测量平差学习教案.pptx

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1、会计学1测量平差测量平差第一页，编辑于星期日：十七点 一分。观测值：对该量观测所得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示表示。一、几个概念一、几个概念停止返回真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差，一般用一般用 i=-Li表表示。示。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用的数值，一般用 表示表示。第一节第一节第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律第1页/共34页第二页，编辑于星期日：十七点 一分。观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：停

2、止返回第一节第一节第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律第2页/共34页第三页，编辑于星期日：十七点 一分。二、偶然误差的特性二、偶然误差的特性二、偶然误差的特性二、偶然误差的特性n n例例1 1：在相同的条件下独立观测了：在相同的条件下独立观测了358358个三角形的全部内角，每个三角个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于形内角之和应等于180180度，但由于误差的影响往往不等于度，但由于误差的影响往往不等于180180度，计算各内角和度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔秒进行统计。的真误差，并按误差区间的间隔秒进行统计。误差区间

3、+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5

4、051770.495第一节第一节第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律第3页/共34页第四页，编辑于星期日：十七点 一分。(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:停止返回面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1第一节第一节第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律第4页/共34页第五页，编辑于星期日：十七点 一分。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d00.40.6 0.8-0.

5、8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。第一节第一节第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律第5页/共34页第六页，编辑于星期日：十七点 一分。1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其

6、算术平均值趋近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：停止返回第一节第一节第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律第6页/共34页第七页，编辑于星期日：十七点 一分。一、精度的含义一、精度的含义所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。同。第二节第二节第二节第二节 衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标第7页/共34页第八页，

7、编辑于星期日：十七点 一分。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低且平缓，精度低且平缓，精度低第二节第二节第二节第二节 衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标第8页/共34页第九页，编辑于星期日：十七点 一分。1、方差、方差/中误差中误差f()00.40.60

8、.8-0.8-0.6-0.4闭合差面积为1二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标停止返回方差：方差：中误差：提示：提示：越小，误差越小，误差曲线越陡峭，误差分曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。布越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。第二节第二节第二节第二节 衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标第9页/共34页第十页，编辑于星期日：十七点 一分。2、极限误差、极限误差3、相对误差、相对误差中误差与观测值之比，一般用中误差与观测值之比，一般用1/M表示。表示。第二节第二节第二节第二节 衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标第10页/共34页第十一

9、页，编辑于星期日：十七点 一分。一、协方差一、协方差对于变量X，Y，其协方差为：停止返回第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。表示X、Y间相关第11页/共34页第十二页，编辑于星期日：十七点 一分。对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差、，将其元素间的方差、协方差阵表示为：协方差阵表示为：特点特点：I对称对称II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元对角元相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差

10、传播律协方差传播律协方差传播律第12页/共34页第十三页，编辑于星期日：十七点 一分。二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差已知：那么：停止返回第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律 三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵已知：第13页/共34页第十四页，编辑于星期日：十七点 一分。停止返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方

11、差传播律协方差传播律第14页/共34页第十五页，编辑于星期日：十七点 一分。四、非线性函数的情况设有观测值设有观测值X的非线性函数的非线性函数：已知：第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律第15页/共34页第十六页，编辑于星期日：十七点 一分。停止返回将Z按台劳级数在X0处展开：第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律第16页/共34页第十七页，编辑于星期日：十七点 一分。第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律第17页/共34页第十八页，编辑于星期日：十七点 一分。协方差传播应用步骤协方差

12、传播应用步骤协方差传播应用步骤协方差传播应用步骤:n根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 或 n写出观测量的协方差阵n对函数进行线性化n应用协方差传播律求方差或协方差阵。n 停止返回第三节第三节第三节第三节 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律第18页/共34页第十九页，编辑于星期日：十七点 一分。n n例例例例1-61-6 经个经个N N测站测定两水准点测站测定两水准点A A、B B间的高差，其中第间的高差，其中第i(i=1,2N)i(i=1,2N)站的观测高差为站的观测高差为n n解：解：A A、B B两水准点间的高差为：两水准点间的高差为：n n设：各测站观测高差是精

13、度相同的独立观测值，其中误设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为差均为 ，。应用协方差传播律，得，。应用协方差传播律，得n n设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s s大致相等，设大致相等，设A A、B B间的距离为间的距离为S S，则，则A A、B B两点的观测高两点的观测高差的中误差为：差的中误差为：n n可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大

