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1、会计学1数学概念教学数学概念教学(jio xu)艺术艺术第一页，共53页。索引索引(suyn)n n数学概念数学概念n n概念教学概念教学n n案例案例(n l)分析分析第1页/共53页第二页，共53页。概念概念(ginin)的地位的地位 在数学中，作为一般在数学中，作为一般(ybn)(ybn)的思维形式的判断与推理，以定的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。而数学概念则是构成它们的基础。第2页/共53页第三页，共53页。数学数学(shxu)概念概念 数学概念数学概念数学概念数学概念(mathematical (m
2、athematical (mathematical (mathematical concepts)concepts)concepts)concepts)是人脑对现实是人脑对现实是人脑对现实是人脑对现实(xinsh)(xinsh)(xinsh)(xinsh)对对对对象的数量关系和空间形式的本质特征象的数量关系和空间形式的本质特征象的数量关系和空间形式的本质特征象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维的一种反映形式，即一种数学的思维的一种反映形式，即一种数学的思维的一种反映形式，即一种数学的思维形式。形式。形式。形式。第3页/共53页第四页，共53页。概念的内涵概念的内涵(
3、nihn)与外延与外延n n概念的内涵概念的内涵n n 对象的对象的“质质”的特征。的特征。n n概念的外延概念的外延(wiyn)n n 对象的对象的“量量”的范围。的范围。第4页/共53页第五页，共53页。概念概念(ginin)间的属种关系间的属种关系 属种关系，是指一个概属种关系，是指一个概念的部分外延念的部分外延(wiyn)(wiyn)与另与另一个概念的全部外延一个概念的全部外延(wiyn)(wiyn)重合的关系。其中，重合的关系。其中，外延外延(wiyn)(wiyn)大的概念叫属大的概念叫属概念，或上位概念；外延概念，或上位概念；外延(wiyn)(wiyn)小的概念叫种概念，小的概念叫
4、种概念，或下位概念。或下位概念。AB第5页/共53页第六页，共53页。定义定义(dngy)n n数学概念一般以定义的形式来表达。数学概念一般以定义的形式来表达。n n定义，就是用简洁明确的语言定义，就是用简洁明确的语言(yyn)(yyn)对事对事物的本质特征作概括说明。物的本质特征作概括说明。n n用符号来表示，是表达数学概念的一种独特用符号来表示，是表达数学概念的一种独特方式，它简约、明确，从而增强了科学性。方式，它简约、明确，从而增强了科学性。第6页/共53页第七页，共53页。下定义下定义n n必须抓住被定义事物的基本属性和本质特征。必须抓住被定义事物的基本属性和本质特征。n n把被定义的
5、概念放在一个大的概念中，把被定义的概念放在一个大的概念中，再再加上对其本质特征进行描述加上对其本质特征进行描述(mio sh)(mio sh)的限的限制制 。n n基本格式：基本格式：（种概念）是（种概念）是（种（种差）的差）的（属概念）。（属概念）。n n也常常倒过来，用短句表达。也常常倒过来，用短句表达。第7页/共53页第八页，共53页。数学数学(shxu)教学教学n n专业知识专业知识n n两个两个(lin)要素要素学科学科(xuk)职业职业理解数学理解数学理解教学理解教学第8页/共53页第九页，共53页。理解理解(lji)数学数学以数列为以数列为例例n n什什么么(shn me)叫叫一
6、一定定顺顺序序？第9页/共53页第十页，共53页。理解理解(lji)教学教学以角的教以角的教学为例学为例第10页/共53页第十一页，共53页。续上续上n n我们是怎么让学生学习角的概我们是怎么让学生学习角的概念的？念的？n n角是数量还是图形？究竟什么角是数量还是图形？究竟什么(shn me)叫做角？叫做角？第11页/共53页第十二页，共53页。概念概念(ginin)教学的一般程序教学的一般程序n n一、创设教学情境，引入概念一、创设教学情境，引入概念n n数学史话、实际问题、知识经数学史话、实际问题、知识经验、实验操作等等验、实验操作等等(dn dn)。n n二、抓住本质属性，辨析概念二、抓
