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1、会计学1数学物理方法数学物理方法(fngf)定解问题定解问题第一页，共43页。声振动是研究声源与声波声振动是研究声源与声波场之间的关系场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松泊松（S.D.Poisson 1781S.D.Poisson 178118401840，法国数学家）方程法国数学家）方程表示的是电势（或电场）表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系和电荷分布之间的关系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，数学从物理规律角度来分析，数学(shxu)物理定解问物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系题表征的是场和产生这种场的源之间的关系2
2、第2页/共43页第二页，共43页。多数多数(dush)为二阶线为二阶线性偏微分性偏微分方程方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足振动与波（振动波，电磁波）传播满足(mnz)波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足(mnz)热传导方程热传导方程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊拉普拉斯方程或泊松方程松方程一、数学物理方程-泛定方程泛定方程:物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u 在空间和时间中的变化在空间和时间中的变化规律，即物理量规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。的联
3、系。数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。3第3页/共43页第三页，共43页。4二、边界问题-边界条件体现边界体现边界(binji)(binji)状态的数学方程称为边界状态的数学方程称为边界(binji)(binji)条件条件三、历史(lsh)问题-初始条件体现历史状态体现历史状态(zhungti)(zhungti)的数学方程称为初始的数学方程称为初始条件条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。的运动状
4、态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。第4页/共43页第四页，共43页。5具体具体
5、(jt)(jt)的问题的求解的一般过程：的问题的求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程(fngchng)(fngchng)客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始、根据已知系统的边界状况和初始(ch sh)(ch sh)状况列出边界条件和状况列出边界条件和 初始初始(ch sh)(ch sh)条件条件求解所必须用的求解所必须用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分离变量法等行波法、分离变量法等分离变量法分离变量法偏微分方程偏微分方程标准的常微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特标准解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种
6、最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法第5页/共43页第五页，共43页。1.1 1.1 数学模型数学模型(方程方程(fngchng)(fngchng)）的建立）的建立6建模步骤建模步骤(bzhu)(bzhu)：1 1、确定表征、确定表征(bio zhn)(bio zhn)过程的物理量过程的物理量u u（代求函数）；（代求函数）；2 2、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的关系及相互作用，用含与它的关系及相互作用，用含u u的算术式表达此作用；的算术式表达此作用；3 3、对算式进行化简得到最终方程，此方程为、对算式进行化简得到最终方程，
7、此方程为某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。第6页/共43页第六页，共43页。7模型模型(mxng)(mxng)（方程）（方程）类型：类型：1 1、波动方程、波动方程(fngchng)(fngchng)（描述振动和波动特征）；（描述振动和波动特征）；2 2、热传导方程（反映输运、热传导方程（反映输运(sh yn)(sh yn)过程）；过程）；3 3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过程）。、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过程）。第7页/共43页第七页，共43页。（一）均匀（一）均匀(jnyn)弦横振动方程弦横振动方程(一维波动方程）一维波动方程）弦的横
