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1、数学数学(shxu)建模建模线性回归分析线性回归分析第一页，共82页。2023/2/72023/2/72 2一、引言一、引言一、引言一、引言(ynyn)(ynyn)2004 2004年全国数模竞赛的年全国数模竞赛的年全国数模竞赛的年全国数模竞赛的B B题题题题 “电力市场的电力市场的电力市场的电力市场的输电阻塞管理输电阻塞管理输电阻塞管理输电阻塞管理”第一个问题：第一个问题：第一个问题：第一个问题：某电网有某电网有某电网有某电网有8 8台发电机组台发电机组台发电机组台发电机组(jz)(jz)，6 6条主要线路，表条主要线路，表条主要线路，表条主要线路，表1 1和表和表和表和表2 2中的方案中的
2、方案中的方案中的方案0 0给出了各机组给出了各机组给出了各机组给出了各机组(jz)(jz)的当前出力和的当前出力和的当前出力和的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案各线路上对应的有功潮流值，方案各线路上对应的有功潮流值，方案各线路上对应的有功潮流值，方案132132给出了给出了给出了给出了围绕方案围绕方案围绕方案围绕方案0 0的一些实验数据，试用这些数据确的一些实验数据，试用这些数据确的一些实验数据，试用这些数据确的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组定各线路上有功潮流关于各发电机组定各线路上有功潮流关于各发电机组定各线路上有功潮流关于各发电机组(jz)(jz)出力
3、的出力的出力的出力的近近近近似表达式。似表达式。似表达式。似表达式。第1页/共81页第二页，共82页。2023/2/72023/2/73 3表1 各机组出力(ch l)方案（单位：兆瓦，记作MW）方案方案机组机组123 4 5 6780120731808012512581.1901133.02731808012512581.1902129.63731808012512581.1903158.77731808012512581.1904145.32731808012512581.190512078.5961808012512581.190612075.451808012512581.190712
4、090.4871808012512581.190812083.8481808012512581.190912073231.398012512581.1901012073198.488012512581.1901112073212.648012512581.1901212073190.558012512581.190131207318075.85712512581.190141207318065.95812512581.190151207318087.25812512581.190161207318097.82412512581.190171207318080150.7112581.190第2页
5、/共81页第三页，共82页。2023/2/72023/2/74 4181207318080141.5812581.190191207318080132.3712581.190201207318080156.9312581.190211207318080125138.8881.190221207318080125131.2181.190231207318080125141.7181.190241207318080125149.2981.19025120731808012512560.5829026120731808012512570.9629027120731808012512564.85490
6、28120731808012512575.5299029120731808012512581.1104.8430120731808012512581.1111.2231120731808012512581.198.09232120731808012512581.1120.44第3页/共81页第四页，共82页。2023/2/72023/2/75 5表2 各线路的潮流值（各方案(fng n)与表1相对应，单位：MW）方案方案线路线路1234560164.78140.87-144.25119.09135.44157.691165.81140.13-145.14118.63135.37160.7621
7、65.51140.25-144.92118.7135.33159.983167.93138.71-146.91117.72135.41166.814166.79139.45-145.92118.13135.41163.645164.94141.5-143.84118.43136.72157.226164.8141.13-144.07118.82136.02157.57165.59143.03-143.16117.24139.66156.598165.21142.28-143.49117.96137.98156.969167.43140.82-152.26129.58132.04153.6101
