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1、数学模型与建模概论数学模型与建模概论(giln)第一页，共43页。一、数学一、数学(shxu)的重大作用的重大作用计算机的迅速发展计算机的迅速发展计算机的迅速发展计算机的迅速发展(fzhn)(fzhn)和普及，大大增强了数学解决现实问和普及，大大增强了数学解决现实问和普及，大大增强了数学解决现实问和普及，大大增强了数学解决现实问题的能力。题的能力。题的能力。题的能力。数学向社会、经济和自然界各个领域的渗透，扩展了数学与实际数学向社会、经济和自然界各个领域的渗透，扩展了数学与实际数学向社会、经济和自然界各个领域的渗透，扩展了数学与实际数学向社会、经济和自然界各个领域的渗透，扩展了数学与实际的接触
2、面。产生了如数量经济学、数学生态学、数学地质学、数的接触面。产生了如数量经济学、数学生态学、数学地质学、数的接触面。产生了如数量经济学、数学生态学、数学地质学、数的接触面。产生了如数量经济学、数学生态学、数学地质学、数学心理学和数学语言学等边缘学科学心理学和数学语言学等边缘学科学心理学和数学语言学等边缘学科学心理学和数学语言学等边缘学科第1页/共43页第二页，共43页。知识经济时代知识经济时代信息信息(xnx)社会社会国家的繁荣富强，关键在于高新的科学技术和高效率的经济管理。国家的繁荣富强，关键在于高新的科学技术和高效率的经济管理。国家的繁荣富强，关键在于高新的科学技术和高效率的经济管理。国家
3、的繁荣富强，关键在于高新的科学技术和高效率的经济管理。高新技术的基础高新技术的基础高新技术的基础高新技术的基础(jch)(jch)是应用科学，而应用科学的基础是应用科学，而应用科学的基础是应用科学，而应用科学的基础是应用科学，而应用科学的基础(jch)(jch)是数学。是数学。是数学。是数学。第2页/共43页第三页，共43页。定量化与数学定量化与数学(shxu)当代社会和经济发展的一个特点就是定量化和定量思维的不断加强当代社会和经济发展的一个特点就是定量化和定量思维的不断加强当代社会和经济发展的一个特点就是定量化和定量思维的不断加强当代社会和经济发展的一个特点就是定量化和定量思维的不断加强事物
4、之间的联系规律和事物本身的变化规律事物之间的联系规律和事物本身的变化规律事物之间的联系规律和事物本身的变化规律事物之间的联系规律和事物本身的变化规律,必蕴含着一定的数量必蕴含着一定的数量必蕴含着一定的数量必蕴含着一定的数量(shling)(shling)关系和空间结构，而数学正是反映这些关系的学科，是对关系和空间结构，而数学正是反映这些关系的学科，是对关系和空间结构，而数学正是反映这些关系的学科，是对关系和空间结构，而数学正是反映这些关系的学科，是对其中有关的空间结构、数量其中有关的空间结构、数量其中有关的空间结构、数量其中有关的空间结构、数量(shling)(shling)关系的共性不断地抽
5、象、升华。关系的共性不断地抽象、升华。关系的共性不断地抽象、升华。关系的共性不断地抽象、升华。第3页/共43页第四页，共43页。数学数学(shxu)的显著特点：的显著特点：思维的抽象性思维的抽象性推理推理(tul)的严谨性的严谨性结论的明确性结论的明确性应用的广泛性应用的广泛性第4页/共43页第五页，共43页。现代现代现代现代(xindi)(xindi)科技人员所应具备工作素质科技人员所应具备工作素质科技人员所应具备工作素质科技人员所应具备工作素质直观思维直观思维直观思维直观思维逻辑推理逻辑推理逻辑推理逻辑推理精确计算精确计算精确计算精确计算结论明确等结论明确等结论明确等结论明确等如果没有一定
6、如果没有一定如果没有一定如果没有一定(ydng)(ydng)的数学训练和数学应用的数学训练和数学应用的数学训练和数学应用的数学训练和数学应用基础是难以具备的。基础是难以具备的。基础是难以具备的。基础是难以具备的。第5页/共43页第六页，共43页。如何应用如何应用(yngyng)数学来解数学来解决实际问题决实际问题数学模型是应用数学知识和计算数学模型是应用数学知识和计算机解决实际机解决实际(shj)问题的重要问题的重要手段和桥梁。手段和桥梁。第6页/共43页第七页，共43页。数学模型的广泛应用数学模型的广泛应用生理医药学家有了药物浓度在人体内随时间和空间变生理医药学家有了药物浓度在人体内随时间和
