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1、会计学1清华大学断裂力学清华大学断裂力学(dun li l xu)讲义讲义ch第一页，共46页。反平面反平面(pngmin)(pngmin)剪切问题（一个相对简单的问题）剪切问题（一个相对简单的问题）整理可得调和方程（或由整理可得调和方程（或由NavierNavier方程直接方程直接(zhji)(zhji)简化）简化）渐近解渐近解为什么有如此为什么有如此(rc)(rc)渐近渐近的形式？的形式？M.L.Williams.On the stress distribution at the base of a stationary crack.Journal of Applied Mechanics
2、 24,109-115(1957).分离变量法分离变量法第1页/共46页第二页，共46页。George Rankine IrwinG.R.Irwin.Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate.Journal of Applied Mechanics 24,361-364(1957).应力强度应力强度(qingd)因子因子KI,II,III与与G之间的关系之间的关系G 与裂纹延伸时能量与裂纹延伸时能量(nngling)的变化有关的变化有关KI,II,III仅与裂纹仅与裂纹(li wn)尖
3、端区域的场强度有关尖端区域的场强度有关KI,II,III与与G之间的关系之间的关系?第2页/共46页第三页，共46页。首先假设固定首先假设固定(gdng)(gdng)位移加载位移加载 针对针对(zhndu)III型裂纹型裂纹BA第3页/共46页第四页，共46页。针对针对(zhndu)I、II、III型裂纹型裂纹如果不是固定位移载荷如果不是固定位移载荷(zi h)(zi h)加载（如固定力），是何结论？加载（如固定力），是何结论？【作业题作业题3-5】复合型裂纹复合型裂纹(li wn)(li wn)第4页/共46页第五页，共46页。可由能量可由能量(nngling)(nngling)平衡来理解平
4、衡来理解逐渐放松逐渐放松(fn sn)(fn sn)保持力过程保持力过程这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析(fnx)(fnx)仍然适用。仍然适用。裂纹扩展裂纹扩展第5页/共46页第六页，共46页。q能量释放率和应力能量释放率和应力(yngl)强度因子关系是假定裂纹呈直线延强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得到的。伸下得到的。q在在II型和型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I型断型断裂占优的路径。
5、裂占优的路径。q此外，此外，I型断裂最为危险。型断裂最为危险。平面平面(pngmin)应变断裂韧性：应变断裂韧性：第6页/共46页第七页，共46页。实验测量实验测量(cling)(cling)应力应力强度因子强度因子电测法电测法光弹法光弹法热弹性热弹性(tnxng)法（法（Thermoelastic Method）数字图像相关数字图像相关(xinggun)（Digital image correlation）裂尖应变裂尖应变裂尖温度场裂尖温度场裂尖位移场裂尖位移场裂尖主应力裂尖主应力第7页/共46页第八页，共46页。基于基于(jy)(jy)应力强度因子的断裂准则应力强度因子的断裂准则KIC 材
6、料材料(cilio)的断裂韧性（的断裂韧性（Fracture toughness）实验实验(shyn)测量测量KICASTMCompact tension(CT)Single edge notch bend(SENB)平面应变平面应变Crack mouth opening displacement(CMOD)第8页/共46页第九页，共46页。此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷(zi h)条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法：Westergaard应力函数法（应力函数法
7、（Westergaard stress function）权函数法（权函数法（Weight function）线性叠加法线性叠加法（Principle of superposition）应力强度应力强度(qingd)因子求解因子求解应力强度因子应力强度因子(ynz)的计算：的计算：第9页/共46页第十页，共46页。Westergaard应力应力(yngl)函数法（函数法（Westergaard stress function）之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard应力函数方应力函数方法法(fngf)将满足所