7、住本质属性，辨析概念n n关键词语解释、数学语言翻译、关键词语解释、数学语言翻译、相似概念对比、正反例子体验相似概念对比、正反例子体验等等等等(dn dn)。n n三、精心设计练习，巩固概念三、精心设计练习，巩固概念n n顺用、逆用、变用等等顺用、逆用、变用等等(dn dn)。第12页/共53页第十三页，共53页。概念教学概念教学(jio xu)的几个误区的几个误区n n1 1 1 1、以为背出定义就完事、以为背出定义就完事、以为背出定义就完事、以为背出定义就完事n n记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知对象的本质特征。记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知对象的本质特征
8、。记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知对象的本质特征。记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知对象的本质特征。n n2 2 2 2、以为学生是、以为学生是、以为学生是、以为学生是“一张白纸一张白纸一张白纸一张白纸”n n或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但“原来已有原来已有原来已有原来已有”，教学，教学，教学，教学不能熟视无睹。不能熟视无睹。不能熟视无睹。不能熟视无睹。n n3 3 3 3、以为性质、以为性质、以为性质、以为性质(xng
9、zh)(xngzh)(xngzh)(xngzh)教学不是概念教学教学不是概念教学教学不是概念教学教学不是概念教学n n探究某个对象的性质探究某个对象的性质探究某个对象的性质探究某个对象的性质(xngzh)(xngzh)(xngzh)(xngzh)，其实也是揭示该概念的内涵，而定义只，其实也是揭示该概念的内涵，而定义只，其实也是揭示该概念的内涵，而定义只，其实也是揭示该概念的内涵，而定义只是用是用是用是用“最少的、最本质的特征最少的、最本质的特征最少的、最本质的特征最少的、最本质的特征”来界定概念。来界定概念。来界定概念。来界定概念。第13页/共53页第十四页，共53页。科学性与艺术性科学性与艺
10、术性n n教学是一门科学教学是一门科学n n科学有必然，科学讲规律。科学有必然，科学讲规律。n n教学是一门艺术教学是一门艺术(ysh)n n艺术艺术(ysh)有取向，艺术有取向，艺术(ysh)讲创造。讲创造。n n教学首先是科学，其次是艺术教学首先是科学，其次是艺术(ysh)n n把握本质，追求自然。把握本质，追求自然。第14页/共53页第十五页，共53页。如何如何(rh)做概念教学设计做概念教学设计n n1 1、知道概念的、知道概念的本质本质n n2 2、了解学生、了解学生(xu sheng)(xu sheng)的的认识认识n n3 3、读懂教材的、读懂教材的设计设计n n4 4、确定合适
11、的、确定合适的途径途径n n5 5、设想有效的、设想有效的情境情境n n6 6、选择恰当的、选择恰当的素材素材n n7 7、安排相关的、安排相关的活动活动n n8 8、预设相应的、预设相应的对策对策第15页/共53页第十六页，共53页。概念概念(ginin)教学设计案例教学设计案例n n函数函数n n直线直线(zhxin)的倾斜角与斜率的倾斜角与斜率n n概率概率n n椭圆（教学案例）椭圆（教学案例）第16页/共53页第十七页，共53页。谢谢谢谢(xi xie)大家！大家！n n您的意见是关爱！您的意见是关爱！n n您的建议您的建议(jiny)是帮助！是帮助！吴明华吴明华E-mail:第17页
12、/共53页第十八页，共53页。函数函数(hnsh)的概念的概念n n内涵内涵n n初中初中(chzhng)：对于变量：对于变量x的每一个值，的每一个值，变量变量y都有唯一确定的值与之对应。都有唯一确定的值与之对应。n n高中：从数集高中：从数集A到数集到数集B的映射。的映射。n n外延外延n n一次函数、二次函数一次函数、二次函数n n指数函数、对数函数指数函数、对数函数第18页/共53页第十九页，共53页。等差数列等差数列(dn ch sh li)n n想一想：种概念？属概念？种想一想：种概念？属概念？种差？差？n n试一试：用一个试一试：用一个(y)单句单句表示。表示。第19页/共53页第
13、二十页，共53页。案例案例(n l)一：函数一：函数第20页/共53页第二十一页，共53页。函数函数(hnsh)实例实例1第21页/共53页第二十二页，共53页。函数函数(hnsh)实例实例2第22页/共53页第二十三页，共53页。函数函数(hnsh)实例实例3第23页/共53页第二十四页，共53页。函数函数(hnsh)的定义的定义第24页/共53页第二十五页，共53页。函数概念函数概念(ginin)的教学的教学n n教学的起点在哪里？教学的起点在哪里？n n教学的目标是什么？教学的目标是什么？n n为什么要举这样三个实例？为什么要举这样三个实例？n n有哪些教学的关注点？有哪些教学的关注点？