7、空间变生理医药学家有了药物浓度在人体内随时间和空间变生理医药学家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化化化化(binhu)(binhu)的数学模型，就可以分析药物的疗效，的数学模型，就可以分析药物的疗效，的数学模型，就可以分析药物的疗效，的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药有效地指导临床用药有效地指导临床用药有效地指导临床用药城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、城市规划工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划环境等大系统的数学模
8、型，为领导层对城市发展规划环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学根据的决策提供科学根据的决策提供科学根据的决策提供科学根据厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存费用等信息，掌握了他们的工厂、企业和成本、贮存费用等信息，掌握了他们的工厂、企业和成本、贮存费用等信息，掌握了他们的工厂、企业和成本、贮存费用等信息，掌握了他们的工厂、企业的生产与销售的数学模型，他们就可以用计算机
9、控制的生产与销售的数学模型，他们就可以用计算机控制的生产与销售的数学模型，他们就可以用计算机控制的生产与销售的数学模型，他们就可以用计算机控制生产、销售以获取尽可能高的经济收益，增强他们的生产、销售以获取尽可能高的经济收益，增强他们的生产、销售以获取尽可能高的经济收益，增强他们的生产、销售以获取尽可能高的经济收益，增强他们的经济竞争力经济竞争力经济竞争力经济竞争力第7页/共43页第八页，共43页。科学史上成功科学史上成功科学史上成功科学史上成功(chnggng)(chnggng)地应用数学的典范地应用数学的典范地应用数学的典范地应用数学的典范 十七世纪伟大的科学家十七世纪伟大的科学家十七世纪伟
10、大的科学家十七世纪伟大的科学家NewtonNewton在研究在研究在研究在研究(ynji)(ynji)受迫运动时发受迫运动时发受迫运动时发受迫运动时发明了微积分，并以此为工具建立了以三大运动定律与万有引力定明了微积分，并以此为工具建立了以三大运动定律与万有引力定明了微积分，并以此为工具建立了以三大运动定律与万有引力定明了微积分，并以此为工具建立了以三大运动定律与万有引力定律为核心的一个完整的力学理论体系，给出了地球表面和太阳系律为核心的一个完整的力学理论体系，给出了地球表面和太阳系律为核心的一个完整的力学理论体系，给出了地球表面和太阳系律为核心的一个完整的力学理论体系，给出了地球表面和太阳系里
11、一切宏观物体机械运动的一个数学模型。里一切宏观物体机械运动的一个数学模型。里一切宏观物体机械运动的一个数学模型。里一切宏观物体机械运动的一个数学模型。第8页/共43页第九页，共43页。二、从现实二、从现实(xinsh)对象到数学模型对象到数学模型第9页/共43页第十页，共43页。1原型原型(yunxng)与模型与模型我们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界，而我们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界，而我们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界，而我们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界，而模型是针对原型而言的。模型是针对原型而言的。模型是针对原型而言的。模型是针对原型而言的。原型是指人
12、们在社会活动和生产实践中所关心原型是指人们在社会活动和生产实践中所关心原型是指人们在社会活动和生产实践中所关心原型是指人们在社会活动和生产实践中所关心(gun(gunxn)xn)和研究的实际对象。和研究的实际对象。和研究的实际对象。和研究的实际对象。在科技领域常常用系统或过程等术语，如机械系统、在科技领域常常用系统或过程等术语，如机械系统、在科技领域常常用系统或过程等术语，如机械系统、在科技领域常常用系统或过程等术语，如机械系统、电力系统、生态系统、交通系统、社会经济系统等电力系统、生态系统、交通系统、社会经济系统等电力系统、生态系统、交通系统、社会经济系统等电力系统、生态系统、交通系统、社会
