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1、数学向量数量积的物理背景数学向量数量积的物理背景(bijng)与与定义新人教定义新人教B必修必修第一页，共22页。复习复习(fx)回顾回顾x1+x2y1+y2x1-x2y1-y2 x1 y11、若向量、若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)则向量则向量a+b=（，）向量向量a-b=（，）向量向量a=（，）第1页/共22页第二页，共22页。2、若已知点、若已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)则向量则向量AB=（，）x2 x1 y2-y1 3、向量、向量a、b（b0）共线的充要）共线的充要 条件是什么？条件是什么？a=b若若a=(x1,y1)b=(x2,y2)，则共线的，则共线的充要条件
2、是什么？充要条件是什么？x1 y2-x2 y1=0第2页/共22页第三页，共22页。如果(rgu)一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向(fngxing)与位移S的方向(fngxing)的夹角。位移SOAFFSW=FW=FS SCOSCOS一一.力做功力做功(zugng)的计算的计算第3页/共22页第四页，共22页。二二.两个两个(lin)向量的夹角向量的夹角baOAOB已知两个非零向量已知两个非零向量a、b，=a，=b.则则AOB称作向量称作向量a和向量和向量b的夹角的夹角,记作记作.并规定并规定0 BOA第4页/共22页第五页，共22页。（1）求两向量(xingl
3、ing)的夹角，应保证两个向量(xingling)有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）a，b=b，a；（3）范围0a，b；（4）a，b=0时,a、b同向；a，b=时，a、b反向；a，b=90时，a b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量(xingling)与任意向量(xingling)垂直.几点说明(shumng)第5页/共22页第六页，共22页。如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！练习练习(linx)1(linx)1第6页/共22页第七页，共22页。三三
4、.向量向量(xingling)在在轴上的正射影轴上的正射影（1）概念：）概念：已知向量已知向量a和轴和轴l，作，作 =a，过点，过点O，A分别作轴分别作轴l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为O1，A1，则，则向量向量 叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的正射影上的正射影.OA1 1 O A第7页/共22页第八页，共22页。（2）正射影）正射影(shyng)的数量：的数量：向量向量a的正射影在轴的正射影在轴l上的坐标，称作上的坐标，称作a在在轴轴l上的数量或在轴上的数量或在轴l方向上的数量方向上的数量.记作：记作：al向量向量a的方向与轴的方向与轴l的正方向所成的角为的正方向所成的角为，则有则有第
5、8页/共22页第九页，共22页。1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当为锐角时，数量为正值；3.当为钝角(dnjio)时，数量为负值；4.当为直角时，数量为0；5.当=0时，数量为|a|；6.当=180时，数量为|a|.几点说明(shumng)alxlOA2O1A1alaa第9页/共22页第十页，共22页。例1.已知轴l（1）.向量OA=5,OA,l=60,求OA在l上的正射影的数量OA1（2）.向量OB=5,OB,l=120,求OB在l上的正射影的数量OB1(3)已知向量a,b,向量|a|=4,=600,则向量a在向量b上的正射影的数量解：4cos600=2解：
6、OA1=5COS600=5()=5/2-5/2第10页/共22页第十一页，共22页。四四.向量向量(xingling)的数量积的数量积（内积）（内积）定义：定义：叫做向量叫做向量(xingling)a和和b的数量积（或内积）的数量积（或内积）记作：记作：ab.即即 ab=第11页/共22页第十二页，共22页。1数量积数量积a b等于等于a的长度与的长度与b在在a方向上正方向上正射影的数量射影的数量|b|cos 的乘积的乘积.几点说明(shumng)第12页/共22页第十三页，共22页。2两个向量的两个向量的数量积是一个实数数量积是一个实数，符号由，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一
7、个的符号所决定；而数乘向量是一个向量。向量。OABabOABab为锐角为锐角(rujio)时，时，|b|cos0为钝角为钝角(dnjio)时，时，|b|cos0为直角为直角(zhjio)时，时，|b|cos=0BOAab量的数量积为03.规定零向量与任意向4.a b不能写成不能写成ab，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算第13页/共22页第十四页，共22页。两个向量的数量(shling)积的性质：设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是与是与b的单位向量的单位向量.1.e a=a e=|a|cos;2.a b a b=03.a a=|a|2或或4.cos =；5.|a b|a
8、|.|b|.内积为零是判定两向量内积为零是判定两向量(xingling)垂直的条件垂直的条件用于计算用于计算(j sun)向向量的模量的模用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状第14页/共22页第十五页，共22页。例例2.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.解：解：a b=|a|b|cos =54cos120 =10.第15页/共22页第十六页，共22页。练习(linx)2 已知已知|a|，|b|，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求abab时，时，ab=18；ab时，时，ab=0；a与与b的夹角是的夹角是
9、60时，时，ab=9.第16页/共22页第十七页，共22页。例3、)(且方向相反平行与,2CDAB,)(.603的夹角是与ADAB第17页/共22页第十八页，共22页。练习练习(linx)3(linx)3已知已知|a|=3,|b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是(1)第18页/共22页第十九页，共22页。A 锐角三角形锐角三角形C 钝角钝角(dnjio)三角形三角形D
10、 不能确定不能确定(qudng)B 直角三角形直角三角形DCA A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角钝角(dnjio)(dnjio)三角形三角形D D 不能确定不能确定第19页/共22页第二十页，共22页。判断判断(pndun)(pndun)下列命题是否正下列命题是否正确确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.()()()()()()练习练习(linx)4(linx)4第20页/共22页第二十一页，共22页。课堂课堂(ktng)小小结结1.两个向量(xingling)的夹角2.向量(xingling)在轴上的正射影 正射影的数量3.向量的数量积（内积）ab=4.两个向量的数量积的性质：(1).ab ab=0(2).aa=|a|2或(3).cos =范围0a，b；第21页/共22页第二十二页，共22页。