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1、数学模型中因子数学模型中因子(ynz)分析法分析法第一页，共27页。主成分分析法：就是设法将原来的具有一定相关性的变量或者指标，重新组成一组新的相互无关(wgun)的少数几个综合变量或指标，以此代替原来的变量或指标。简单的说就是降维。应用：综合评价（系统评估）第1页/共27页第二页，共27页。例：对我国上市公司(shn sh n s)的经济效益进行综合评判。上市公司资金利税率x1产值利税率x2百元销售成本利润x3百元销售收入利税x4流动资金周转次数x5主营利润增长率x6qinghua5.418.052.092.431.307.51beida7.218.544.515.261.4310.44hu
2、alian8.389.524.275.071.7010.49xinya6.319.973.634.591.297.21yanzhong8.971.431.731.181.105.22shuiyun3.746.470.330.390.985.24cengxin3.635.79-1.09-1.291.174.71qingshan14.475.977.621.371.2010.56pudong8.188.203.414.011.7512.13第2页/共27页第三页，共27页。主成分分析步骤：1.将数据标准化，标准化后的数据矩阵仍记X阵。2.求矩阵X的相关系数阵 3.求R的全部特征根i及相应的特征向量
3、()。4.根据前k个主分量(fn ling)累计贡献率大小（），确定主成分（因子）个数。根据具体指标内容和指标变量系数大小解释主成分含义。用每个主成分的贡献率作权数，给出多指标综合评价值。第3页/共27页第四页，共27页。Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative Eigenvalue Difference Proportion Cumulative 1 4.04767016 3.03734802 0
4、.6746 1 4.04767016 3.03734802 0.6746 0.67460.6746 2 1.01032214 0.30248369 0.1684 0.8430 2 1.01032214 0.30248369 0.1684 0.8430 3 0.70783845 0.55300190 0.1180 3 0.70783845 0.55300190 0.1180 0.96100.9610 4 0.15483655 0.10037328 0.0258 0.9868 4 0.15483655 0.10037328 0.0258 0.9868 5 0.05446327 0.02959385
5、 0.0091 0.9959 5 0.05446327 0.02959385 0.0091 0.9959 6 0.02486942 0.0041 1.0000 6 0.02486942 0.0041 1.0000第4页/共27页第五页，共27页。第5页/共27页第六页，共27页。Obs Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6Obs Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 1 -0.38118 -0.32367 -0.04450 0.30363 0.00430 0.06437 1 -0.38118 -0.32367 -0.04450
6、 0.30363 0.00430 0.06437 2 0.57795 -0.35416 0.49279 0.55119 -0.18726 0.17414 2 0.57795 -0.35416 0.49279 0.55119 -0.18726 0.17414 3 0.69219 -0.21588 0.40557 0.40041 -0.10461 0.05393 3 0.69219 -0.21588 0.40557 0.40041 -0.10461 0.05393 4 0.22635 -0.39419 0.27521 0.63296 0.13851 -0.06481 4 0.22635 -0.39
7、419 0.27521 0.63296 0.13851 -0.06481 5 -0.82981 -0.40293 0.47330 -0.42964 -0.55401 -0.35020 5 -0.82981 -0.40293 0.47330 -0.42964 -0.55401 -0.35020 6 -1.19410 -0.40627 -0.36848 0.14000 0.02221 0.01063 6 -1.19410 -0.40627 -0.36848 0.14000 0.02221 0.01063 7 -1.63568 -0.26394 -0.67179 -0.15189 0.01702 -
8、0.03769 7 -1.63568 -0.26394 -0.67179 -0.15189 0.01702 -0.03769 8 0.95195 -0.46156 1.61851 -0.92520 0.08394 0.25530 8 0.95195 -0.46156 1.61851 -0.92520 0.08394 0.25530 9 0.46501 -0.14888 0.19070 0.16273 -0.30327 0.20883 9 0.46501 -0.14888 0.19070 0.16273 -0.30327 0.20883 10 -1.45693 -0.18670 -0.55658