13、经济系统等;如导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污如导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污如导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污如导弹飞行过程、化学反应过程、人口增长过程、污染扩散过程等等。染扩散过程等等。染扩散过程等等。染扩散过程等等。第10页/共43页第十一页，共43页。模模 型型模型是人们对原型的近似抽象和描述。它是为了某个特定目的将原型模型是人们对原型的近似抽象和描述。它是为了某个特定目的将原型模型是人们对原型的近似抽象和描述。它是为了某个特定目的将原型模型是人们对原型的近似抽象和描述。它是为了某个特定目的将原型的其一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。的其一部
14、分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。的其一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。的其一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。航空航空航空航空(hngkng)(hngkng)模型模型模型模型城市交通模型城市交通模型城市交通模型城市交通模型 城市交通图城市交通图城市交通图城市交通图第11页/共43页第十二页，共43页。模型与原型模型与原型(yunxng)的关系的关系模型来源于原型模型来源于原型模型来源于原型模型来源于原型(yunxng)(yunxng)，但它不是对原型，但它不是对原型，但它不是对原型，但它不是对原型(yunxng)(yunxng)简单的模仿，它是人们为了简单的模仿，它是人们为了简单
15、的模仿，它是人们为了简单的模仿，它是人们为了认识和理解原型认识和理解原型认识和理解原型认识和理解原型(yunxng)(yunxng)而对它所作的一个抽象、升华。而对它所作的一个抽象、升华。而对它所作的一个抽象、升华。而对它所作的一个抽象、升华。它就可以使我们通过对原型它就可以使我们通过对原型它就可以使我们通过对原型它就可以使我们通过对原型(yunxng)(yunxng)的分析研究加深对原型的分析研究加深对原型的分析研究加深对原型的分析研究加深对原型(yunxng)(yunxng)的理解和认的理解和认的理解和认的理解和认识。识。识。识。第12页/共43页第十三页，共43页。2模型模型(mxng)
16、的形式的形式 模型有各种形式模型有各种形式模型有各种形式模型有各种形式用模型替代原型的方式来分类用模型替代原型的方式来分类用模型替代原型的方式来分类用模型替代原型的方式来分类(fn li)(fn li)，模型可以，模型可以，模型可以，模型可以分为分为分为分为物质模型物质模型物质模型物质模型(形象模型或具体模型）形象模型或具体模型）形象模型或具体模型）形象模型或具体模型）直观模型（缩尺模型）直观模型（缩尺模型）直观模型（缩尺模型）直观模型（缩尺模型）物理模型（模拟模型）等物理模型（模拟模型）等物理模型（模拟模型）等物理模型（模拟模型）等理想模型理想模型理想模型理想模型(抽象模型抽象模型抽象模型抽
17、象模型)思维模型思维模型思维模型思维模型符号模型符号模型符号模型符号模型数学模型等。数学模型等。数学模型等。数学模型等。第13页/共43页第十四页，共43页。三、数学模型三、数学模型数学模型是指通过抽象数学模型是指通过抽象数学模型是指通过抽象数学模型是指通过抽象(chuxing)(chuxing)和简化，使用数学语言和方法和简化，使用数学语言和方法和简化，使用数学语言和方法和简化，使用数学语言和方法对实际现象的一个近似刻划，以便于人仰更深刻地认识所研究的对实际现象的一个近似刻划，以便于人仰更深刻地认识所研究的对实际现象的一个近似刻划，以便于人仰更深刻地认识所研究的对实际现象的一个近似刻划，以便