14、n n后续还需要后续还需要“螺旋螺旋(luxun)上升上升”吗？吗？第25页/共53页第二十六页，共53页。函数概念教学的若干函数概念教学的若干(rugn)问问题题n n起点：初中函数概念起点：初中函数概念n n目标：高中函数概念目标：高中函数概念n n举例：概念内涵的举例：概念内涵的“前体验前体验”，三种类型，三种类型n n关注：关注：初中理解不够；初中理解不够；三要素分析三要素分析(fnx)引导；引导；新概念解析。新概念解析。n n上升：上升：定义后的巩固；定义后的巩固；映射时的比较；映射时的比较；具体函数中的丰富。具体函数中的丰富。第26页/共53页第二十七页，共53页。案例案例(n l
15、)二：直线的倾斜角与二：直线的倾斜角与斜率斜率第27页/共53页第二十八页，共53页。倾斜角的定义倾斜角的定义(dngy)第28页/共53页第二十九页，共53页。确定直线的几何确定直线的几何(j h)要素要素第29页/共53页第三十页，共53页。从倾斜角到斜率从倾斜角到斜率(xil)第30页/共53页第三十一页，共53页。斜率斜率(xil)的定义的定义第31页/共53页第三十二页，共53页。倾斜角与斜率概念倾斜角与斜率概念(ginin)的的教学教学n n教材教材(jioci)的设计有哪些环节？的设计有哪些环节？n n每个环节的意图是什么？每个环节的意图是什么？n n若用教材若用教材(jioci
16、)的设计上课，你有什么的设计上课，你有什么体会？体会？n n若不用教材若不用教材(jioci)的设计，你是怎么上的设计，你是怎么上课的？课的？n n倾斜角与斜率的教学难点是什么？倾斜角与斜率的教学难点是什么？第32页/共53页第三十三页，共53页。倾斜角与斜率概念教学倾斜角与斜率概念教学(jio xu)的若干问题的若干问题n n教材：教材：从两点确定直线讲起，探索确定直从两点确定直线讲起，探索确定直线的几何要素；线的几何要素；研究过定点的直线，感受研究过定点的直线，感受直线的倾斜程度；直线的倾斜程度；定义倾斜角，学习新概定义倾斜角，学习新概念；念；联系斜坡联系斜坡“坡度坡度”，定义斜率。，定义
17、斜率。n n体会：难于处理好，源于找理由。体会：难于处理好，源于找理由。n n观点：其实没必要观点：其实没必要(byo)这么复杂。这么复杂。第33页/共53页第三十四页，共53页。倾斜角与斜率概念教学倾斜角与斜率概念教学(jio xu)设计设计n n1 1、用经过一点的直线来体验直线的倾斜程、用经过一点的直线来体验直线的倾斜程度，感受直线的方向性。度，感受直线的方向性。n n2 2、定义、定义(dngy)(dngy)倾斜角，体会倾斜角的意倾斜角，体会倾斜角的意义。义。n n3 3、问题探究：如何建立倾斜角与直线上点、问题探究：如何建立倾斜角与直线上点的坐标的联系？的坐标的联系？n n4 4、定
18、义、定义(dngy)(dngy)斜率，体会斜率的意义。斜率，体会斜率的意义。第34页/共53页第三十五页，共53页。案例案例(n l)三：概率三：概率第35页/共53页第三十六页，共53页。掷硬币掷硬币(yngb)(yngb)试验试验1 1第36页/共53页第三十七页，共53页。掷硬币掷硬币(yngb)(yngb)试验试验2 2第37页/共53页第三十八页，共53页。掷硬币掷硬币(yngb)(yngb)试验试验3-43-4第38页/共53页第三十九页，共53页。频数频数(pn sh)、频率、频率第39页/共53页第四十页，共53页。计算机模拟计算机模拟(mn)第40页/共53页第四十一页，共5
19、3页。历史历史(lsh)上一些掷硬币的结上一些掷硬币的结果果第41页/共53页第四十二页，共53页。从特殊从特殊(tsh)到一般到一般第42页/共53页第四十三页，共53页。概率概率(gil)的定义的定义第43页/共53页第四十四页，共53页。概率概念概率概念(ginin)的教学的教学n n学生已有的概率概念是什么？学生已有的概率概念是什么？学生已有的概率概念是什么？学生已有的概率概念是什么？n n为什么选择这样的掷硬币试验？为什么选择这样的掷硬币试验？为什么选择这样的掷硬币试验？为什么选择这样的掷硬币试验？n n独立重复独立重复独立重复独立重复(chngf)(chngf)试验，随试验次数的增
20、加：试验，随试验次数的增加：试验，随试验次数的增加：试验，随试验次数的增加：n n 频率稳定在某个常数？频率稳定在某个常数？频率稳定在某个常数？频率稳定在某个常数？n n 频率越来越接近于某个常数？频率越来越接近于某个常数？频率越来越接近于某个常数？频率越来越接近于某个常数？n n 频率趋向于某个常数？频率趋向于某个常数？频率趋向于某个常数？频率趋向于某个常数？n n 频率的极限是某个常数？频率的极限是某个常数？频率的极限是某个常数？频率的极限是某个常数？n n 第44页/共53页第四十五页，共53页。对概率对概率(gil)的理解的理解n n概率的三种定义：古典定义（初中）、统计概率的三种定义