8、65.71140.82-147.08122.85134.21156.2311166.45140.82-149.33125.75133.28155.0912165.23140.85-145.82121.16134.75156.7713164.23140.73-144.18119.12135.57157.214163.04140.34-144.03119.31135.97156.3115165.54141.1-144.32118.84135.06158.26第4页/共81页第五页，共82页。2023/2/72023/2/76 624167.69138.07-144.14119.19137.1115
9、7.6525162.21141.21-144.13116.03135.5154.2626163.54141-144.16117.56135.44155.9327162.7141.14-144.21116.74135.4154.8828164.06140.94-144.18118.24135.4156.6829164.66142.27-147.2120.21135.28157.6530164.7142.94-148.45120.68135.16157.6331164.67141.56-145.88119.68135.29157.6132164.69143.84-150.34121.34135.1
10、2157.6416166.88141.4-144.34118.67134.67159.2817164.07143.03-140.97118.75133.75158.8318164.27142.29-142.15118.85134.27158.3719164.57141.44-143.3119134.88158.0120163.89143.61-140.25118.64133.28159.1221166.35139.29-144.2119.1136.33157.5922165.54140.14-144.19119.09135.81157.6723166.75138.95-144.17119.15
11、136.55157.59第5页/共81页第六页，共82页。2023/2/72023/2/77 7 仔细分析题目，可以发现，该问题就是要找仔细分析题目，可以发现，该问题就是要找出各线路上有功潮流与出各线路上有功潮流与8 8台发电机出力的函数关台发电机出力的函数关系，这在数学上是一个函数拟合问题。系，这在数学上是一个函数拟合问题。对函数拟合，可以采用线性函数，也可以采对函数拟合，可以采用线性函数，也可以采用非线性函数，比如多项式函数，三角函数用非线性函数，比如多项式函数，三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)，指，指数函数等等。在给出具体问题的具体数据时，首数函数等等。在给出具体问题的具
12、体数据时，首先想到的还是最简单的方法下手，采用最简单的先想到的还是最简单的方法下手，采用最简单的函数去拟合，也就是线性函数来表达。函数去拟合，也就是线性函数来表达。1、模型(mxng)的分析第6页/共81页第七页，共82页。2023/2/72023/2/78 8 由电网的拓扑结构，线路由电网的拓扑结构，线路由电网的拓扑结构，线路由电网的拓扑结构，线路(xinl)(xinl)上的有功上的有功上的有功上的有功潮流由机潮流由机潮流由机潮流由机组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路
13、(xinl)(xinl)上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性拟合，从而得到各线路拟合，从而得到各线路拟合，从而得到各线路拟合，从而得到各线路(xinl)(xinl)有功潮流关于各有功潮流关于各有功潮流关于各有功潮流关于各发电机发电机发电机发电机组出力的近似表达式。组出力的近似表达式。组出力的近似表达式。组出力的近似
14、表达式。第7页/共81页第八页，共82页。2023/2/72023/2/79 92 2、模型的建立、模型的建立、模型的建立、模型的建立(jinl)(jinl)与与与与求解求解求解求解第8页/共81页第九页，共82页。2023/2/72023/2/71010 根据表根据表根据表根据表1 1 1 1和表和表和表和表2 2 2 2围绕围绕围绕围绕(wiro)(wiro)(wiro)(wiro)方案方案方案方案0 0 0 0的的的的1-321-321-321-32组实验组实验组实验组实验数数数数据，可以列出关于未知数的据，可以列出关于未知数的据，可以列出关于未知数的据，可以列出关于未知数的323232
15、32个方程的方程个方程的方程个方程的方程个方程的方程组，利用组，利用组，利用组，利用SASSASSASSAS或或或或MatlabMatlabMatlabMatlab编程求解方程组，得编程求解方程组，得编程求解方程组，得编程求解方程组，得第9页/共81页第十页，共82页。2023/2/72023/2/71111还需要根据样本还需要根据样本还需要根据样本还需要根据样本(yngbn)(yngbn)值运用假设检验来判值运用假设检验来判值运用假设检验来判值运用假设检验来判断，断，断，断，以确定求得的回归方程是否有价值。以确定求得的回归方程是否有价值。以确定求得的回归方程是否有价值。以确定求得的回归方程是
16、否有价值。在许多国际国内数学建模竞赛中，都有可能(knng)用到回归分析。因此，我们介绍线性回归分析的基本原理，对模型好坏的评价指标，可线性化的回归分析，利用统计软件的实现等具体问题。第10页/共81页第十一页，共82页。2023/2/72023/2/71212二、回归二、回归二、回归二、回归(hugu)(hugu)分分分分析方法析方法析方法析方法回归分析是研究一个或一组变量（因变量，回归分析是研究一个或一组变量（因变量，回归分析是研究一个或一组变量（因变量，回归分析是研究一个或一组变量（因变量，结果结果结果结果）与另一些变量（自变量或回归变量，）与另一些变量（自变量或回归变量，）与另一些变量