18、于人仰更深刻地认识所研究的对象。对象。对象。对象。是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。通过是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。通过是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。通过是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识。际问题的认识。际问题的认识。际问题的认识。第14页/共43页第十五页，共43页。数学模型
19、举例数学模型举例(j l)力学力学力学力学(l xu)(l xu)中著名的牛顿第二定律中著名的牛顿第二定律中著名的牛顿第二定律中著名的牛顿第二定律 F=ma F=ma描述受力物体的运动规律描述受力物体的运动规律描述受力物体的运动规律描述受力物体的运动规律描述人口增长规律的数学模型描述人口增长规律的数学模型描述人口增长规律的数学模型描述人口增长规律的数学模型 dN(t)/dt=rN(t)dN(t)/dt=rN(t)揭示人口成等比级数的增长的规律揭示人口成等比级数的增长的规律揭示人口成等比级数的增长的规律揭示人口成等比级数的增长的规律第15页/共43页第十六页，共43页。数学数学(shxu)建模基
20、础建模基础数学是人们掌握和使用数学是人们掌握和使用数学是人们掌握和使用数学是人们掌握和使用(shyng)(shyng)数学模型这数学模型这数学模型这数学模型这个工具的必要条件和重要的基础。个工具的必要条件和重要的基础。个工具的必要条件和重要的基础。个工具的必要条件和重要的基础。广博的数学知识广博的数学知识广博的数学知识广博的数学知识严格数理逻辑思维严格数理逻辑思维严格数理逻辑思维严格数理逻辑思维数学模型本身的数学特征等数学模型本身的数学特征等数学模型本身的数学特征等数学模型本身的数学特征等数学数学数学数学+计算机应用技术计算机应用技术计算机应用技术计算机应用技术+应用专业知识应用专业知识应用专
21、业知识应用专业知识 +数模分析数模分析数模分析数模分析第16页/共43页第十七页，共43页。“用数学用数学(shxu)”与与“学数学学数学(shxu)”数学模型是使用数学来解决实际问题的桥梁。数学模型是使用数学来解决实际问题的桥梁。数学模型是使用数学来解决实际问题的桥梁。数学模型是使用数学来解决实际问题的桥梁。对它的分析和研究的目的是解决实际问题。对它的分析和研究的目的是解决实际问题。对它的分析和研究的目的是解决实际问题。对它的分析和研究的目的是解决实际问题。数学模型并不就是数学应用题，更不是套公数学模型并不就是数学应用题，更不是套公数学模型并不就是数学应用题，更不是套公数学模型并不就是数学应
22、用题，更不是套公式的问题。式的问题。式的问题。式的问题。掌握使用数学去建立模型以解决实际问题所掌握使用数学去建立模型以解决实际问题所掌握使用数学去建立模型以解决实际问题所掌握使用数学去建立模型以解决实际问题所需的技能与理解数学概念、证明定理、求解需的技能与理解数学概念、证明定理、求解需的技能与理解数学概念、证明定理、求解需的技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所需的技巧方程所需的技巧方程所需的技巧方程所需的技巧(jqio)(jqio)也是迥然不同的。也是迥然不同的。也是迥然不同的。也是迥然不同的。第17页/共43页第十八页，共43页。广义广义(gungy)数学数学这里的数学是广义数学，不仅这
23、里的数学是广义数学，不仅这里的数学是广义数学，不仅这里的数学是广义数学，不仅(bjn)(bjn)包括经典包括经典包括经典包括经典数学数学数学数学P P，还包括统计学，还包括统计学，还包括统计学，还包括统计学S S、应用数学、应用数学、应用数学、应用数学A A、计算数、计算数、计算数、计算数学学学学N N等。等。等。等。P P A A S S N N 第18页/共43页第十九页，共43页。建立建立(jinl)数学模型的全过程数学模型的全过程 可分为表述、求解、解释、验证可分为表述、求解、解释、验证可分为表述、求解、解释、验证可分为表述、求解、解释、验证(ynzhng)(ynzhng)几个阶段，完