14、致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。量高差的中误差与距离的平方根成正比。第四节第四节第四节第四节 协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用 第19页/共34页第二十页，编辑于星期日：十七点 一分。n n例例例例1-71-7 设对某量以同精度独立观测了设对某量以同精度独立观测了N N次，得观测值次，得观测值 ，它们的中误差均等于，它们的中误差均等于 。求。求N N个观测值的算术平个观测值的算术平均值的中误差。均值的中误差。n n解：解：n n应用协方差传播律得：应用协方差传播律得：n n n n即：即：N N个同精度独立观测值的算术平均值的

15、中误差，等个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以观测值个数的平方根。于各观测值的中误差除以观测值个数的平方根。第四节第四节第四节第四节 协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用 第20页/共34页第二十一页，编辑于星期日：十七点 一分。一、权的定义一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。第五节第五节第五节第五节 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法第21页/共34页第二十二页，编辑于星期日：十七点 一分。（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四

16、）只要事先给定一定的条件，就可以定权。由此可见：第五节第五节第五节第五节 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法第22页/共34页第二十三页，编辑于星期日：十七点 一分。二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的权或2、边角定权、边角定权第五节第五节第五节第五节 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法第23页/共34页第二十四页，编辑于星期日：十七点 一分。一、协因数与协因数阵第六节第六节第六节第六节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第24页/共34页第二十五

17、页，编辑于星期日：十七点 一分。不难得出：因数阵QXX为协第六节第六节第六节第六节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第25页/共34页第二十六页，编辑于星期日：十七点 一分。特点特点：I对称，对角元素为权倒数对称，对角元素为权倒数II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。为等精度观测，单位阵。第六节第六节第六节第六节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第26页/共34页第二十七页，编辑于星期日：十七点 一分。二、权阵二、权阵称为的权阵。

18、当是对角阵时，权阵的主对角线元素就是的权；当是非对角阵时，权阵的主对角线元素不再是的权了，权阵的各个元素也不再有权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。设有独立的观测值 ，权为Pi ，则观测向量X的权阵为则有第六节第六节第六节第六节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第27页/共34页第二十八页，编辑于星期日：十七点 一分。三三三三、协因数传播律协因数传播律协因数传播律协因数传播律 设有观测值向量 和 的线性函数根据协方差传播律：顾及协方差阵与协因数阵的关系 化简得：上式称为协因数传播律协因

19、数传播律协因数传播律协因数传播律。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律。第六节第六节第六节第六节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第28页/共34页第二十九页，编辑于星期日：十七点 一分。二二二二、权倒数传播律（权倒数传播律（权倒数传播律（权倒数传播律（观测值独立）观测值独立）观测值独立）观测值独立）对于独立观测值 ，假定各 的权为 ，则 的权阵、协因数阵均为对角阵 有函数：线性化：权倒数传播律权倒数传播律权倒数传播律权倒数传播律第六节第六节第六节第六节 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第2

20、9页/共34页第三十页，编辑于星期日：十七点 一分。一、由真误差计算中误差的应用一、由真误差计算中误差的应用1由三角形闭合差求测角方差 设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差为 设测角方差均为 ，根据协方差传播律得：第七节第七节第七节第七节 由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用 上式称为菲列罗公式菲列罗公式菲列罗公式菲列罗公式，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。第30页/共34页第三十一页，编辑于星期日：

21、十七点 一分。二、由真误差计算中误差的应二、由真误差计算中误差的应用用2由双观测值之差求中误差 设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权：第一次：第二次：权：两次观测值的差数：由于差数的真值为0，所以差数的真误差就是差数本身。这样我们就得到了一组真误差。差数（真误差）的权：观测值 和 的方差第i对平均值的方差：，单位权方差第七节第七节第七节第七节 由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用 第31页/共34页第三十二页，编辑于星期日：十七点 一分。第八节第八节第八节第八节 测量平差原则测量平差原则测量平差原则测量平差原则 因为测量总是存在误差，为了能及时发现错误和提高成果的精度，常进行多余观测，因而观测值之间会出现不符值，所以要进行平差，平差应遵循的原则最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法第32页/共34页第三十三页，编辑于星期日：十七点 一分。复习思考题及课外作业复习思考题及课外作业复习思考题及课外作业复习思考题及课外作业第33页/共34页第三十四页，编辑于星期日：十七点 一分。