21、：古典定义（初中）、统计定义（高中）、公理化定义。定义（高中）、公理化定义。n n试验试验(shyn)是随机的，很难得到那个是随机的，很难得到那个“常常数数”。用掷硬币试验。用掷硬币试验(shyn)实际是对已知实际是对已知验证。验证。n n从某种意义讲，说从某种意义讲，说“接近接近”、“趋向趋向”、“极限极限”都可以，而说都可以，而说“稳定稳定”最贴切，关最贴切，关键是需要通过辨析体会其实际的含义。键是需要通过辨析体会其实际的含义。第45页/共53页第四十六页，共53页。概率概念概率概念(ginin)(ginin)教学设计教学设计1 1n n一、从学生已有概念说起一、从学生已有概念说起一、从学
22、生已有概念说起一、从学生已有概念说起n n师：在初中我们已经学习过一些师：在初中我们已经学习过一些师：在初中我们已经学习过一些师：在初中我们已经学习过一些(yxi)(yxi)(yxi)(yxi)简单事件（随机事件）的概率。简单事件（随机事件）的概率。简单事件（随机事件）的概率。简单事件（随机事件）的概率。你知道你知道你知道你知道“掷一枚硬币，正面向上掷一枚硬币，正面向上掷一枚硬币，正面向上掷一枚硬币，正面向上”的概率吗？的概率吗？的概率吗？的概率吗？n n生：生：生：生：0.50.50.50.5。（应该知道）。（应该知道）。（应该知道）。（应该知道）n n师：你是怎么得到的？师：你是怎么得到的
23、？师：你是怎么得到的？师：你是怎么得到的？n n学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。n n师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的试验。师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的试验。师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的试验。师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的试验。第46页/共53页第四十七页，共53页。概率概念概率概念(ginin)(ginin)教学设计教学设计2 2n n二、试验及统计二、试验及统计二、试验及统计二、试验及统计n n师：介绍试验操作要求
24、（参见教材）。师：介绍试验操作要求（参见教材）。师：介绍试验操作要求（参见教材）。师：介绍试验操作要求（参见教材）。n n生：个人试验，相互交流，小组统计。生：个人试验，相互交流，小组统计。生：个人试验，相互交流，小组统计。生：个人试验，相互交流，小组统计。n n师生：组长汇报，教师借助师生：组长汇报，教师借助师生：组长汇报，教师借助师生：组长汇报，教师借助ExcelExcel当场统计（分组统计、累加统计）当场统计（分组统计、累加统计）当场统计（分组统计、累加统计）当场统计（分组统计、累加统计）。n n师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。（呈现师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。（呈现
25、师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。（呈现师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。（呈现(chngxin)(chngxin)史料）现在将我们刚才做的试验也史料）现在将我们刚才做的试验也史料）现在将我们刚才做的试验也史料）现在将我们刚才做的试验也“写入历史写入历史写入历史写入历史”，让我们加入伟，让我们加入伟，让我们加入伟，让我们加入伟人行列一起来看看（分组统计、累加统计）。人行列一起来看看（分组统计、累加统计）。人行列一起来看看（分组统计、累加统计）。人行列一起来看看（分组统计、累加统计）。第47页/共53页第四十八页，共53页。概率概率(gil)(gil)概念教学设计概念教学设计3 3n
26、 n三、观察统计结果，辨析直观感受三、观察统计结果，辨析直观感受n n师：从统计结果看，当试验次数增多时，师：从统计结果看，当试验次数增多时，“掷硬币，正面向上掷硬币，正面向上”的频率值有什么变化特的频率值有什么变化特征？征？n n生：观察思考，相互讨论。生：观察思考，相互讨论。n n师生：对话师生：对话(duhu)互动，辨析互动，辨析“稳定稳定”、“接近接近”、“趋向趋向”、“极限极限”等直观感受。等直观感受。（核心：从可能性来讲）（核心：从可能性来讲）第48页/共53页第四十九页，共53页。概率概念概率概念(ginin)(ginin)教学设计教学设计4 4n n四、定义概率，顺应建构四、定