24、成从现实几个阶段，完成从现实几个阶段，完成从现实几个阶段，完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回对象到数学模型，再从数学模型回对象到数学模型，再从数学模型回对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环到现实对象的循环到现实对象的循环到现实对象的循环 第19页/共43页第二十页，共43页。第20页/共43页第二十一页，共43页。四、数学建模的四、数学建模的方法方法(fngf)和和步骤步骤第21页/共43页第二十二页，共43页。1.建立建立(jinl)数学模型的数学模型的方法方法机理分析方法（演绎推理）机理分析方法（演绎推理）机理分析方法（演绎推理）机理分析方法（演绎推理）是根据对现实对象特性
25、的认识，分析其因果是根据对现实对象特性的认识，分析其因果是根据对现实对象特性的认识，分析其因果是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立的模关系，找出反映内部机理的规律，建立的模关系，找出反映内部机理的规律，建立的模关系，找出反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义型常有明确的物理或现实意义型常有明确的物理或现实意义型常有明确的物理或现实意义测试分析方法（归纳总结）测试分析方法（归纳总结）测试分析方法（归纳总结）测试分析方法（归纳总结）内部机理无法直接寻求，可以测量系统的有内部机理无法直接寻求，可以测量系统的有内部机理无法直接寻求，可以测量系统的有内
26、部机理无法直接寻求，可以测量系统的有关数据，并运用统计分析等方法，按照事先关数据，并运用统计分析等方法，按照事先关数据，并运用统计分析等方法，按照事先关数据，并运用统计分析等方法，按照事先确定的准则求出数据拟合得最好的模型确定的准则求出数据拟合得最好的模型确定的准则求出数据拟合得最好的模型确定的准则求出数据拟合得最好的模型常将这两种方法结合起来常将这两种方法结合起来常将这两种方法结合起来常将这两种方法结合起来(q li)(q li)进行建模进行建模进行建模进行建模用机理分析建立模型的结构，用测试分析确用机理分析建立模型的结构，用测试分析确用机理分析建立模型的结构，用测试分析确用机理分析建立模型
27、的结构，用测试分析确定模型的参数定模型的参数定模型的参数定模型的参数 第22页/共43页第二十三页，共43页。2.数学建模的一般数学建模的一般(ybn)步骤步骤 模型准备模型准备(zhnbi)模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解 模型分析模型分析 no模型检验模型检验 yes 模型应用模型应用第23页/共43页第二十四页，共43页。模型模型(mxng)准备准备 首先要了解问题的实际背景首先要了解问题的实际背景首先要了解问题的实际背景首先要了解问题的实际背景明确建模的目的明确建模的目的明确建模的目的明确建模的目的 搜集建模必需搜集建模必需搜集建模必需搜集建模必需(bx)(bx)的各种
28、信息如现象、数据等的各种信息如现象、数据等的各种信息如现象、数据等的各种信息如现象、数据等尽量弄清对象的特征，尽量弄清对象的特征，尽量弄清对象的特征，尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型由此初步确定用哪一类模型由此初步确定用哪一类模型由此初步确定用哪一类模型 第24页/共43页第二十五页，共43页。模型模型(mxng)假设假设 根据对象的特征和建模的目的，对问题进行根据对象的特征和建模的目的，对问题进行根据对象的特征和建模的目的，对问题进行根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化必要的、合理的简化必要的、合理的简化必要的、合理的简化用精确的语言作出假设，是建模的关键用精
