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1、数理统计数理统计(sh l tn j)1第一页，共50页。请将手机设置成静音请将手机设置成静音(jn yn)状态状态第1页/共50页第二页，共50页。教学教学教学教学(jio xu)(jio xu)安排：安排：安排：安排：参考书参考书 1、应用应用(yngyng)概率统计（工程硕士）概率统计（工程硕士）陈魁陈魁 清华大学出版社清华大学出版社3、数理统计、数理统计(sh l tn j)赵选民赵选民等等 科学出版社科学出版社共共 45 学时学时2、“数理统计数理统计”汪荣鑫汪荣鑫 西安交通大学出版社西安交通大学出版社第2页/共50页第三页，共50页。内内 容容第一第一(dy)讲讲 概率论的基本概念
2、概率论的基本概念 随机随机(su j)变（向）量及其分布变（向）量及其分布第二第二(d r)讲讲 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 数字特征及其特征函数数字特征及其特征函数大数定理及中心极限定理大数定理及中心极限定理概概率率论论第3页/共50页第四页，共50页。第三第三(d sn)讲讲 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第四、五讲第四、五讲 参数估计参数估计第六讲第六讲 假设检验假设检验数数理理统统计计(sh l tn j)第九讲第九讲 方差分析方差分析 第七、八讲第七、八讲 回归回归(hugu)分析分析第十讲第十讲 正交实验设计法正交实验设计法第4页/共50页第五页，共50页。自然界和
3、社会(shhu)上发生的现象是多种多样的：1 确定性现象：在一定条件(tiojin)下必然发生。2随机(不确定)现象：在个别试验(shyn)中其结果呈现出不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。绪言第5页/共50页第六页，共50页。研究(ynji)对象：概率论与数理统计是研究(ynji)随机现象统计 起源(qyun)：16-17世纪的赌博和保险业。特点：研究(ynji)随机现象。规律性的一门数学学科。它与其它数学分支有紧密的联系(如高数、线性代数)，是近代数学的重要组成部分。第6页/共50页第七页，共50页。应用性强：遍及(bin j)所有的科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个
4、部门中，如：气象、水文(shuwn)、地震预报；自动控制；农业试验；通讯系统中可提高(t go)信息的抗干扰性和分辨率等。第7页/共50页第八页，共50页。第一章 随机(su j)事件及其概率1.1.随机随机(su j)(su j)事件事件2.2.随机随机(su j)(su j)事件的概事件的概率率3.3.条件概率条件概率4.4.事件的独立性事件的独立性5.5.全概率公式全概率公式6.6.逆概率公式逆概率公式第8页/共50页第九页，共50页。1 随机(su j)事件一、随机一、随机(su j)(su j)试试验验 可以相同情况(qngkung)下重复地进行；结果具有多种可能性；试验前不能确定会
5、出现哪种情况,但可以知道具有以下三个特点的试验称为随机试验：所有可能出现的结果。第9页/共50页第十页，共50页。E1:抛一枚硬币，观察(gunch)出现正反面情况。E2:将一枚硬币(yngb)连抛三次，观察出现正反面结果。HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTTE3:抛一骰子,观察(gunch)出现点数情况。(筛子,投子)1，2，3，4，5，6H,T例如例如11，2 2，3 3 E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。t|t0E4:对一目标射击,首次击中目标所需射击次数。第10页/共50页第十一页，共50页。二、随机二、随机(su j)事件与样本空间事件与样本空间定义
