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1、会计学1泰勒公式泰勒公式(gngsh)和泰勒级数和泰勒级数第一页，共24页。注注注注:常用常用常用常用(chn(chn yn yn)已知和函数的幂级已知和函数的幂级已知和函数的幂级已知和函数的幂级数数数数(1)(1x1)(2)(3)(4)(5)第2页/共24页第二页，共24页。3二、麦克劳林(Maclaurin)公式(gngsh)三、泰勒(ti l)级数一、泰勒(ti l)公式的建立7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数第3页/共24页第三页，共24页。一次多项式在微分(wi fn)的应用中有近似计算公式:若 f(x0)存在(cnzi),则在 x0点附近有f(x)=f(x0)+f(x0)(
2、xx0)f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0)需要解决(jiju)的问题如何提高精度?如何估计误差?不足:1.精确度不高;2.误差不能定量的估计.希望:在x0点附近,用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f(x)一、泰勒公式第4页/共24页第四页，共24页。猜想(cixing)2 若有相同(xin tn)的切线3 若弯曲方向(fngxing)相同近似程度越来越好 n次多项式系数的确定 1 若在x0点相交Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)Pn(x0)=f(x0)y=f(x)假设 Pn(k)(x0)=f(k)(x0)y
3、=Pn(x)xoyx0第5页/共24页第五页，共24页。即有Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假设(jish)Pn(k)(x0)=f(k)(x0)Pn(n)(x)=n!an Pn(x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn(x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0=f(x0),2a2=f(x0),n!an=f(n)(x0),k=0,1,2,3,n令x=x0得a1=f(x0),a0=f(x0),a1=f(x0),第6页/共24页第六页，共24页。k=0,1,2,3,n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x
4、0)+f(x0)(xx0)+(xx0)2+(xx0)nPn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n称为(chn wi)函数 f(x)在x0处的泰勒多项式.k=0,1,2,3,n称为(chn wi)泰勒系数f(x)=Pn(x)+o(xx0)n.第7页/共24页第七页，共24页。其中(qzhng)定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域(ln y)UR(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取UR(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为(chn wi)函数 f
5、(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数k=0,1,2,n是唯一的.第8页/共24页第八页，共24页。设 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+k 证由于f(x)在UR(x0)内具有(jyu)n+1阶连续导数,作辅助(fzh)函数(t)=f(x)f(t)+f(t)(xt)+(x)=0=(x0),不妨(bfng)设 x0 x时同理可证,第10页/共24页第十页，共24页。其中(qzhng)f(x)=f(0)+f(0)x+1 当x0=0时,(在0与x之间)或令 =x,0 1,则+Rn(x).称为(chn wi)函数 f(x)的麦克劳林(Macl
6、aurin)公式.2 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+其误差(wch)为:Rn(x)第11页/共24页第十一页，共24页。解例1*求f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒(ti l)公式.因为(yn wi)f(n)(x)=e x,n=1,2,3,所以(suy)f(n)(0)=e 0=1,n=1,2,3,于是 f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒公式为:其中0 1.第12页/共24页第十二页，共24页。定义 如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在(cnzi)任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒(ti l)级数.=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒(ti l)级数称为函
7、数 f(x)的麦克劳林级数.问题:泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.第13页/共24页第十三页，共24页。解例2*求 f(x)=sinx 在x=0的泰勒(ti l)级数.当n=2k时,f(2k)(0)=sin(k)=0,k=0,1,2,当n=2k+1时,f(2k+1)(0)=sin(k+)=(1)k,得因=0,于是(ysh)R=+,定理2 f(x)在x0点的泰勒(ti l)级数在UR(x0)内收敛于f(x)在UR(x0)内,Rn(x)0.第14页/共24页第十四页，共24页。=0,所以(suy)sin x=0 其中(qzhng)收敛(shulin)区间为:(,+).x(,+).即第
8、15页/共24页第十五页，共24页。麦克劳林多项式逼近(bjn)sin xy=sinxy=x第16页/共24页第十六页，共24页。7.7 7.7 初等初等初等初等(chdng)(chdng)函数的幂级数展函数的幂级数展函数的幂级数展函数的幂级数展开式开式开式开式一、直接法(泰勒(ti l)级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式第17页/共24页第十七页，共24页。步骤(bzhu):(1)求 f(n)(x),n=0,1,2,(4)讨论(toln)?并求出其收敛(shulin)区间.(3)写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x
9、);若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是 f(x).一、直接法(泰勒级数法)(2)计算 an=f(n)(x0),n=0,1,2,第18页/共24页第十八页，共24页。解例1 将 f(x)=e x 在展开(zhn ki)成 x的幂级数.因 f(n)(x)=e x,n=1,2,3,f(n)(0)=e 0=1,于是(ysh)f(x)=e x 在x=0的麦克劳林级数为:其中(qzhng)0 1=0,所以 e x=1+x+x+.收敛区间为:(,+)第19页/共24页第十九页，共24页。二项展开式+nxn1+x n(1+x)n=1+nx+(1+x)=1+x+?第20页/共24页第二十页，共24页。解例
10、2 将 f(x)=(1+x)展开(zhn ki)成 x的幂级数.n=0,1,2,f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,得(1+x)(n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),注意(zh y):当x=1时,级数的收敛性与 的取值有关.1,收敛(shulin)区间为:(1,1).1 0,收敛区间为:1,1.所以(1+x)的泰勒级数的收敛区间是(1,1),第21页/共24页第二十一页，共24页。x(1,1)(1+x)=1+x+牛顿(ni dn)二项式展开式当=1时,x(1,1).=1x+x2 x3+(1)nxn+第22页/共24页第二十二页，共24页。三、小结三、小结三、小结三、小结(xi(xi oji)oji)1.如何(rh)求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛(shulin)于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.第23页/共24页第二十三页，共24页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共24页。