8、振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x x轴绷紧，在平衡位置附近轴绷紧，在平衡位置附近(fjn)(fjn)产生振幅极小的横振动产生振幅极小的横振动 u(x,t):u(x,t):坐标为坐标为x x 的点在的点在t t时刻沿垂线方向的位移时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律8波动(bdng)方程的导出第8页/共43页第八页，共43页。建立建立建立建立(jinl)(jinl)方程方程方程方程（1）确定）确定(qudng)物理变量物理变量位移位移(wiy)u(x,t)（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系
9、（建立等式）关系（建立等式）9第9页/共43页第九页，共43页。选取选取(xunq)不包括端点的一微元不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长弦长dx，研究研究(ynji)对象对象:(4)(4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力 ，力密度为：，力密度为：简化简化(jinhu)假设：假设：(1)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2)(2)振幅极小振幅极小,张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，仅很小，仅考虑考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3)(3)弦的重量与
10、张力相比很小，可以忽略。弦的重量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度质量线密度，u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xF10第10页/共43页第十页，共43页。弦的原长：弦的原长：振动振动(zhndng)拉拉伸后：伸后：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF弦长弦长dx，质量，质量(zhling)线密线密度度，B段的质量段的质量(zhling)为为m=dx11第11页/共43页第十一页，共43页。核心等式核心等式(dngsh)关系：关系：牛顿第二(d r)定律F=ma12第12页/共43页第十二页，共43页。沿水平方向沿水平方向(fngxing)，不，不出现平移出现平移受力分析受力
11、分析(fnx)：13u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF（1 1）分竖直和水平分竖直和水平(shupng)方方向考虑向考虑由由（1）式可得弦中各点的张力相等式可得弦中各点的张力相等在微小振动近似下：在微小振动近似下：即张力为常数，记为即张力为常数，记为T第13页/共43页第十三页，共43页。沿竖直沿竖直(sh zh)(sh zh)方方向向14u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF对于对于(duy)(duy)小振动，小振动，有有第14页/共43页第十四页，共43页。15竖直方向上满足牛顿竖直方向上满足牛顿(ni dn)第第二定律：二定律：由前知弦长由前知弦长x(dx），质量，质
12、量(zhling)线密度线密度，质量，质量(zhling)为为m=x第15页/共43页第十五页，共43页。综合综合综合综合(zngh)(zngh)前式，有前式，有前式，有前式，有 上式即为通过核心等式关系建立(jinl)的研究对象u(x,t)所满足的方程式。（3）对等式进行化简得到(d do)最终方程（泛定方程）16第16页/共43页第十六页，共43页。其中其中(qzhng)令令x0，得到，得到(d do)（2 2）（2）式即为弦的自由）式即为弦的自由(zyu)横振动方程（齐次方程）。横振动方程（齐次方程）。17第17页/共43页第十七页，共43页。若有外力作用在弦上，方向垂直于若有外力作用在
13、弦上，方向垂直于x轴，设其力密度为轴，设其力密度为F（x，t），由于），由于(yuy)弦段很小，其上各点外力近似相弦段很小，其上各点外力近似相等，故该段所受外力为等，故该段所受外力为18此时此时(c sh)竖直方向上的牛顿第二定律为竖直方向上的牛顿第二定律为同样同样(tngyng)利用前面关系代换，有利用前面关系代换，有第18页/共43页第十八页，共43页。两边两边(lingbin)约去约去x，并令，并令x0，得到，得到其中其中(qzhng)（3 3）（3）式为弦的强迫振动）式为弦的强迫振动(zhndng)方程（非齐次方方程（非齐次方程）。程）。19第19页/共43页第十九页，共43页。波动波
