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1、数学分析数学分析(sh xu fn x)二重积分二重积分第一页，共30页。1 二重积分概念(ginin)第1页/共30页第二页，共30页。柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点(tdin)：平顶平顶.柱体体积柱体体积(tj)=？特点特点(tdin)：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出第2页/共30页第三页，共30页。播放播放(b fn)求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限(jxin)”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第3页/共30页第四页，共30页。步骤步骤(bzhu)如下：如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积顶柱
2、体体积(tj)之之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积顶柱体的体积(tj)，先分割先分割(fng)曲顶柱曲顶柱体的底，并取典型小体的底，并取典型小区域，区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第4页/共30页第五页，共30页。求平面求平面(pngmin)薄片薄片的质量的质量将薄片分割将薄片分割(fng)成若干小块，成若干小块，取典型取典型(dinxng)小块，将其近似小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量第5页/共30页第六页，共30页。二、二重积分的概念(ginin)第6页/共30页第七页，共30页。积积积积分分分分(j j
3、f f n n)区区区区域域域域积积积积分分分分(j j f f n n)和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数(h h n ns sh h)积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素第7页/共30页第八页，共30页。对二重积分定义对二重积分定义(dngy)的说明：的说明：二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义当被积函数大于零时当被积函数大于零时(ln sh)，二重积分是柱体的，二重积分是柱体的体积体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第8页/共30页第九页，共30
4、页。在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行(pngxng)于坐标轴的直线于坐标轴的直线网来划分区域网来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积则面积(min j)元素为元素为第9页/共30页第十页，共30页。性质性质(xngzh)当当 为常数时为常数时，性质性质(xngzh)（二重积分与定积分有类似（二重积分与定积分有类似(li s)的性质）的性质）三、二重积分的性质第10页/共30页第十一页，共30页。性质性质(xngzh)对区域对区域(qy)具有可加具有可加性性性质性质(xngzh)若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有第11页/共30页
5、第十二页，共30页。性质性质(xngzh)性质性质(xngzh)（二重积分中值定理（二重积分中值定理(dngl)）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第12页/共30页第十三页，共30页。解解第13页/共30页第十四页，共30页。解解第14页/共30页第十五页，共30页。解解第15页/共30页第十六页，共30页。解解第16页/共30页第十七页，共30页。二重积分的定义二重积分的定义(dngy)二重积分的性质二重积分的性质(xngzh)二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结第17页/共30页第十八页，共30页
6、。思考题思考题 将二重积分将二重积分(jfn)定义与定积分定义与定积分(jfn)定定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处处.第18页/共30页第十九页，共30页。定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数值，且此值只与被积函数(hnsh)及积分区域及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数积函数(hnsh)为定义在区间上的一元函数为定义在区间上的一元函数(hnsh)，而二重积分的积分区域为平面区域，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数被积函数(hnsh)为定义在平面区域上的二元为定义在平面区域上的二元函数函数(hnsh)思考题解答思考题解答(jid)第19页/共30页第二十页，共30页。练练 习习 题题第20页/共30页第二十一页，共30页。第21页/共30页第二十二页，共30页。第22页/共30页第二十三页，共30页。练习题答案练习题答案(d n)第23页/共30页第二十四页，共30页。