17、（自变量或回归变量，）与另一些变量（自变量或回归变量，原因原因原因原因）之间的依存关系之间的依存关系之间的依存关系之间的依存关系(gun x)(gun x)。在回归模型中，若变量之间的关系在回归模型中，若变量之间的关系在回归模型中，若变量之间的关系在回归模型中，若变量之间的关系(gun x)(gun x)是线性关是线性关是线性关是线性关系系系系(gun x)(gun x)，称为线性回归模型，否则，称为非线性，称为线性回归模型，否则，称为非线性，称为线性回归模型，否则，称为非线性，称为线性回归模型，否则，称为非线性回归模型。回归模型。回归模型。回归模型。当自变量只有一个，称为一元线性回归，当自变
18、量只有一个，称为一元线性回归，当自变量只有一个，称为一元线性回归，当自变量只有一个，称为一元线性回归，如果自变量如果自变量如果自变量如果自变量有多个，称为多元线性回归。有多个，称为多元线性回归。有多个，称为多元线性回归。有多个，称为多元线性回归。第11页/共81页第十二页，共82页。2023/2/72023/2/713131 1 1 1、一元、一元、一元、一元(y yun)(y yun)(y yun)(y yun)线性回归线性回归线性回归线性回归一元线性回归一元线性回归一元线性回归一元线性回归(hugu)(hugu)(hugu)(hugu)模模模模型为型为型为型为满足(mnz)第12页/共81
19、页第十三页，共82页。2023/2/72023/2/71414一元(y yun)线性回归第13页/共81页第十四页，共82页。2023/2/72023/2/71515则令正规(zhnggu)方程组一元(y yun)线性回归第14页/共81页第十五页，共82页。2023/2/72023/2/71616整理整理整理整理(zhn(zhngl)gl)得得得得一元(y yun)线性回归第15页/共81页第十六页，共82页。2023/2/72023/2/71717其中其中其中其中(q(q(q(qzhzhzhzhng)ng)ng)ng)，参数(cnsh)的最小二乘估计一元(y yun)线性回归第16页/共8
20、1页第十七页，共82页。2023/2/72023/2/71818称作y关于x的一元(y yun)经验回归方程。一元(y yun)线性回归第17页/共81页第十八页，共82页。2023/2/72023/2/71919一元(y yun)线性回归第18页/共81页第十九页，共82页。2023/2/72023/2/72020一元(y yun)线性回归第19页/共81页第二十页，共82页。2023/2/72023/2/721212 2 2 2、多元、多元、多元、多元(du yun)(du yun)(du yun)(du yun)线性回归线性回归线性回归线性回归模型模型模型模型(mxng)(mxng)(m
21、xng)(mxng)为：为：为：为：第20页/共81页第二十一页，共82页。2023/2/72023/2/72222多元(du yun)线性回归第21页/共81页第二十二页，共82页。2023/2/72023/2/72323令令令令多元(du yun)线性回归注意(zh y)：矩阵X的第一列全是 1.第22页/共81页第二十三页，共82页。2023/2/72023/2/72424则（6）可用矩阵(j zhn)表达为多元(du yun)线性回归第23页/共81页第二十四页，共82页。2023/2/72023/2/72525对应(duyng)正规方程组为 在X不是列满秩时，其解虽然不唯一，但对任意
22、(rny)一组解都使得残差平方和最小。多元(du yun)线性回归第24页/共81页第二十五页，共82页。2023/2/72023/2/72626多元(du yun)线性回归关于多重共线性的知识(zh shi)请参阅韩中庚数学建模方法及其应用。第25页/共81页第二十六页，共82页。2023/2/72023/2/72727 当当当当 p=1 p=1 p=1 p=1 时，多元线性回归就变成一元时，多元线性回归就变成一元时，多元线性回归就变成一元时，多元线性回归就变成一元(y(y(y(y yun)yun)yun)yun)线性回归分析了，这时参数的求解和误差的方线性回归分析了，这时参数的求解和误差的
23、方线性回归分析了，这时参数的求解和误差的方线性回归分析了，这时参数的求解和误差的方差的无偏估计与一元差的无偏估计与一元差的无偏估计与一元差的无偏估计与一元(y yun)(y yun)(y yun)(y yun)得到的结论是一样的，得到的结论是一样的，得到的结论是一样的，得到的结论是一样的，类似地也有经验回归平面方程。类似地也有经验回归平面方程。类似地也有经验回归平面方程。类似地也有经验回归平面方程。多元(du yun)线性回归第26页/共81页第二十七页，共82页。2023/2/72023/2/728283 3 3 3、回归、回归、回归、回归(hugu)(hugu)(hugu)(hugu)模型