9、 -0.17088 -0.10267 -0.00922 10 -1.45693 -0.18670 -0.55658 -0.17088 -0.10267 -0.00922 11 -0.29401 3.71727 -0.02727 -0.02382 -0.06419 0.03517 11 -0.29401 3.71727 -0.02727 -0.02382 -0.06419 0.03517 12 0.08041 0.22542 1.71694 0.12718 0.45539 -0.26668 12 0.08041 0.22542 1.71694 0.12718 0.45539 -0.26668 1
10、3 -2.11628 -0.16312 -0.90179 -0.16784 0.14422 -0.03334 13 -2.11628 -0.16312 -0.90179 -0.16784 0.14422 -0.03334 14 -0.94513 -0.31477 -0.39513 0.09760 0.11375 -0.03132 14 -0.94513 -0.31477 -0.39513 0.09760 0.11375 -0.03132 15 6.74015 -0.06989 -1.12895 -0.16618 0.04080 -0.11394 15 6.74015 -0.06989 -1.1
11、2895 -0.16618 0.04080 -0.11394 16 -0.88090 -0.23673 -1.07853 -0.38025 0.29589 0.10482 16 -0.88090 -0.23673 -1.07853 -0.38025 0.29589 0.10482第6页/共27页第七页，共27页。用于系统用于系统(xtng)(xtng)评估的方法：关键问题是如评估的方法：关键问题是如何科学的客观地将一个多指标问题转化为单何科学的客观地将一个多指标问题转化为单指标问题指标问题第一(dy)种方法：用第一(dy)主成分得分y=F1.必须要求：所有系数均为正 第二种方法：将主成分F1,
12、F2,Fm进行线性组合,系数为方差贡献率第7页/共27页第八页，共27页。yi di yi zhu cheng fen pai xv 13:30 Saturday,July 17,1999 35 yi di yi zhu cheng fen pai xv 13:30 Saturday,July 17,1999 35 name Prin1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 name Prin1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 laigang -2.11628 2.17 5.70 -2.11 -2.57 1.34 3.21 laigang -2.11628 2.17 5.70 -2.11 -
13、2.57 1.34 3.21 cengxin -1.63568 3.63 5.79 -1.09 -1.29 1.17 4.71 cengxin -1.63568 3.63 5.79 -1.09 -1.29 1.17 4.71 xinbai -1.45693 4.27 5.35 -0.71 -0.83 1.38 5.68 xinbai -1.45693 4.27 5.35 -0.71 -0.83 1.38 5.68 shuiyun -1.19410 3.74 6.47 0.33 0.39 0.98 5.24 shuiyun -1.19410 3.74 6.47 0.33 0.39 0.98 5.
14、24 guangsha -0.94513 4.65 7.80 0.53 0.65 1.18 5.82 guangsha -0.94513 4.65 7.80 0.53 0.65 1.18 5.82 chanhong -0.88090 5.65 10.63 -0.92 -1.19 1.08 8.84 chanhong -0.88090 5.65 10.63 -0.92 -1.19 1.08 8.84 yanzhong -0.82981 8.97 1.43 1.73 1.18 1.10 5.22 yanzhong -0.82981 8.97 1.43 1.73 1.18 1.10 5.22 Qin
15、ghua -0.38118 5.41 8.05 2.09 2.43 1.30 7.51 Qinghua -0.38118 5.41 8.05 2.09 2.43 1.30 7.51 guoji -0.29401 8.07 8.69 0.73 0.89 10.75 10.16 guoji -0.29401 8.07 8.69 0.73 0.89 10.75 10.16 zonghang 0.08041 9.66 6.27 6.69 2.63 3.05 1.64 zonghang 0.08041 9.66 6.27 6.69 2.63 3.05 1.64 xinya 0.22635 6.31 9.