14、动(bdng)方程可统一表方程可统一表示为：示为：20类似可得到二维波动方程类似可得到二维波动方程(fngchng)（薄膜振动）（薄膜振动）和三维波动方程和三维波动方程(fngchng)（电磁波、声波的传播）：（电磁波、声波的传播）：其中其中为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子(sun z)，f=0时为齐次方程，时为齐次方程，f0时为非齐次方程。时为非齐次方程。第20页/共43页第二十页，共43页。热传导方程热传导方程(fngchng)(fngchng)热传导现象：系统的温度热传导现象：系统的温度(wnd)u(x,y,z,t)不均不均匀时，将出现热量从温度匀时，将出现热量从温度(wnd)高处到温度高处
15、到温度(wnd)低处的流动，叫热传导。低处的流动，叫热传导。21建立建立(jinl)方程方程（1）确定物理变量）确定物理变量温度温度u(x,t)（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）关系（建立等式）第21页/共43页第二十一页，共43页。核心核心(hxn)等式：等式：22xx1x2xA横截面积为横截面积为A的均匀细杆，杆长的均匀细杆，杆长方向有温差方向有温差(wnch)，侧面绝热。，侧面绝热。热量热量(rling)守恒守恒第22页/共43页第二十二页，共43页。假设假设 t时间时间(shjin)内内 x温度升高，则温度升高，则其中其中c为
16、比热容（即单位质量为比热容（即单位质量(zhling)升高单位温度所升高单位温度所需热量），需热量），m为质量为质量(zhling)。23xx1x2xA第23页/共43页第二十三页，共43页。Q流动热量满足傅立叶实验流动热量满足傅立叶实验(shyn)定律：定律：物体在无穷小时段物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积内流过一个无穷小面积(min j)ds的热量的热量dQ与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面ds法线方向导数法线方向导数成正比。成正比。其中其中k为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常数，取数，取“-”是因为热量流向与温度梯度方向是因为热量流
17、向与温度梯度方向(fngxing)相反（温度梯度方向相反（温度梯度方向(fngxing)指温度指温度变化方向变化方向(fngxing)，指向标量场增长最快的方向，指向标量场增长最快的方向(fngxing)）。）。24第24页/共43页第二十四页，共43页。则则t时间时间(shjin)内由内由ox轴正向流入的热量轴正向流入的热量为为25xx1x2xA而而t时间时间(shjin)内由内由ox轴正向流出的轴正向流出的热量为热量为第25页/共43页第二十五页，共43页。由核心由核心(hxn)等式有等式有26xx1x2xA（4 4）（4）式即为一维齐次热传导方程）式即为一维齐次热传导方程(fngchng
18、)（其中（其中a2=k/cp)。第26页/共43页第二十六页，共43页。若杆内部有热源，设热源密度若杆内部有热源，设热源密度F（x，t）（单位时间）（单位时间(shjin)内单位体积放出热量）。内单位体积放出热量）。27（5 5）（5）式即为一维非齐次热传导方程）式即为一维非齐次热传导方程(fngchng)。第27页/共43页第二十七页，共43页。同理有二维（薄片同理有二维（薄片(bo pin)）及三维热传导方程）及三维热传导方程28第28页/共43页第二十八页，共43页。热传导方程可统一热传导方程可统一(tngy)表示为：表示为：29其中其中为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子(sun z)，f=0
19、时为齐次方程，时为齐次方程，f0时为非齐次方程。时为非齐次方程。（注：扩散情况也满足（注：扩散情况也满足(mnz)此方程，此时为扩散此方程，此时为扩散方程，方程，u为浓度。）为浓度。）第29页/共43页第二十九页，共43页。泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程(fngchng)(fngchng)或拉普拉或拉普拉或拉普拉或拉普拉斯方程斯方程斯方程斯方程(fngchng)(fngchng)前两类方程的特例，稳定(wndng)场情况，即u不随时间变化。（6）式即为拉普拉斯方程(fngchng)。（6 6）（7）式为非齐次拉普拉斯方程或泊松方程。（7 7）30第30页/共43页第三十页，共43页。1.2
20、1.2 定解条件定解条件(tiojin)(tiojin)前面的方程前面的方程(fngchng)反映了同一类物理过程（泛定方程反映了同一类物理过程（泛定方程(fngchng)）。）。为了(wi le)得到物理（数学）上的唯一确定解，需要引入定解条件。定解条件=初始条件+边界条件（注：有时还需要其他条件，如不同媒质界面处衔接条件，物理（注：有时还需要其他条件，如不同媒质界面处衔接条件，物理上的合理性条件等。）上的合理性条件等。）31 物理上，某个具体过程还与初始状态和边界上的约物理上，某个具体过程还与初始状态和边界上的约束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，束情况相关；数学上，当变量个