6、定义(dngy):样本样本(yngbn)点点,随机试验随机试验 的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为 E 的的 样本空间样本空间,记为记为 样本空间样本空间 的元素的元素,即即 的每个结果，称为的每个结果，称为第11页/共50页第十二页，共50页。基本基本(jbn)(jbn)事件事件:只包含只包含(bohn)(bohn)一个样本点的事件。一个样本点的事件。必然必然(brn)(brn)事件事件:在每次试验中总是发生。在每次试验中总是发生。不可能事件不可能事件:在每次试验中都不发生。在每次试验中都不发生。简称简称事件事件，记为记为试验试验 的样本空间的样本空间 的的子集子集，称
7、为，称为随机事件随机事件。复合事件：复合事件：若干个基本事件组合而成的事件。若干个基本事件组合而成的事件。第12页/共50页第十三页，共50页。是是 的子集的子集(z j).三、事件(shjin)的关系与运算包含包含(bohn)关系：关系：设试验设试验E 的样本空间为的样本空间为 ，B包含包含A，记为记为相等关系相等关系：事件的和（并）：事件的和（并）：事件的积（交）：事件的积（交）：或或 AB.第13页/共50页第十四页，共50页。推广：有限多个、无限推广：有限多个、无限(wxin)多个事件的交、并多个事件的交、并可列个事件可列个事件(shjin)的并的并可列个事件可列个事件(shjin)的
8、积的积n个事件至少有一个发生个事件至少有一个发生n个事件同时发生个事件同时发生第14页/共50页第十五页，共50页。事件事件(shjin)的差：的差：互不相容互不相容(xin rn)(互斥互斥)：与与 不能同时发生不能同时发生的事件的事件对立对立(dul)事件事件(互逆互逆)：若：若 且且则称则称A,B为对立事件，记为为对立事件，记为第15页/共50页第十六页，共50页。事件(shjin)的运算律 1.1.交换律交换律2.2.结合律结合律3.3.分配律分配律4.4.德德.摩根律摩根律 第16页/共50页第十七页，共50页。例例1 1 设设 表示三个事件表示三个事件,试表示下列事件试表示下列事件
9、(1)(1)与与 都发生都发生 (2)(2)与与 发生发生,不发生不发生(3)(3)与与 至少有一个发生至少有一个发生(4)(4)与与 全不发生全不发生(5)(5)与与 至少有两个发生至少有两个发生第17页/共50页第十八页，共50页。事件是事件是 的某些的某些子集子集，如果把，如果把 “是事件是事件”这些这些子集归集在一起，则得到一个类，记作子集归集在一起，则得到一个类，记作 F,称作事件称作事件域，即域，即 前面提到必然事件，不可能事件是事件，又前面提到必然事件，不可能事件是事件，又讨论事件间的运算讨论事件间的运算 如果如果A,B 是事件，自然要求是事件，自然要求即事件域即事件域 F 关于
10、运算关于运算 是封闭的是封闭的四四 、事件、事件(shjin)(shjin)域域也是事件，属于也是事件，属于F,第18页/共50页第十九页，共50页。定义(dngy)1 事件域F 应满足以下要求则称集合则称集合(jh)(jh)类类F F 为为则称集合则称集合(jh)(jh)类类F F 为为第19页/共50页第二十页，共50页。若事件域若事件域 F F 是是 它具有下列性质它具有下列性质 第20页/共50页第二十一页，共50页。注意：在古典概型中，事件域 F 可以是 的一切子集的全体。在几何概型中，就不能把不可(bk)度 量的子集作为事件。不可(bk)测集不能作为事件。对古典概型而言，事件域是一
