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1、数列数列(shli)的极限讲解的极限讲解第一页，共30页。引例引例(yn(yn l)l)设有半径设有半径(bnjng)为为 R 的圆的圆,用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积(min j)An 逼近圆面积逼近圆面积(min j)S.刘徽割圆术刘徽割圆术(公元三世纪公元三世纪)概念的引入概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣不可割，则与圆周合体而无所失矣”第1页/共30页第二页，共30页。正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出
2、第2页/共30页第三页，共30页。2 2、截丈问题、截丈问题(wnt)(wnt)：“一尺一尺(y ch)之棰，日截其半，万世不竭之棰，日截其半，万世不竭”上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第3页/共30页第四页，共30页。一、数列一、数列(shli)极限的定义极限的定义例如例如(lr)上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第4页/共30页第五页，共30页。注意注意(zh y)：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数列是整标函数数上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第5页/共30页第六页，共3
3、0页。随着随着(su zhe)n 趋于无穷趋于无穷,数列的通项有以下两数列的通项有以下两种变化趋势种变化趋势:可以可以(ky)看到看到,(1)通项无限趋近于通项无限趋近于(2)一个一个(y)确定的常数确定的常数;(2)通项不趋近于任何确定的常数通项不趋近于任何确定的常数.第6页/共30页第七页，共30页。问题问题(wnt):当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题(wnt):“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言(yyn)刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观
4、察:上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第7页/共30页第八页，共30页。上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第8页/共30页第九页，共30页。定义定义(dngy)(dngy)如果对于任意给定如果对于任意给定(i dn)(i dn)的正数的正数e e(不论不论(bln)(bln)它多么它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的时的一切一切nx,不等式不等式e e N 时时,有有只要使只要使第15页/共30页第十六页，共30页。二、收敛(shulin)数列的性质1、有界性有界性例如例如(lr),有界有界无界无界上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第16
5、页/共30页第十七页，共30页。收敛收敛收敛收敛(shulin)(shulin)数列的有界性数列的有界性数列的有界性数列的有界性如果如果(rgu)数列数列收敛收敛(shulin),那那么数列么数列一定有界一定有界.问题问题 对于无限多项对于无限多项如何求如何求 M？第17页/共30页第十八页，共30页。定理定理1 1 收敛收敛(shulin)(shulin)的数列必定有的数列必定有界界.证证由定义由定义(dngy),注意：有界性是数列收敛注意：有界性是数列收敛(shulin)的必要条件的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出关系关系：收
6、敛收敛 有界有界注注第18页/共30页第十九页，共30页。极限极限(jxin)的唯一性的唯一性第19页/共30页第二十页，共30页。2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛每个收敛(shulin)(shulin)的数列只有一个极限的数列只有一个极限.证证由定义由定义(dngy),故收敛数列极限故收敛数列极限(jxin)唯一唯一.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第20页/共30页第二十一页，共30页。例例5证证由定义由定义(dngy),区间区间(q jin)长长度为度为1.不可能同时位于不可能同时位于(wiy)长度为长度为1的区的区间内间内.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出
7、第21页/共30页第二十二页，共30页。3 3、保号性、保号性、保号性、保号性 定理定理定理定理(dngl)3 (dngl)3 若若若若 =a,a =a,a0 0（或（或（或（或a a0 0），则），则），则），则N N0,0,当当当当n nN N时时时时,0 0（或（或（或（或 0 0）.证证 由极限定义由极限定义，对，对 ，当时，当时(dngsh)，即，即 ，故当，故当 时时，.类似可证类似可证 的情形的情形.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第22页/共30页第二十三页，共30页。3、子数列、子数列(shli)的收敛性的收敛性注意注意(zh y)：例如例如(lr)，上一页上一页目
8、录目录下一页下一页退退 出出第23页/共30页第二十四页，共30页。定理定理4 4 收敛收敛(shulin)(shulin)数列的任一子数列也收敛数列的任一子数列也收敛(shulin)(shulin)且极限相同且极限相同证证证毕证毕上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第24页/共30页第二十五页，共30页。定定义义5 数数列列xn的的项项若若满满足足(mnz)x1x2xnxn+1,则则称称数数列列xn为为单单调调增加数列增加数列;若若满满足足(mnz)x1x2xnxn+1,则则称称数数列列xn为单调减少数列为单调减少数列;当当上上述述不不等等式式中中等等号号都都不不成成立立时时,则则分分
9、别别称称xn 是是严严格格单调增加和严格单调减少数列单调增加和严格单调减少数列.收收敛敛准准则则 单单调调增增加加且且有有上上界界的的数数列列必必有有极极限限;单单调调减少减少(jinsho)有下界的数列必有极限有下界的数列必有极限.三、收敛三、收敛(shulin)(shulin)准则准则上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第25页/共30页第二十六页，共30页。上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第26页/共30页第二十七页，共30页。上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第27页/共30页第二十八页，共30页。五、小结(xioji)数列数列(shli):(shli):研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何极限思想、精确定义、几何(j h)(j h)意意义义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第28页/共30页第二十九页，共30页。练练 习习 题题上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第29页/共30页第三十页，共30页。