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1、会计学1数值积分数值积分NewtonCotes公式公式(gngsh)龙龙贝格算法贝格算法第一页，共21页。(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式(gngsh)(4.1)(gngsh)(4.1)有有 称为牛顿称为牛顿(ni dn)-(ni dn)-柯特斯求积公式柯特斯求积公式,Ck,Ck称为柯特斯系称为柯特斯系数数引进引进(ynjn)记号记号(k=0,1,n)则则第2页/共21页第二页，共21页。当当n=2=2时时 P104 P104 表表4-14-1给出了给出了n n从从1 18 8的柯特斯系数。的柯特斯系数。当当n=8n=8时，出现时，出现(chxin)(chxin)了负系数，从
2、而影响了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。第3页/共21页第三页，共21页。Newton-Cotes公式公式(gngsh)n n柯特斯系数柯特斯系数(xsh)(xsh)n1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 下面分别考虑几种(j zhn)特殊请况。第4页/共21页第四页，共21页。几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿-柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4n=1,2,4时，就时，就分别分别得到下面的梯形得到下面
3、的梯形(txng)(txng)公式、公式、SimpsonSimpson公式公式和柯特斯公式。和柯特斯公式。(1)(1)梯形梯形(txng)(txng)公式公式 当当n=1n=1时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是梯形柯特斯公式就是梯形(txng)(txng)公式公式 定理定理4.2（梯形（梯形(txng)公式的误差）设公式的误差）设f(x)在在a,b上上具有连续的二阶导数，则梯形具有连续的二阶导数，则梯形(txng)公式的误差（余公式的误差（余项）为项）为第5页/共21页第五页，共21页。证证:由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中(qzhng)(qzhng)可知梯形公式的误差为可
4、知梯形公式的误差为 由于由于(yuy)(x-a)(x-b)(yuy)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不变号中不变号,在在a,ba,b上连续上连续,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理,在在a,ba,b上存在一点上存在一点，使，使 因此因此(ync(ync)第6页/共21页第六页，共21页。（2 2）Simpson Simpson公式公式 当当n=2n=2时，牛顿时，牛顿(ni dn)-(ni dn)-柯特斯公式就是柯特斯公式就是SimpsonSimpson公式（或公式（或 称抛物线公式）称抛物线公式）定理定理(dngl)4.3(dngl)4.3（Simpson Sim
5、pson公式的误差）设在公式的误差）设在a,ba,b上具有连续的四阶导数，则上具有连续的四阶导数，则SimpsonSimpson求积公式的误差求积公式的误差为为 定理定理(dngl)(dngl)证明从略。证明从略。第7页/共21页第七页，共21页。（3 3）柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)。当当n=4n=4时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)为为 定理定理4.44.4（柯特斯公式（柯特斯公式(gngsh)(gngsh)的误差）设在的误差）设在a,ba,b上上具有连续的具有连续的6 6阶导数，则柯特斯求积公式阶导数，则柯特斯求积公式(gngsh)(g
6、ngsh)的的误差为误差为 定理定理(dngl)(dngl)的证明从略。的证明从略。第8页/共21页第八页，共21页。例例4.10 4.10 分别用梯形公式分别用梯形公式(gngsh)(gngsh)、Simpson Simpson公公式式(gngsh)(gngsh)和柯特斯和柯特斯 公式公式(gngsh)(gngsh)计算定积分计算定积分 的近似值的近似值(计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字)(1)(1)用梯形公式用梯形公式(gngsh)(gngsh)计计算算 (2)(2)用用SimpsonSimpson公式公式(gngsh)(gngsh)第9页/共21页第九页，共21页。(3)(