16、97 3.63 4.59 1.29 7.21 xinya 0.22635 6.31 9.97 3.63 4.59 1.29 7.21 pudong 0.46501 8.18 8.20 3.41 4.01 1.75 12.13 pudong 0.46501 8.18 8.20 3.41 4.01 1.75 12.13 beida 0.57795 7.21 8.54 4.51 5.26 1.43 10.44 beida 0.57795 7.21 8.54 4.51 5.26 1.43 10.44 hualian 0.69219 8.38 9.52 4.27 5.07 1.70 10.49 hual
17、ian 0.69219 8.38 9.52 4.27 5.07 1.70 10.49 qingshan 0.95195 14.47 5.97 7.62 1.37 1.20 10.56 qingshan 0.95195 14.47 5.97 7.62 1.37 1.20 10.56 xiaxin 6.74015 25.95 33.52 6.96 15.38 1.51 36.89 xiaxin 6.74015 25.95 33.52 6.96 15.38 1.51 36.89 第8页/共27页第九页，共27页。统计软件SAS(关于主成分(chng fn)分析）数据的输入数据的输入(shr)(shr
18、)（介绍两种方法）（介绍两种方法）data data 数据名（数据名（haimen);haimen);input name$x1 x2 x3 x4 x5 x6;input name$x1 x2 x3 x4 x5 x6;card;card;qinghua 50122 qinghua 50122 run;run;外部文件转化为外部文件转化为SASSAS数据集：数据集：已知已知c c盘根目录下文件名盘根目录下文件名test.dattest.dat为的数据文件为的数据文件 张三张三 男男 82 95 64 78 82 95 64 78 data data 数据名（数据名（chengji);chengj
19、i);infile c:test.dat;infile c:test.dat;input name$sex$chinese maths english chemisty;input name$sex$chinese maths english chemisty;run;run;第9页/共27页第十页，共27页。主成分(chng fn)分析Proc princomp n=6 out=out1;var x1-x6;run;proc print data=out1;var prin1-prin6;run;第10页/共27页第十一页，共27页。数据(shj)预处理一致性处理：越大越差、越大越好归一化处
20、理（去量纲(lin n)）：(x-max(xi)/极差，x/max(xi),标准化处理 （x-均值）/方差第11页/共27页第十二页，共27页。第二篇 因子(ynz)模型因子分析是统计中一种重要的分析方法，他的主要特点在于能探索不易观测或不能观察的潜在因素。它在社会(shhu)调查、气象、地质等方面有广泛应用。第12页/共27页第十三页，共27页。若有n个学生，每个学生考五门课，考试成绩反映了学生的素质和能力，理解能力，逻辑能力，记忆(jy)能力，对文字符号概念的反应速度，能否从学生的学习成绩去寻找出反映这些能力的量。第13页/共27页第十四页，共27页。因子(ynz)模型为:其中：为原指标,
21、称为 的公共因子或潜因子,为 的特殊(tsh)因子 可将上式写成矩阵表示形式：称为因子载荷阵 第14页/共27页第十五页，共27页。因子分析步骤：前四步骤与主成分步骤相同，在此略。5.求初始因子载荷阵A。6.若公因子的含义不清楚(qng chu)，不便于实际解释时，将初始因子阵作旋转处理，直到达到要求。7.根据因子载荷大小说明因子具体含义。将因子表示成原指标变量线性组合，估计因子得分。用每个因子的贡献率作权数，给出多指标综合评价值。第15页/共27页第十六页，共27页。因子载荷阵 的统计意义模型中载荷矩阵 中的元素 称为因子载荷。因子载荷 是 与 的协方差，也是 与 的相关系数，它表示 依赖
22、的程度。可将 看作第i个变量在第j个公共因子上的权，的绝对值越大，表明 与 的相依程度越大，或称公共因子对于的载荷量越大。为了得到因子分析结果的经济解释，因子载荷矩阵A中有两个(lin)统计量十分重要，即变量共同度和公共因子的方差贡献。第16页/共27页第十七页，共27页。变量(binling)共同度 因子载荷矩阵中第i行元素之平方和记为 ，即 ，称为变量(binling)的共同度。它是全部公共因子对 的方差所做出的贡献，反映了全部公共因子对变量(binling)的影响。越大表明 对于F的每一分量 的共同依赖程度大。第17页/共27页第十八页，共27页。公共因子 的方差贡献(gngxin)将因
