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1、一、实数不可数1、稠密性稠密性(1)有理数集是稠密的有理数集是稠密的:任意两个有理数间必有任意两个有理数间必有一个有理数一个有理数;(2)无理数集是稠密的无理数集是稠密的:任意两个无理数间必有任意两个无理数间必有一个无理数一个无理数;(3)实数集是稠密的实数集是稠密的:任意两个实数间必有一个任意两个实数间必有一个实数实数.注记1：自然数集不稠密自然数集不稠密第1页/共33页比如，比如，偶数集、有理数集都是可数集偶数集、有理数集都是可数集.证证 (反证法反证法)目的目的:认识都是无认识都是无限限集的自然数集、偶数集、集的自然数集、偶数集、有理数集和实数集的差别有理数集和实数集的差别.2、不可数性
2、、不可数性定理定理1定义定义1第2页/共33页注记注记2：此方法称为对角线方法；可数集有时此方法称为对角线方法；可数集有时 也称为可列集也称为可列集.结论1：有理数集是可数集有理数集是可数集;无理数集是不可无理数集是不可数集数集;实数集是不可数集实数集是不可数集.第3页/共33页1.确界存在定理确界存在定理2.单调数列收敛定理单调数列收敛定理3.区间套定理区间套定理4.有限覆盖定理有限覆盖定理5.聚点原理聚点原理6.收敛子列定理收敛子列定理(致密性定理致密性定理)7.柯西收敛原理柯西收敛原理二、实数完备性基本定理第4页/共33页1、确界存在定理、确界存在定理首先定义数集的界首先定义数集的界,上
3、界上界,下界下界.定义定义2记记定义定义1第5页/共33页定义3记记注记1:上确界意为最小上界上确界意为最小上界;下确界意为最大下界下确界意为最大下界.定理1(确界存在定理)(1)非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界.例例1 1定理定理22、单调数列收敛定理单调有界数列有极限单调有界数列有极限.第6页/共33页定义定义33、区间套定理区间套定理例例2定理定理3(Cantor)Cantor:康托尔康托尔,18451918,德国德国第7页/共33页定义定义44 4、有限覆盖定理有限覆盖定理例例3定理定理4(Borel 有限
4、覆盖定理有限覆盖定理)Borel:Borel:波雷尔波雷尔,18711956,18711956,法国法国第8页/共33页例例4定理定理5(Weierstrass 聚点原理聚点原理)有界无穷点集至少有一个聚点有界无穷点集至少有一个聚点.Weierstrass:维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯,18151897,德国德国5、聚点原理、聚点原理定义定义5定义5第9页/共33页定理定理6(BolzanoWeierstrass 6(BolzanoWeierstrass 致密性定理致密性定理)有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.Cauchy:柯西柯西,17891857,法国法国6、致密性定理、致密性定理定义
5、定义6Bolzano:波尔察诺波尔察诺,17811848,捷克捷克7.柯西收敛原理柯西收敛原理定理7(柯西收敛准则)第10页/共33页三、定理的证明确界定理确界定理单调有界单调有界闭区间套闭区间套有限覆盖有限覆盖柯西准则柯西准则致密性致密性聚点原理聚点原理第11页/共33页1、确界、确界定定理理 单调单调有界有界定理定理定理定理2 单调有界数列有极限单调有界数列有极限.第12页/共33页2、单调有界单调有界定理定理 闭区间套闭区间套定理定理定理定理3(Cantor)定义定义3证证 (1)存在性存在性第13页/共33页(2)唯一性唯一性第14页/共33页定义定义4定理定理4 (有限覆盖定理有限覆
6、盖定理)3、区间区间套套定理定理 有限覆盖有限覆盖定理定理证证 (反证法反证法)第15页/共33页第16页/共33页4、有限覆盖定理有限覆盖定理 聚点原理聚点原理证证 (反证法反证法)定理定理5(Weierstrass 聚点原理聚点原理)有界无穷点集有界无穷点集 E 至少有一个聚点至少有一个聚点.定义定义5定义5第17页/共33页第18页/共33页5、聚点原理聚点原理 致密性定理致密性定理证证 分情况分情况定理定理6(BolzanoWeierstrass 6(BolzanoWeierstrass 致密性定理致密性定理)有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.故有界故有界数列必有收敛子数列必有
7、收敛子列列.第19页/共33页6、致密性致密性定理定理 柯西收敛准则柯西收敛准则定义定义6定理7(柯西收敛准则)证证(必要性必要性)第20页/共33页（充分性）（充分性）第21页/共33页7、柯西收敛柯西收敛准则准则 确界定理确界定理证证 只证只证(2),(1)类似类似定理1(确界存在定理)(1)(1)非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界;(2)(2)非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界.定义定义2第22页/共33页第23页/共33页注记:1.1.确界存在定理称为实数的连续性定理确界存在定理称为实数的连续性定理,柯西柯西存存 在准则称为实数的完备性定理在准则称为
8、实数的完备性定理,由上面的等由上面的等价价 性性知知连续性与完备性是等价的连续性与完备性是等价的.2.2.完备性本质上是对极限运算封闭完备性本质上是对极限运算封闭,有理数是有理数是不不 完备的完备的.第24页/共33页四、闭区间上连续函数性质的证明1、有界性定理、有界性定理2、最大最小值定理、最大最小值定理3、零、零点存在定理点存在定理第25页/共33页1、有界性定理、有界性定理有限覆盖定理有限覆盖定理+极限局部有界性极限局部有界性第26页/共33页2、最值定理、最值定理第27页/共33页确界定理确界定理+致密性定理致密性定理+连续定义连续定义+极限夹逼准则极限夹逼准则第28页/共33页3、零
9、点存在定理零点存在定理第29页/共33页区间套区间套定理定理+连续定义连续定义+极限保序性极限保序性第30页/共33页五、小结u实数不可数u实数完备性的七个等价基本定理u闭区间上连续函数性质的证明第31页/共33页作 业1.1.实数基本定理等价性的其他证明;2.2.利用区间套定理证明闭区间上连续函数有界性定理.参考书1.1.陈纪修陈纪修,於崇华於崇华,金路金路.数学分析数学分析(第二版第二版,上册上册),),高高等教育出版社等教育出版社.2.2.华东师大数学系华东师大数学系.数学分析数学分析(第三版第三版,上册上册),),高等教高等教育出版社育出版社.3.3.裴礼文裴礼文.数学分析中的典型问题与方法数学分析中的典型问题与方法(第二版第二版),),高等教育出版社高等教育出版社.第32页/共33页感谢您的观看。第33页/共33页