11、个布尔代数对古典概型而言，事件域是一个布尔代数(b(b r di sh)r di sh)，即对，即对并交，补等的有限运算次数是封闭的。并交，补等的有限运算次数是封闭的。对几何概型而言，事件域是一个对几何概型而言，事件域是一个 代数，即对代数，即对并交，补等的并交，补等的可数次运算可数次运算是封闭的。是封闭的。第21页/共50页第二十二页，共50页。例如(lr)：1、2、3、是 由的一切子集构成(样本空间是有限集)5、无穷次独立抛掷(pozh)硬币的空间4、对于一般的 ，若 由的 一切子集构成 由此可见，事件域可以很简单(jindn)，也可以选得十分复杂，我们要根据问题的不同要求选择适当的事件域
12、第22页/共50页第二十三页，共50页。1.频率定义 设 E，S，A为E中某一事件，在相同(xin tn)条件下做n次试验(shyn)，事件A发生的次数为，则称为(chn wi)A的频率。(frequency)2.频率频率性质性质：01五、概率的公理化定义五、概率的公理化定义若两两互不相容有限可加性有限可加性第23页/共50页第二十四页，共50页。例：在例：在“抛硬币抛硬币(yngb)”试验中，据表格得出试验中，据表格得出 频率(pnl)有随机波动性，每次试验频率(pnl)不一定相等;大数大数(d sh)定理证明定理证明 稳定性 n充分大时，称为事件A的概率概率(probability)，记为
13、频率有什么规律？试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005第24页/共50页第二十五页，共50页。上面定义的频率(pnl)可以这样重新理解：设随机(su j)试验 E 的样本空间为 S，记F=“全体随机(su j)事件”则频率fn(A)实际上是集合函数：fn：F0,1AF这个集合函数具有重要性质。第25页/共50页第二十六页，共50页。定义定义 设设 E,S，对于，对于(duy)E的每一事件的每一事件A，赋予一实数，赋予一实数，如果(rgu)满足以下三个公理：非负性：对于每一个事件 A，有0 归一性：
14、可列可加性：设两两互不相容则则称为事件为事件(shjin)A 的的概率。概率。概率三公理概率三公理3 3、概率（概率的公理化定义）、概率（概率的公理化定义）第26页/共50页第二十七页，共50页。通常(tngchng)在 F 有定义上的非负的 可列可加的集函数可列可加的集函数(hnsh)称作是称作是 F 上的测度。如长度，上的测度。如长度，面面积，体积是测度。而概率不过是事件域积，体积是测度。而概率不过是事件域 F上的一个规上的一个规范化的测度。即范化的测度。即概率概率(gil)(gil)是定义在是定义在 F F 上的非负的上的非负的 规范的，可列可加的集函数称作是规范的，可列可加的集函数称作
15、是 F 上的测度。上的测度。第27页/共50页第二十八页，共50页。描述一个随机实验的数学模型，应该描述一个随机实验的数学模型，应该(ynggi)(ynggi)有三件东有三件东西：西：(1)(1)样本空间样本空间 ；(2)(2)事件事件(shjin)(shjin)域域()F ()F；(3)(3)概率概率(gil)(F(gil)(F上的规范测度）上的规范测度）P P。三者写成三者写成称为一个概率空间。称为一个概率空间。在实际问题中，如何确定样本空间在实际问题中，如何确定样本空间 ，如何选取，如何选取事件域事件域F,如何在如何在F 上定义概率上定义概率P P要视具体情况而定，要视具体情况而定，但在
16、一般的理论研究中，总认为是预先给定的。但在一般的理论研究中，总认为是预先给定的。第28页/共50页第二十九页，共50页。概率概率(gil)的性质的性质(2)若若 是两两互不相容的事件，则是两两互不相容的事件，则推论推论(tuln)(tuln)：第29页/共50页第三十页，共50页。(4)(4)对于任一事件对于任一事件 ,(5)(5)对于任意对于任意(rny)(rny)的事件的事件A,B,A,B,都有都有 三个事件三个事件(shjin)(shjin)的情形的情形第30页/共50页第三十一页，共50页。例2 某人外出(wi ch)两天,第一天下雨的概率为0.6，第二天下(tinxi)雨的概率为0.