23、子载荷矩阵的第j列的各元素的平方和记为 ，即 ，称为公共因子 对x的方差贡献(gngxin)。就表示第j个公共因子 对于的每一分量 所提供方差的总和，它是衡量公共因子相对重要性的指标。越大，表明公共因子 对x的贡献(gngxin)越大,如果将因子载荷矩阵的所有 都计算出来，使其按照大小排序，就可以依此提炼出最有影响力的公共因子。第18页/共27页第十九页，共27页。因子载荷(zi h)阵A（主成分法）一般设 为样本相关阵R的特征根，为对应(duyng)的标准正交化特征向量。则因子载荷阵A的一个解为：第19页/共27页第二十页，共27页。因子(ynz)旋转 建立因子分析模型的目的不仅是找出主因子
24、，更重要建立因子分析模型的目的不仅是找出主因子，更重要(zhngyo)(zhngyo)的是知道每个公的是知道每个公共因子的意义，以便对实际问题进行分析。如果求出主因子解后，各个主因子的典型共因子的意义，以便对实际问题进行分析。如果求出主因子解后，各个主因子的典型代表变量不很突出，我们就可以利用因子载荷阵的不唯一性这一特点对得到的因子模代表变量不很突出，我们就可以利用因子载荷阵的不唯一性这一特点对得到的因子模型进行旋转使得变换后的公共因子和载荷阵有明显的实际意义。型进行旋转使得变换后的公共因子和载荷阵有明显的实际意义。最常用的方法是最大方差正交旋转法最常用的方法是最大方差正交旋转法(Varima
25、x)(Varimax)。进行因子旋转，就是要使因子。进行因子旋转，就是要使因子载荷矩阵中因子载荷的平方值向载荷矩阵中因子载荷的平方值向0 0和和1 1两个方向分化，使大的载荷更大，小的载荷更小。两个方向分化，使大的载荷更大，小的载荷更小。接近于接近于1 1的表明公因子与的相关性很强，在很大的程度上解释了的变化；接近于的表明公因子与的相关性很强，在很大的程度上解释了的变化；接近于0 0的表的表明与的相关性很弱。明与的相关性很弱。第20页/共27页第二十一页，共27页。例：对我国上市公司例：对我国上市公司(shn sh n s)(shn sh n s)的经济效益进行因子分析的经济效益进行因子分析P
26、roc factor method=principal n=2 rotate=varinmax all;Proc factor method=principal n=2 rotate=varinmax all;Var x1-x6;Var x1-x6;Run;Run;第21页/共27页第二十二页，共27页。Factor1=0.95056x1+0.89158x2+0.75108x3+0.9565x4Factor1=0.95056x1+0.89158x2+0.75108x3+0.9565x4 +0.24829x5+0.9247x6 +0.24829x5+0.9247x6Factor2=0.0091x
27、1-0.30529x2+0.49587x3-0.01446x4+0.89379x5-Factor2=0.0091x1-0.30529x2+0.49587x3-0.01446x4+0.89379x5-0.34281x60.34281x6第22页/共27页第二十三页，共27页。生物繁殖时，一个后代随机的继承父亲两个基因中的一个，母亲生物繁殖时，一个后代随机的继承父亲两个基因中的一个，母亲(m qn)(m qn)两两个基因中的一个，形成自己的基因个基因中的一个，形成自己的基因所以父母的基因类型就以一定的概率决定了每一后代的基因类型。所以父母的基因类型就以一定的概率决定了每一后代的基因类型。父母基因后
28、代基因 DDRRDHDRHHHRD 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 HR第23页/共27页第二十四页，共27页。随机交配随机交配(jiopi)(jiopi)、近亲繁殖、近亲繁殖 假设在某一生物群体中雄性与雌性的比例(bl)是相等的，且在雄性中D,H,R的比例(bl)与在雌性中D,H,R的比例(bl)相等。第24页/共27页第二十五页，共27页。随机交配：对每一个雌性（或雄性）个体，都以D,H,R的数量比例为概率，与一个雄性（或雌性）个体交配，后代按照前述规则形成他的基因类型 设D(dd)：H(dr)：R(rr)=a:2b:c 且 a+2b+c=1 记p=a+b,q=b+c,则群体中优势(yush)基因d与劣势基因r的数量比例为d:r=p:q 且p+q=1 第25页/共27页第二十六页，共27页。转移(zhuny)矩阵第26页/共27页第二十七页，共27页。