21、数大于方程个数的时候，方程没有唯一确定的解。方程没有唯一确定的解。第31页/共43页第三十一页，共43页。初始初始(ch sh)时刻的温度分布：时刻的温度分布：B B、热传导方程、热传导方程(fngchng)(fngchng)的初始条件的初始条件C C、泊松方程、泊松方程(fngchng)(fngchng)和拉普拉斯方程和拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的初始条件的初始条件初始条件初始条件=无（描述稳定状态，与无（描述稳定状态，与t无关）无关）A A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点
22、的初速度（一）（一）初始条件初始条件32第32页/共43页第三十二页，共43页。和和 是空间是空间(kngjin)坐标坐标的函数的函数例：例：33注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布(fnb)(fnb)，而不是一点处的情况。，而不是一点处的情况。一根长为一根长为l的弦，两端的弦，两端(lin dun)固定于固定于0和和l。在中点位置将。在中点位置将弦沿着横向拉开距离弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。出初始条件。l x l/2h解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始时
23、刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有初始位移初始位移第33页/共43页第三十三页，共43页。（二）边界条件（二）边界条件 定义定义(dngy)(dngy)：系统的物理量始终在边界上具有的：系统的物理量始终在边界上具有的情况。情况。A.A.第一类边界条件第一类边界条件即直接即直接(zhji)(zhji)给出系统边界上物理量的函数形式。给出系统边界上物理量的函数形式。直接直接(zhji)给给出边界值出边界值34常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：第34页/共43页第三十四页，共43页。弦振动方程：端点弦振动方程：端点(dun din)位位置已知置已知
24、和和35如：两端如：两端(lin dun)固定的弦振动固定的弦振动第35页/共43页第三十五页，共43页。36热传导方程：端点热传导方程：端点(dun din)温度温度已知已知如：两端如：两端(lin dun)温度恒定的热传导温度恒定的热传导第36页/共43页第三十六页，共43页。37泊松方程（拉普拉斯方程）：边界泊松方程（拉普拉斯方程）：边界(binji)上函数上函数值已知值已知（注：由于（注：由于(yuy)与与t无关，故边界上函数值确定）无关，故边界上函数值确定）第37页/共43页第三十七页，共43页。B.B.第二类边界条件第二类边界条件给出待求函数在边界给出待求函数在边界(binji)上
25、的导数值上的导数值38弦振动方程：边界张力沿垂直方向弦振动方程：边界张力沿垂直方向(fngxing)分量已知分量已知热传导方程热传导方程(fngchng)：边界上的热流量：边界上的热流量已知已知泊松方程（拉普拉斯方程）：边界上函数的导数泊松方程（拉普拉斯方程）：边界上函数的导数 值已知值已知第38页/共43页第三十八页，共43页。C.C.第三类边界条件第三类边界条件给出待求函数及其方向导数给出待求函数及其方向导数(do sh)在边界上的线性组合值在边界上的线性组合值39弦振动弦振动(zhndng)方程：方程：热传导方程热传导方程(fngchng)：泊松方程（拉普拉斯方程）：泊松方程（拉普拉斯方
26、程）：第39页/共43页第三十九页，共43页。注：边界条件齐次与非齐次说明注：边界条件齐次与非齐次说明(shumng)(shumng)前述所有前述所有(suyu)类型边界条件中，当类型边界条件中，当u1(t)=u2(t)=0时，称齐次边界条件，否则为时，称齐次边界条件，否则为非齐次边界条件。非齐次边界条件。40第40页/共43页第四十页，共43页。定解问题定解问题(wnt)=(wnt)=泛定方程泛定方程+定解定解条件条件具体具体(jt)可分为：可分为：41泛定方程泛定方程(fngchng)+初始条件初始条件=初值问题初值问题（柯西问题）（柯西问题）泛定方程泛定方程+边界条件边界条件=边值问题边值问题泛定方程泛定方程+初始条件初始条件+边界条件边界条件=混合问题混合问题第41页/共43页第四十一页，共43页。本章本章(bn zhn)(bn zhn)小结小结泛定方程泛定方程(fngchng)42定解条件定解条件(tiojin)定解问题定解问题波动方程波动方程热传导方程热传导方程泊松方程（拉普拉斯方程）泊松方程（拉普拉斯方程）初始条件初始条件边界条件边界条件初值问题初值问题边值问题边值问题混合问题混合问题一类一类二类二类三类三类+=第42页/共43页第四十二页，共43页。43感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第43页/共43页第四十三页，共43页。