17、3,两天都下雨的概率为0.1,求(1)第一天下雨而第二天不下雨的概率(gil)；(2)至少有一天下雨的概率；(3)两天都不下雨的概率；(4)至少有一天不下雨的概率。解第31页/共50页第三十二页，共50页。第32页/共50页第三十三页，共50页。1 定义(dngy)引例：取一副牌，随机地取一张(1)问抽中的是K的概率(2)若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率解 (1)六、条件六、条件(tiojin)(tiojin)概率概率B抽中的是K第33页/共50页第三十四页，共50页。(2)A抽中的是红桃(hn to)B抽中的是K定义(dngy)条件(tiojin)概率分析：即求第34页/共50页第三十
18、五页，共50页。2 条件(tiojin)概率的性质条件概率满足概率公理化定义中的三个条件。3.(可列可加性)设是两两互不相容的事件则第35页/共50页第三十六页，共50页。得得推广推广(tugung)3.乘法(chngf)公式由由第36页/共50页第三十七页，共50页。例例3.3.一批零件(ln jin)共100件,其中有10件次品,从中任取一个(y)(不放回),再取一个(y),试求“第一次取得次品(cpn)且第二次取得正品”的概率解:设 =“第一次取得次品”=“第二次取得正品”第37页/共50页第三十八页，共50页。例例4.4.一批零件共100件,其中(qzhng)有10件次品,每次从其中(
19、qzhng)取一个(y)零件,取后不放回。试求：若依次抽取(chu q)3次,求第3次才抽到合格品的概率 “第 次抽到合格品”解:设1)第38页/共50页第三十九页，共50页。4.4.全概率全概率(gil)(gil)公式公式定理(dngl)为 的一个划分,设随机试验 的样本空间为 为 的任意一事件,第39页/共50页第四十页，共50页。例例5.5.设某工厂甲,乙,丙,3个车间(chjin)同一种产品,产量依次(yc)占全厂的 1/2,1/4,1/4,且各车间的次品(cpn)率分别为0.01,0.01,0.02。现在从待出厂的产品中任取1件,求取到的为次品的概率。解 分别表示该次品是由甲乙丙车间
20、生产 设 =“任取一件产品为次品”第40页/共50页第四十一页，共50页。引例(yn l)2311红4白?任取一箱子(xing zi)，再从 中任取一球,发现(fxin)是红球，求该球取自一号箱的概率.解 设=“球取自 号箱”=“取得红球”求 运用全概率公式 计算已知“结果”求“原因”贝叶斯公式 第41页/共50页第四十二页，共50页。5 5、贝叶斯公式、贝叶斯公式(gngsh)(gngsh)则为 的一个划分,设随机试验 的样本空间为 ,第42页/共50页第四十三页，共50页。例例6 6 设某工厂甲乙(ji y),丙 3个车间同一种产品,产量且各车间(chjin)的次品率为现在(xinzi)从
21、待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大.解分别表示该次品是由甲乙丙车间生产 则依次占全厂的1/2,1/4,1/4,0.01,0.01,0.02。设 =“任取一件产品为次品”第43页/共50页第四十四页，共50页。甲甲,丙车间丙车间(chjin)(chjin)生生产的可能性最大产的可能性最大由贝叶斯公式由贝叶斯公式(gngsh)(gngsh)第44页/共50页第四十五页，共50页。7 事件(shjin)的独立性定义定义(dngy)(dngy)设 是两个事件,如果如下等式成立则称事件 相互独立。第45页/共50页第四十六页，共50页。多个多个(du)(du)事件的事件的
22、独立性独立性若下面等式若下面等式(dngsh)(dngsh)同时成立同时成立实质实质:任何事件发生的概率都不受其它任何事件发生的概率都不受其它(qt)(qt)事件发事件发 生与否的影响生与否的影响两两独立两两独立相互独立相互独立第46页/共50页第四十七页，共50页。推广到推广到n 个事件个事件(shjin)的独立性定义的独立性定义,可类似写出：可类似写出：包含包含(bohn)等式总数等式总数为：为：都且有等式都且有等式(dngsh):则称则称 n 个事件相互独立个事件相互独立第47页/共50页第四十八页，共50页。推论推论(tuln):1)若若相互独立相互独立,则其中任意则其中任意(rny)
23、k 个事件个事件也相互也相互(xingh)独立独立.2)则其中任意则其中任意 k 个事件个事件的对立事件与其它的事件组成的的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相个事件也相互独立互独立.3)将事件将事件分成分成k组（不重不漏），设组（不重不漏），设分别由第分别由第 第48页/共50页第四十九页，共50页。抽签抽签(chu qin)问题问题 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签只好用抽签(chu qin)的方法来解决的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片(kpin)，只有一张上写有，只有一张上写有“入场券入场券”，其余的什么也没写，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.“先抽的人当然先抽的人当然(dngrn)要比后抽的人抽到的机会大要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？第49页/共50页第五十页，共50页。