8、有边界，并能给出全场解。将满足所有边界，并能给出全场解。I、II型裂纹型裂纹(li wn)应力函数应力函数应力场应力场位移场位移场第10页/共46页第十一页，共46页。Westergaard应力应力(yngl)函数法（函数法（Westergaard stress function）在在前前面面的的平平面面问问题题求求解解中中,需需要要确确定定两两个个解解析析函函数数j(z)和和y(z)，其其实实在在对对称称和和反反对对称称特特例例下下，可可利用利用(lyng)Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。函数进一步简化为一个解析函数的求解。以以I型问题型问题(wnt)为为例：例：利
9、用了对称性利用了对称性A为实常数为实常数解析延拓（定义见下页）：解析延拓（定义见下页）：I型裂纹的型裂纹的Westergaard应力函数：应力函数：第11页/共46页第十二页，共46页。第12页/共46页第十三页，共46页。用用Westergaard应力应力(yngl)函数表示应力函数表示应力(yngl)、位移、位移应力场应力场位移位移(wiy)场场当当 x2=0时剪应力为零，这意味着裂纹时剪应力为零，这意味着裂纹(li wn)面是主平面。面是主平面。I型裂纹型裂纹第13页/共46页第十四页，共46页。例：双轴载荷例：双轴载荷(zi h)(zi h)下含中心裂纹的无穷大板下含中心裂纹的无穷大板
10、是是ZI(z)两个两个(lin)枝点，可猜测枝点，可猜测无穷无穷(wqing)(wqing)远处的边界条件：远处的边界条件：自由裂纹表面：自由裂纹表面：【作业题作业题3-6】双轴加载，但水平与竖直方向远场应力不同双轴加载，但水平与竖直方向远场应力不同第14页/共46页第十五页，共46页。一旦一旦Westergaard函数函数(hnsh)已知，便可知道全场解已知，便可知道全场解转换转换(zhunhun)(zhunhun)坐坐标到裂尖标到裂尖I型裂纹型裂纹(li wn)：应力场应力场位移场位移场裂纹面上裂纹面上第15页/共46页第十六页，共46页。还可用还可用Westergaard函数法考察共行和
11、共列多个函数法考察共行和共列多个(du)裂纹的相互作用（参见裂纹的相互作用（参见Koiter，1959的工作）。如何猜测的工作）。如何猜测Westergaard函数？函数？【题题3-7】对对于于周周期期性性分分布布的的共共行行、共共列列裂裂纹纹，如如何何提提边边界界条条件件？并并利利用用Westergaard函数函数(hnsh)证明裂尖应力强度因子。证明裂尖应力强度因子。第16页/共46页第十七页，共46页。共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度(qingd)(qingd)因子，而共列裂纹因子，而共列裂纹则起相互屏蔽作用。则起相互屏蔽作用。第17页/共46
12、页第十八页，共46页。II裂纹裂纹(li wn)的的Westergaard应力函数应力函数裂纹裂纹(li wn)面上面上应力场应力场位移位移(wiy)场场II型中心裂纹承受远场均匀剪切型中心裂纹承受远场均匀剪切第18页/共46页第十九页，共46页。III型裂纹型裂纹(li wn)的复变函数表示方法的复变函数表示方法应力场应力场位移位移(wiy)场场III型中心裂纹承受型中心裂纹承受(chngshu)远场均远场均匀剪切匀剪切为了统一为了统一第19页/共46页第二十页，共46页。根据边界条件猜测根据边界条件猜测(cic)Westergaard函数函数边界条件边界条件裂纹裂纹(li wn)(li w
13、n)面面无穷远无穷远第20页/共46页第二十一页，共46页。III型裂纹型裂纹(li wn)面上承受集中力面上承受集中力第21页/共46页第二十二页，共46页。附：复变函数附：复变函数(hnsh)(hnsh)的性质的性质第22页/共46页第二十三页，共46页。III型半无限型半无限(wxin)场裂纹面上承受集中力场裂纹面上承受集中力第23页/共46页第二十四页，共46页。权函数法权函数法顾名思义，加权累加，所以顾名思义，加权累加，所以(suy)(suy)要求线弹性要求线弹性Bueckner,H.F.,“A Novel Principle for the Computation of Stres
14、s Intensity Factors.”Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik,Vol.50,1970,pp.529545.Rice,J.R.,“Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.”International Journal of Solids and Structures,Vol.8,1972,pp.751758.James R.Rice第24页/共46页第二十五页，共46页。第25页/共46页第二十六页，共46页。为什么用机械总势能？（勒让德变换为什么用机械总势能？
