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1、会计学1数学数学 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用(yngyng)人人教教A选修选修第一页，共16页。1、定积分、定积分(jfn)的几何意义：的几何意义：Ox yab y f(x)x=a、x=b与与 x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形(txng)的面积。的面积。x yOab y f(x)-S 当当f(x)0时，由时，由yf(x)、xa、xb 与与 x 轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形(txng)位于位于 x 轴的下方，轴的下方，一、复习引入一、复习引入第1页/共16页第二页，共16页。如果如果(rgu)f(x)(rgu)f(x)是区间是区间aa，bb上的连续函数，且上的连续函数
2、，且F(x)=f(x)F(x)=f(x)，那么，那么:2.2.微积分基本微积分基本(jbn)(jbn)定定理：理：第2页/共16页第三页，共16页。类型类型1 1：求由一条曲线：求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面轴所围成平面(pngmin)(pngmin)图图形的面积形的面积S S(2)xyoabc(3)(1)xyo1.1.几种典型的平面几种典型的平面(pngmin)(pngmin)图形面积图形面积的计算：的计算：二、新课讲解二、新课讲解(jingji)第3页/共16页第四页，共16页。类型类型2 2：由两条曲线：
3、由两条曲线(qxin)y=f(x)(qxin)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线 x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba(2)(1)第4页/共16页第五页，共16页。例题例题(lt)讲解讲解分析：首先画出草图.从图中可以看出，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分(jfn)求面积s.为了确定出被积函数和积分(jfn)的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.第5页/共16页第六页，共16页。解解:作出作出y2=x,y=x2y2=x,y=x2的图象的图象(t xin)(t xin)如图如
4、图所示所示:即两曲线即两曲线(qxin)(qxin)的交点为的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)oxyABCDO第6页/共16页第七页，共16页。(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置弄清相对位置(wi zhi)(wi zhi)关系关系)(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围(积分的上限积分的上限(shngxin),(shngxin),下限下限)(3)(3)写出平面写出平面(pngmin)(pngmin)图形的定积分表达式；图形的定积分表达式；2.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(4)(4)运
5、用微积分基本定理计算定积分，求出面积。运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。第7页/共16页第八页，共16页。例例2.2.计算由曲线计算由曲线 直线直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成图形轴围成图形 的面积的面积.解解:作出作出y=x-4,y=x-4,的图的图象如图所示象如图所示:解方程组：解方程组：得：直线得：直线y=x-4y=x-4与与 交点为交点为(8(8，4)4)直线直线y=x-4y=x-4与与x x轴的交点为轴的交点为(4(4，0)0)因此因此(ync)，所求图形的面积为，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之一个曲边梯形与一三角形面积之差：差：本题本题(bnt)还有
6、其他解法还有其他解法吗？吗？第8页/共16页第九页，共16页。另解另解1 1：将所求平面图形的面积：将所求平面图形的面积分割分割(fng)(fng)成左右两个部分。成左右两个部分。还需要把函数还需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数，函数 变形为变形为S1S2另解另解2 2：将所求平面图形的面积：将所求平面图形的面积看成位于看成位于y y轴右边的一个梯形轴右边的一个梯形(txng)(txng)与一个曲边梯形与一个曲边梯形(txng)(txng)的面积之差，因此取的面积之差，因此取y y为积分变量，为积分变量，第9页/共16页第十页，共16页。思考：将曲线沿思考：将
7、曲线沿x x轴旋转，与直轴旋转，与直线相交于一点线相交于一点(y din)(y din)，求曲，求曲线与直线围成的面积。线与直线围成的面积。ABS2S1S1解法解法(ji f)1：第10页/共16页第十一页，共16页。AB解法(ji f)2：思考思考(sko)(sko)：将取：将取y y为积分变为积分变量，把函数量，把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数，函数 变形为变形为第11页/共16页第十二页，共16页。1.思想思想(sxing)方方法法:数形结合数形结合(jih)及转化及转化.2.求两曲线围成的平面图形的面积求两曲线围成的平面图形的面积(min j)的一般步骤
8、的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围(积分的上限积分的上限,下限下限)(3)(3)写出平面图形的定积分表达式；写出平面图形的定积分表达式；(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。课堂小结课堂小结第12页/共16页第十三页，共16页。练习练习(linx)1.(linx)1.求抛物线求抛物线y=x2-1y=x2-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围所围 成的图形的面积。成的图形的面积。yx解：如图：由解：如图：由x2-1=0 x2-1=0得到抛物线得到抛物线与与x x轴的交点轴的交点(jiodin)(jiodin)坐标是坐标是(-(-1,0)1,0)，(1,0).(1,0).所求面积如图阴影所求面积如图阴影所示：所示：所以所以(suy)：课堂练习课堂练习第13页/共16页第十四页，共16页。xy练习练习(linx)2.(linx)2.求抛物线求抛物线y=x2+2y=x2+2与直线与直线y=3xy=3x和和x=0 x=0所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。解：解：第14页/共16页第十五页，共16页。第15页/共16页第十六页，共16页。