29、确的语言作出假设，是建模的关键用精确的语言作出假设，是建模的关键用精确的语言作出假设，是建模的关键作假设的依据作假设的依据作假设的依据作假设的依据出于对问题内在规律的认识出于对问题内在规律的认识出于对问题内在规律的认识出于对问题内在规律的认识来自对数据或现象来自对数据或现象来自对数据或现象来自对数据或现象(xinxing)(xinxing)的分析的分析的分析的分析 第25页/共43页第二十六页，共43页。模型模型(mxng)构成构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用根据所作的假设分析对象的因果关系，利用根据所作的假设分析对象的因果关系，利用根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在
30、规律和适当的数学工具，构造各对象的内在规律和适当的数学工具，构造各对象的内在规律和适当的数学工具，构造各对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量个量个量个量(常量和变量常量和变量常量和变量常量和变量)之间的等式之间的等式之间的等式之间的等式(或不等式或不等式或不等式或不等式)关关关关系或其他数学结构系或其他数学结构系或其他数学结构系或其他数学结构相似类比法，即根据不同对象的某些相似类比法，即根据不同对象的某些相似类比法，即根据不同对象的某些相似类比法，即根据不同对象的某些(mu(mu xi)xi)相似性，借用已知领域的数学模型，来构相似性，借用已知领域的数学模型，来构相似性，借用已知领域的数
31、学模型，来构相似性，借用已知领域的数学模型，来构造模型方法造模型方法造模型方法造模型方法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 第26页/共43页第二十七页，共43页。模型模型(mxng)求解求解 采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值数值数值数值(shz)(shz)计算、统计分析等各种传统的计算、统计分析等各种传统的计算、统计分析等各种传统的计算、统计分析等各种传统的和近代的数学方法和近代的数学方法和近代的数学方法和近
32、代的数学方法特别是应用计算机技术特别是应用计算机技术特别是应用计算机技术特别是应用计算机技术 第27页/共43页第二十八页，共43页。模型模型(mxng)分析分析 对模型解答进行数学上的分析对模型解答进行数学上的分析对模型解答进行数学上的分析对模型解答进行数学上的分析(fnx)(fnx)，常常需要进行误差分析常常需要进行误差分析常常需要进行误差分析常常需要进行误差分析(fnx)(fnx)、模型对数据的稳定性或灵敏性分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析(fnx)(fnx)等等等等 第28页/共43页第二十九页，共43页。模型模型(m
33、xng)检验检验 把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用(bn yn)(bn yn)实际的现象、实际的现象、实际的现象、实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。这一步对于建模的成败是非常重要的这一步对于建模的成败是非常重要的这一步对于建模的成败是非常重要的这一步对于建模的成败是非常重要的模型检验的结果如果不符合实际，问题通常出在模型假设上模型检
34、验的结果如果不符合实际，问题通常出在模型假设上模型检验的结果如果不符合实际，问题通常出在模型假设上模型检验的结果如果不符合实际，问题通常出在模型假设上 第29页/共43页第三十页，共43页。模型模型(mxng)应用应用 应用的方式取决于应用的方式取决于应用的方式取决于应用的方式取决于问题问题问题问题(wnt)(wnt)的性质的性质的性质的性质建模的目的建模的目的建模的目的建模的目的 第30页/共43页第三十一页，共43页。用建模方法解决实际用建模方法解决实际(shj)问题问题首先是用数学语言首先是用数学语言首先是用数学语言首先是用数学语言(yyn)(yyn)表述问题即构造模型表述问题即构造模型
35、表述问题即构造模型表述问题即构造模型其次才是用数学工具求解构成的模型其次才是用数学工具求解构成的模型其次才是用数学工具求解构成的模型其次才是用数学工具求解构成的模型第31页/共43页第三十二页，共43页。数学数学(shxu)建模的基础建模的基础用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构造等，需要造等，需要造等，需要造等，需要广博的知识广博的知识广博的知识广博的知识(包括数学知识和各种实际知识包括数学知识和各种实际知识包括数学知识和各种实际知识包括数学知识和各种实际知识)足够足够