7、3)用柯特斯公式计算用柯特斯公式计算(j sun)(j sun)，系数，系数为为 积分积分(jfn)(jfn)的准的准确值为确值为 可见，三个求积公式可见，三个求积公式(gngsh)(gngsh)的精度逐渐的精度逐渐提高。提高。第10页/共21页第十页，共21页。例例4.11 4.11 用用SimpsonSimpson公公式式和和柯柯特特斯斯公公式式计计算算(j(j sun)sun)定积分定积分的近似值的近似值,并估计并估计(gj)(gj)其误差其误差(计算结果取计算结果取5 5位小数位小数)解解:SimpsonSimpson公公 式式(gngsh)(gngsh)由于由于 由由Simpson公
8、式余项公式余项 知其误差为知其误差为 第11页/共21页第十一页，共21页。解解:柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)知其误差知其误差(wch)为为 该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n2n2时，公式是精确的，这是由于时，公式是精确的，这是由于SimpsonSimpson公式具有三次公式具有三次(sn c)(sn c)代数精度，柯特斯公代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次次(sn c)(sn c)多项式当然是精确成立的。多项式当然是精确成立的。第12页/共21页第
9、十二页，共21页。误差误差误差误差(wch)(wch)(wch)(wch)分析分析分析分析记记Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(gngsh)(gngsh)的误差为：的误差为：则：则：其中其中(qzh(qzhng)ng)且依赖于且依赖于x。为为的的n次插值多项式。次插值多项式。第13页/共21页第十三页，共21页。假定假定在在上足够光滑，则：上足够光滑，则：当当（即梯形公式）时，（即梯形公式）时，这里这里(zhl)(zhl)，积分核，积分核其中其中(qzhng)(qzhng)：称为关于梯形称为关于梯形(txng)(txng)公式的公式的PeanoPeano核核.第14页/
10、共21页第十四页，共21页。当当（即辛甫生公式）时（即辛甫生公式）时（2.62.6）其中其中(qzhng)(qzhng)：（2.72.7）称为关于称为关于(guny)(guny)辛甫生公式的辛甫生公式的PeanoPeano核核.对对的的阶阶Newton-Cotes公式可作同样的公式可作同样的：讨论，最后可得如下误差讨论，最后可得如下误差第15页/共21页第十五页，共21页。（2.8）结论结论(jiln)：n阶阶N ewton-Cotes公式的代数精度为：公式的代数精度为：第16页/共21页第十六页，共21页。收敛性问题收敛性问题收敛性问题收敛性问题(wnt)(wnt)例如例如(lr):(lr)
11、:利用牛顿利用牛顿-柯特斯公式计算积分：柯特斯公式计算积分：解：积分解：积分(jfn)(jfn)的准确结果为：的准确结果为：但用但用n阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果第17页/共21页第十七页，共21页。2468105.49022.27763.32881.94113.5956由上表可以看出：此时由上表可以看出：此时(c sh)(c sh)数值求积过程是发散的。数值求积过程是发散的。第18页/共21页第十八页，共21页。对于对于n阶阶Newton-Cotes公式的公式的Cotes系数系数，若记其绝对值的和为，若记其绝对值的和为则可以则可以(k
12、y)(ky)证明证明 （2.102.10）结论结论(jiln)(jiln)：当：当n n充分大时，充分大时，的符号必定的符号必定(bdng)(bdng)变化变化.显然显然，当，当时，对所有时，对所有，都有，都有即即 注意：注意：第19页/共21页第十九页，共21页。例如当例如当时，时，这里这里显然，这样显然，这样(zhyng)(zhyng)的公式会引起有效数字的的公式会引起有效数字的故故实际应用时实际应用时 常常只采用几种低阶常常只采用几种低阶的求积公式的求积公式，如梯形如梯形(txng)(txng)公式、公式、Simpson Simpson公式、公式、损失（尽管在损失（尽管在n n变得较大之前变得较大之前(zhqin)(zhqin)未必成为问题）未必成为问题）.四阶四阶Newton-Cotes公式公式特别称作特别称作Cotes公式公式.第20页/共21页第二十页，共21页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共21页。