27、义概率，顺应建构n n师：事实上，我们已经知道师：事实上，我们已经知道(zh do)“(zh do)“掷掷硬币，正面向上硬币，正面向上”的概率是的概率是0.50.5，以上的试，以上的试验可以看成是一种验证，受此启发，我们获验可以看成是一种验证，受此启发，我们获得了概率的另一种说法。（给出定义）得了概率的另一种说法。（给出定义）n n生：体会概念含义。生：体会概念含义。n n师：两个定义的本质是一致的，对象条件不师：两个定义的本质是一致的，对象条件不同、计算方法不同。同、计算方法不同。第49页/共53页第五十页，共53页。椭圆（教学椭圆（教学(jio xu)案例案例2011）1n n师：谁能说出
28、圆的定义？师：谁能说出圆的定义？师：谁能说出圆的定义？师：谁能说出圆的定义？n n生：？生：？生：？生：？n n师：怎么样？师：怎么样？师：怎么样？师：怎么样？n n生：？生：？生：？生：？n n（后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见（后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见（后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见（后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见(tng jin)(tng jin)）n n师：圆上一点到圆心的距离等于师：圆上一点到圆心的距离等于师：圆上一点到圆心的距离等于师：圆上一点到圆心的距离等于n n生：半径！生：半径！生：半径！生：半径！n n师：平面上，到一个定点的距离
29、等于定长的点的轨迹叫圆。师：平面上，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。师：平面上，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。师：平面上，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。第50页/共53页第五十一页，共53页。椭圆椭圆(tuyun)（教学案例（教学案例2011）2n n师：下面让我们来做实验！师：下面让我们来做实验！n n（课前，师生每人都准备了一条细绳）（课前，师生每人都准备了一条细绳）n n师：将细绳两端重合并固定在纸上一定师：将细绳两端重合并固定在纸上一定(ydng)点，笔尖套在绳圈内，拉紧转一圈，点，笔尖套在绳圈内，拉紧转一圈，观察画出的图形。观察画出的图形。n n生：一个圆
30、！生：一个圆！从开始到这里存在从开始到这里存在(cnzi)(cnzi)的问题：的问题：1 1、初中圆是怎么定义的？、初中圆是怎么定义的？2 2、操作确认的意义何在？、操作确认的意义何在？第51页/共53页第五十二页，共53页。椭圆椭圆(tuyun)（教学案例（教学案例2011）3n n师：下面让我们将细绳的两端分别固定师：下面让我们将细绳的两端分别固定师：下面让我们将细绳的两端分别固定师：下面让我们将细绳的两端分别固定(gdng)(gdng)在两个定点，譬如说这样（演示），在两个定点，譬如说这样（演示），在两个定点，譬如说这样（演示），在两个定点，譬如说这样（演示），同样操作一次，看看得到什么
31、。同样操作一次，看看得到什么。同样操作一次，看看得到什么。同样操作一次，看看得到什么。n n生：（两人合作）一个椭圆！生：（两人合作）一个椭圆！生：（两人合作）一个椭圆！生：（两人合作）一个椭圆！n n师：我们再将细绳拉直，就是这样（演示），能得到椭圆吗？师：我们再将细绳拉直，就是这样（演示），能得到椭圆吗？师：我们再将细绳拉直，就是这样（演示），能得到椭圆吗？师：我们再将细绳拉直，就是这样（演示），能得到椭圆吗？n n生：？生：？生：？生：？n n师：（演示）一条线段！师：（演示）一条线段！师：（演示）一条线段！师：（演示）一条线段！n n师：还有，如果两个定点的距离大于绳子的长度，可能吗？师：还有，如果两个定点的距离大于绳子的长度，可能吗？师：还有，如果两个定点的距离大于绳子的长度，可能吗？师：还有，如果两个定点的距离大于绳子的长度，可能吗？n n生：不生：不生：不生：不可可可可能！能！能！能！这里这里(zhl)有问题吗？有问题吗？第52页/共53页第五十三页，共53页。