36、足够足够(zgu)(zgu)的经验的经验的经验的经验丰富的想象力丰富的想象力丰富的想象力丰富的想象力敏锐的洞察力敏锐的洞察力敏锐的洞察力敏锐的洞察力直觉和灵感直觉和灵感直觉和灵感直觉和灵感第32页/共43页第三十三页，共43页。五、数学模型的五、数学模型的分类分类(fn li)数学模型可以按照数学模型可以按照数学模型可以按照数学模型可以按照(nzho)(nzho)不同的方式分类不同的方式分类不同的方式分类不同的方式分类第33页/共43页第三十四页，共43页。按照模型按照模型(mxng)的应用领域分的应用领域分类类如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型
37、、如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、再生资源利用模型、污染城镇规划模型、再生资源利用模型、污染城镇规划模型、再生资源利用模型、污染城镇规划模型、再生资源利用模型、污染(wrn)(wrn)模型等模型等模型等模型等范畴更大一些则形成许多边缘学科，范畴更大一些则形成许多边缘学科，范畴更大一些则形成许多边缘学科，范畴更大一些则形成许多边缘学科，如生物数学、医药数学、地质数学、数量经如生物数学、医药数学、地质数学、数量经如生物数学、医药数学、地质数学、数量经如生物数学、医药数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等济学、数学社会学等济学、数学
38、社会学等济学、数学社会学等 第34页/共43页第三十五页，共43页。按照建立模型的数学方法按照建立模型的数学方法(sh xu fn f)分类分类初等数学模型初等数学模型初等数学模型初等数学模型几何几何几何几何(j h)(j h)模型模型模型模型微分方程模型微分方程模型微分方程模型微分方程模型统计模型统计模型统计模型统计模型图论模型图论模型图论模型图论模型马氏链模型马氏链模型马氏链模型马氏链模型规划论模型等规划论模型等规划论模型等规划论模型等第35页/共43页第三十六页，共43页。按照按照(nzho)模型的表现模型的表现特性分类特性分类确定性模型和随机性模型确定性模型和随机性模型确定性模型和随机
39、性模型确定性模型和随机性模型 取决于是否取决于是否取决于是否取决于是否(sh fu)(sh fu)考虑随机因素的影响考虑随机因素的影响考虑随机因素的影响考虑随机因素的影响静态模型和动态模型静态模型和动态模型静态模型和动态模型静态模型和动态模型 取决于是否取决于是否取决于是否取决于是否(sh fu)(sh fu)考虑时间因素引起的变化考虑时间因素引起的变化考虑时间因素引起的变化考虑时间因素引起的变化 线性模型和非线性模型线性模型和非线性模型线性模型和非线性模型线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系取决于模型的基本关系取决于模型的基本关系取决于模型的基本关系 离散模型和连续模型离散模型和连续模
40、型离散模型和连续模型离散模型和连续模型取决于模型中变量取决于模型中变量取决于模型中变量取决于模型中变量(主要是时间变量主要是时间变量主要是时间变量主要是时间变量)的取值的取值的取值的取值第36页/共43页第三十七页，共43页。按照建模目的按照建模目的(md)分类分类描述描述描述描述(mio sh)(mio sh)模型模型模型模型分析模型分析模型分析模型分析模型预报模型预报模型预报模型预报模型优化模型优化模型优化模型优化模型决策模型决策模型决策模型决策模型控制模型等控制模型等控制模型等控制模型等第37页/共43页第三十八页，共43页。按照对模型结构了解按照对模型结构了解(lioji)程度分类程度