15、（勒让德变换(binhun)来改变变量）来改变变量）第26页/共46页第二十七页，共46页。第27页/共46页第二十八页，共46页。第28页/共46页第二十九页，共46页。把上述想法连续化，可得如下求解步骤把上述想法连续化，可得如下求解步骤(bzhu)(bzhu)：（1 1）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解权函数定义权函数定义(dngy)(dngy)为为（2 2）利用权函数可计算其它载荷）利用权函数可计算其它载荷(zi h)(zi h)下的应力强度因子下的应力强度因子不不需需要要知知道道权权函函数数的的全全场场值值，只只需需计计算算与与ta a、fa a载
16、载荷荷功功共共轭轭的的部部分分权权函函数数的分布值。的分布值。（3 3）该载荷下的位移场满足）该载荷下的位移场满足权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！第29页/共46页第三十页，共46页。左端还是右端的应力强度左端还是右端的应力强度(qingd)因子？因子？第30页/共46页第三十一页，共46页。【题【题3-8】如何计算左端的】如何计算左端的(dund)应力强度因子？（仍用此坐标系表达）应力强度因子？（仍用此坐标系表达）第31页/共46页第三十二页，共46页。无限无限(wxin)长裂纹长裂纹半无限半无限(wxin)长裂纹长
17、裂纹Green函数函数(hnsh)第32页/共46页第三十三页，共46页。第33页/共46页第三十四页，共46页。第34页/共46页第三十五页，共46页。权函数方法权函数方法(fngf)(fngf)也可用于三维裂纹也可用于三维裂纹第35页/共46页第三十六页，共46页。线性叠加法线性叠加法对于线弹性材料，只要断裂模式是一致对于线弹性材料，只要断裂模式是一致(yzh)(yzh)的，应力强度因子也可以叠加。的，应力强度因子也可以叠加。第36页/共46页第三十七页，共46页。已知已知b、c的应力的应力(yngl)强度因子，如何求强度因子，如何求a的强度因子？的强度因子？线性叠加法线性叠加法思考题？思
18、考题？第37页/共46页第三十八页，共46页。讨讨 论论渐渐近近解解与与全全场场(qun chn)解的比较解的比较渐近解渐近解全场全场(qun chn)解解K主导主导(zhdo)区域区域坐标在裂纹中心l为最小的特征尺度第38页/共46页第三十九页，共46页。小小 结结 （二）（二）vK与与G之间的关系之间的关系(gun x)v求求解解K的的方方法法Westergaard函函数数法法、权权函函数数法法、线线性性叠加法叠加法v讨论关于渐近解与全场解的比较讨论关于渐近解与全场解的比较第39页/共46页第四十页，共46页。作作 业业 题题【作业题【作业题3-5】：仿照讲义】：仿照讲义(jingy)中中
19、III型裂纹型裂纹KIII与与G之间的推导，独立推导之间的推导，独立推导I、II型裂纹型裂纹KI、KII与与G之间的关系。之间的关系。（1）给出）给出A图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；图中裂尖使裂纹闭合的应力表示；（2）给出）给出B图中裂尖上下表面的位移差表示；图中裂尖上下表面的位移差表示；（3）代入如下公式计算）代入如下公式计算KI、KII与与G之间的关系。之间的关系。AB第40页/共46页第四十一页，共46页。作作 业业 题题【作业题【作业题3-6】：如图所示，一中心裂纹】：如图所示，一中心裂纹(li wn)在无限大板中承受双轴均匀拉伸，水平和竖在无限大板中承受双轴均匀拉伸，水平和竖直方向的
20、远场应力分别为直方向的远场应力分别为s1和和s2。验证如下的。验证如下的Westergaard函数满足所有边界条件（包括裂函数满足所有边界条件（包括裂纹纹(li wn)表面及无穷远处）。表面及无穷远处）。第41页/共46页第四十二页，共46页。作作 业业 题题【题题3-7】对对于于周周期期性性分分布布的的共共行行、共共列列裂裂纹纹(li wn)，如如何何提提边边界界条条件件？利利用用如如下下给给定定的的Westergaard函函数数证证明明裂裂尖尖应应力力强强度度因因子子的的表表示示式式。尝尝试试猜猜测测II型型周周期期裂裂纹纹(li wn)的的Westergaard函数，并得出其裂尖应力强度
21、因子。函数，并得出其裂尖应力强度因子。第42页/共46页第四十三页，共46页。【题【题3-8】如何计算左端的应力强度】如何计算左端的应力强度(qingd)因子？（用图中坐标系表达）因子？（用图中坐标系表达）作作 业业 题题第43页/共46页第四十四页，共46页。【题【题3-9】利用权函数方法求解】利用权函数方法求解(qi ji)如图所示的裂纹如图所示的裂纹A和和B端的应力强端的应力强度因子。度因子。作作 业业 题题AB第44页/共46页第四十五页，共46页。【题【题3-10】如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的应力强度】如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的应力强度因子因子(ynz)KI和和KII。当。当s1=s2时，时，KI和和KII退化为什么？退化为什么？作作 业业 题题第45页/共46页第四十六页，共46页。