122xx的最小值即可.【详解】（1）不等式()4f x 可化为2(42)80 xm x，不等式()4f x 的解集为(2,4)，2和4是2(42)80 xm x的两个实根，由根与系数的关系有2442m，1m，经检
26、验1m 满足题意，m的值为 1.（2）对任意0 x，4，()2 0f x 恒成立，21(2)22m xx对任意的0 x，4恒成立，当0 x 时，0 2恒成立，符合题意；当(0 x，4时，要使21(2)22m xx恒成立，则只需122()2minmxx成立，而12122222xxxx，当且仅当2x 时取等号，第 15 页 共 19 页 122()22minmxx，0m，m的取值范围为0，).【点睛】本题考查了不等式的解集与方程根的关系和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想和方程思想，属中档题.19已知函数22(2)1()1axxbf xx是定义在 R 上的奇函数.（1）求 f(x)的解
27、析式；（2）证明：f(x)在(1，+)上是减函数；（3）求不等式 f(1+3x2)+f(2x-x2-5)0 的解集.【答案】（1）2()1xf xx；（2）证明见解析；（3）|21xx.【解析】（1）根据奇函数定义列关系，求参数即得解析式；（2）利用单调性定义证明即可；（3）先移项，再利用奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】解：（1）函数2221()1axxbf xx为定义在R上的奇函数，(0)0f，(1)(1)ff，即1021121122babab ，解得2,1ab，2()1xf xx；（2）证明：设12,(1,)x x，且12xx，则 1212221211xxfxfxxx221221121
28、2222212121111111xxxxxxx xxxxx，120 xx，2110 x，2210 x，1210 x x，120f xf x，即 12f xf x()f x在(1,)上是减函数；（3）由221 3250fxfxx，得221 325fxfxx .()f x是奇函数，221 325fxf xx.又21 31x，2225(1)41xxx，且()f x在(1,)上为减函数，221 325xxx，即22240 xx，解得2 1x，不等式221 3250fxfxx的解集是|21xx.【点睛】已知奇偶性求解析式时，可以通过特殊值代入列关系求参数，但是证明奇偶性时必须对定第 16 页 共 19
29、页 义域内的任一 x,证明()()fxf x.利用奇偶性和单调性解不等式的关键是脱去f，列关系即可.20定义在 R 上的函数 f x满足：对任意 x、Ry都有 f xfyf xy(1)求证：函数 f x是奇函数；(2)如果当,0 x 时，有 0f x，求证：f x在1,1上是单调递减函数；(3)在满足条件（2）求不等式21240fafa的 a 的集合【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3),1616,【分析】（1）首先通过赋值法，求 00f，再赋值yx，代入后即可证明函数是奇函数；（2）首先设1211xx，结合条件可知120f xx，再根据函数单调性的定义，即证明；（3）首先证明函数在R
30、上单调递减，不等式转化为21 24faf a，利用单调性，解不等式.【详解】（1）证明：令 xy0，代入 f xyf xfy式，得 0000fff，即 00f 令yx，代入 f xyf xfy，得 f xxf xfx，又 00f，则有 0f xfx 即 fxf x 对任意xR成立，所以 f x是奇函数（2）任取1211xx，则120 xx，由题设0 x 时，0f x，可得120f xx 1212120f xf xf xfxf xx 故有 12f xf x，所以 f x在1,1上是单调递减函数（3）任取12xx，则120 xx，由题设0 x 时，0f x，可得120f xx 1212120f x
31、f xf xfxf xx 第 17 页 共 19 页 故有 12f xf x，所以 f x在 R 上是单调递减函数 由题意可知：f x奇函数，21240fafa，所以21 24faf a 又因为 f x在 R 上是单调递减函数所以2124aa，解得：,1616,21已知函数 2,f xxaxb a bR，且 f x单调递增区间是,b (1)若 14f x 对任意实数xR都成立，求 a，b的值(2)若 f x在区间,1上有最小值1，求实数 b的值(3)若2b，对任意的1x，21,2xb，总有 1223fxfxb，求实数 b 的取值范围【答案】(1)1a，12b；(2)2b 或152b(3)2,3
32、 【分析】（1）根据题意可得到2ab，则 14f x 可转化成21204xbxb，利用判别式即可求得答案；（2）分1b和1b 两种情况进行讨论 f x的单调性，通过得到最小值可计算出b；（3）题意可转化成对1,2xb，maxmin23f xf xb，通过二次函数的性质求出 maxmin,f xf x即可求解【详解】（1）2f xxaxb的单调递增区间是,b，可得xb为 f x的对称轴，则2ab即2ab，即 22f xxbxb，因为 14f x 即21204xbxb对任意的xR都成立，则214404bb，即2210b，但2210b，故12b，1a （2）f x的对称轴为xb，若1b，则 f x在
33、,b递减，在,1b递增，第 18 页 共 19 页 则 min1f xf b，即210bb，解得152b，则152b；若1b，则 f x在,1递减，则 min11f xf，即2b，综上可得，2b 或152b；（3）因为对任意的1x，21,2xb，总有 1223fxfxb，所以对1,2xb，maxmin23f xf xb，当2b时，1,2bb，且12bbb，所以 max2f xfbb，2minf xf bbb，则223bb，可得13b，则23b，即 b的取值范围是2,3 22定义在1,1上的函数 f x满足：对任意的 x，1,1y，都有：1xyf xfyfxy(1)求证：函数 f x是奇函数；(
34、2)若当1,0 x 时，有 0f x，求证：f x在1,1上是减函数；(3)若112f，221f xtat对所有1 1,2 2x，1,1a 恒成立，求实数 t的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2t 或0t或2t 【分析】（1）通过赋值法，首先求 00f，再赋值yx，代入后即可证明函数是奇函数；（2）首先设1211xx，证明121201xxfx x，再结合单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）首先将不等式转化为2211tat 对1,1a 恒成立，再构造一次函数，列不等式求解t的范围.【详解】（1）证明：令 xy0 得：00f 设任意1,1x，则1,1x ，00f xfx
35、f，即 fxf x，函数 f x是奇函数；第 19 页 共 19 页（2）设1211xx，则21,1x，121212121xxf xf xf xfxfx x，由1211xx 知：120 xx，且11x，21x，所以1 21x x，即1210 x x，121201xxx x，又 12121212111011xxxxx xx x，即12121,01xxx x，从而121201xxfx x，即 120f xf x，12f xf x，所以 f x在1,1上是减函数；（3）由（2）函数 f x在1,1上是减函数，则当1 1,2 2x 时，函数 f x的最大值为11122ff，若 221f xtat对所有恒成立，1 1,2 2x，1,1a 恒成立，则等价为2121tat对1,1a 恒成立，即220tat，设 2222tattg aat，则对1,1a 恒成立，1010gg，即222020tttt，即2002tttt 或或，解得：2t 或 0t或2t