41、分类白箱模型白箱模型白箱模型白箱模型:通常通常通常通常(tngchng)(tngchng)是指一些机理已较为清楚的问题，是指一些机理已较为清楚的问题，是指一些机理已较为清楚的问题，是指一些机理已较为清楚的问题，如力学、电学、机械等学科所研究的问题。这类模型模型大多如力学、电学、机械等学科所研究的问题。这类模型模型大多如力学、电学、机械等学科所研究的问题。这类模型模型大多如力学、电学、机械等学科所研究的问题。这类模型模型大多已基本确定，主要研究的是如何优化设计和控制的问题。已基本确定，主要研究的是如何优化设计和控制的问题。已基本确定，主要研究的是如何优化设计和控制的问题。已基本确定，主要研究的是
42、如何优化设计和控制的问题。灰箱模型灰箱模型灰箱模型灰箱模型:于白箱模型和黑箱模型之间的是灰箱模型，主要是指于白箱模型和黑箱模型之间的是灰箱模型，主要是指于白箱模型和黑箱模型之间的是灰箱模型，主要是指于白箱模型和黑箱模型之间的是灰箱模型，主要是指经济、气象、生态、地质等领域的问题。经济、气象、生态、地质等领域的问题。经济、气象、生态、地质等领域的问题。经济、气象、生态、地质等领域的问题。黑箱模型黑箱模型黑箱模型黑箱模型:主要是指生命、医学、心理、社会等领域机理不清楚主要是指生命、医学、心理、社会等领域机理不清楚主要是指生命、医学、心理、社会等领域机理不清楚主要是指生命、医学、心理、社会等领域机理
43、不清楚的问题。的问题。的问题。的问题。第38页/共43页第三十九页，共43页。六、数学模型课六、数学模型课与能力与能力(nngl)培养培养第39页/共43页第四十页，共43页。数学建模课的开设数学建模课的开设(kish)目的目的是为了把学生是为了把学生是为了把学生是为了把学生(xu sheng)(xu sheng)学习过的和将在本课程中学习的数学方法学习过的和将在本课程中学习的数学方法学习过的和将在本课程中学习的数学方法学习过的和将在本课程中学习的数学方法和知识与周围的现实世界联系起来，甚至和少数真正的实际应用问题和知识与周围的现实世界联系起来，甚至和少数真正的实际应用问题和知识与周围的现实世
44、界联系起来，甚至和少数真正的实际应用问题和知识与周围的现实世界联系起来，甚至和少数真正的实际应用问题联系起来，联系起来，联系起来，联系起来，不仅使学生不仅使学生不仅使学生不仅使学生(xu sheng)(xu sheng)知道数学有用、怎样用，更知道在真正的应知道数学有用、怎样用，更知道在真正的应知道数学有用、怎样用，更知道在真正的应知道数学有用、怎样用，更知道在真正的应用中还要继续学习。用中还要继续学习。用中还要继续学习。用中还要继续学习。第40页/共43页第四十一页，共43页。努力努力(n l)培养学生的有培养学生的有关能力关能力1.1.培养培养培养培养“翻译翻译翻译翻译”的能力，即把经过一
45、定抽象简化的实际问题用的能力，即把经过一定抽象简化的实际问题用的能力，即把经过一定抽象简化的实际问题用的能力，即把经过一定抽象简化的实际问题用数学的语言表达出来形成数学模型，对数模结果能用数学的语言表达出来形成数学模型，对数模结果能用数学的语言表达出来形成数学模型，对数模结果能用数学的语言表达出来形成数学模型，对数模结果能用 常人常人常人常人 能懂的语言能懂的语言能懂的语言能懂的语言 翻译翻译翻译翻译(表达表达表达表达)出来。出来。出来。出来。2.2.应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析应用已学到的
46、数学方法和思想进行综合应用和分析(fnx)(fnx)，并能理解合理的抽象和简化。，并能理解合理的抽象和简化。，并能理解合理的抽象和简化。，并能理解合理的抽象和简化。3.3.发展联想能力。发展联想能力。发展联想能力。发展联想能力。4.4.逐渐发展形成一种洞察能力逐渐发展形成一种洞察能力逐渐发展形成一种洞察能力逐渐发展形成一种洞察能力(或叫洞察力或叫洞察力或叫洞察力或叫洞察力),),即一眼就能抓即一眼就能抓即一眼就能抓即一眼就能抓住住住住(或部分抓住或部分抓住或部分抓住或部分抓住)要点的能力。要点的能力。要点的能力。要点的能力。5.5.熟练使用现代技术手段熟练使用现代技术手段熟练使用现代技术手段熟练使用现代技术手段(在目前主要是计算机及相应的各种在目前主要是计算机及相应的各种在目前主要是计算机及相应的各种在目前主要是计算机及相应的各种数学软件包数学软件包数学软件包数学软件包)。第41页/共43页第四十二页，共43页。七、数学(shxu)软件与数学(shxu)建模MathematicaMathcadMATLABSASSPSS LINGO9.0 第42页/共43页第四十三页，共43页。