24、的假设模型的假设模型的假设模型的假设检验检验检验检验 在许多实际问题中，我们事先并不能断定在许多实际问题中，我们事先并不能断定在许多实际问题中，我们事先并不能断定在许多实际问题中，我们事先并不能断定因变量与自变量之间是否确有线性关系，而前因变量与自变量之间是否确有线性关系，而前因变量与自变量之间是否确有线性关系，而前因变量与自变量之间是否确有线性关系，而前面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只是一种假设，尽管是一种假设，尽管是一种假设，尽管是一种假设，尽管(jn gun)(
25、jn gun)(jn gun)(jn gun)这种假设常常不这种假设常常不这种假设常常不这种假设常常不是没有根据的。这就意味，所求得的经验回归是没有根据的。这就意味，所求得的经验回归是没有根据的。这就意味，所求得的经验回归是没有根据的。这就意味，所求得的经验回归方程是否有实用价值，需要经过假设检验才能方程是否有实用价值，需要经过假设检验才能方程是否有实用价值，需要经过假设检验才能方程是否有实用价值，需要经过假设检验才能确定。确定。确定。确定。第27页/共81页第二十八页，共82页。2023/2/72023/2/72929主要从以下几个方面主要从以下几个方面主要从以下几个方面主要从以下几个方面(
26、fngmin)(fngmin)(fngmin)(fngmin)进行检验：进行检验：进行检验：进行检验：a、回归方程的检验(jinyn)；b、回归系数的检验(jinyn)；c、回归好坏程度的度量。第28页/共81页第二十九页，共82页。2023/2/72023/2/73030a a a a、回归方程的检验、回归方程的检验、回归方程的检验、回归方程的检验(jinyn)(jinyn)(jinyn)(jinyn)是否全为零。若全为零，则认为线性回归不是否全为零。若全为零，则认为线性回归不是否全为零。若全为零，则认为线性回归不是否全为零。若全为零，则认为线性回归不显著，否则认为线性回归显著。为此，在上显
27、著，否则认为线性回归显著。为此，在上显著，否则认为线性回归显著。为此，在上显著，否则认为线性回归显著。为此，在上述模型述模型述模型述模型(mxng)(mxng)(mxng)(mxng)中作假设中作假设中作假设中作假设 要检验（6）的变量间有没有这种线性关系，只要(zhyo)检验p个系数第29页/共81页第三十页，共82页。2023/2/72023/2/73131考虑考虑考虑考虑(kol)(kol)总偏差平方和，利用正规方程组，总偏差平方和，利用正规方程组，总偏差平方和，利用正规方程组，总偏差平方和，利用正规方程组，有有有有为了构造(guzo)检验统计量，记经验(jngyn)回归方程回归方程的检
28、验第30页/共81页第三十一页，共82页。2023/2/72023/2/73232回归方程的检验(jinyn)第31页/共81页第三十二页，共82页。2023/2/72023/2/73333 它是由自变量它是由自变量它是由自变量它是由自变量X X X X的取值变化且通过线性回的取值变化且通过线性回的取值变化且通过线性回的取值变化且通过线性回归模型对归模型对归模型对归模型对y y y y的影响的影响的影响的影响(yngxing)(yngxing)(yngxing)(yngxing)所构成的所构成的所构成的所构成的误差平方和。误差平方和。误差平方和。误差平方和。它是由随机误差和其他未加控制的因素(
29、yn s)所引起的误差平方和。回归方程的检验(jinyn)第32页/共81页第三十三页，共82页。2023/2/72023/2/73434回归方程的检验(jinyn)第33页/共81页第三十四页，共82页。2023/2/72023/2/73535构造检验(jinyn)统计量为回归方程的检验(jinyn)第34页/共81页第三十五页，共82页。2023/2/72023/2/73636相应(xingyng)的检验法则为：回归方程的检验(jinyn)第35页/共81页第三十六页，共82页。2023/2/72023/2/73737不全为零，但这并不意味着每个自变量可能会起重要(zhngyo)作用，而有
30、的可能起的作用不大或者不起作用。因此(ync)，在通过前面的线性回归模型的检验，回归方程的检验(jinyn)第36页/共81页第三十七页，共82页。2023/2/72023/2/73838还有必要从线性回归还有必要从线性回归还有必要从线性回归还有必要从线性回归(hugu)(hugu)模型中剔除那些次要模型中剔除那些次要模型中剔除那些次要模型中剔除那些次要的、的、的、的、可有可无的自变量，只保留(boli)那些起重要作用的自变量，以从新建立(jinl)更为简练的线性回归模型，使之有利于实际应用。回归方程的检验第37页/共81页第三十八页，共82页。2023/2/72023/2/73939b b
31、b b、回归系数的检验、回归系数的检验、回归系数的检验、回归系数的检验(jinyn)(jinyn)(jinyn)(jinyn)检验(jinyn)假设第38页/共81页第三十九页，共82页。2023/2/72023/2/74040下面的任务是选取检验下面的任务是选取检验下面的任务是选取检验下面的任务是选取检验(jinyn)(jinyn)(jinyn)(jinyn)统计量。统计量。统计量。统计量。由（7）所以(suy)，回归系数的检验(jinyn)第39页/共81页第四十页，共82页。2023/2/72023/2/74141则可以(ky)证明注意：矩阵 C的下标(xi bio)都是从0开始的！回归
32、系数的检验(jinyn)第40页/共81页第四十一页，共82页。2023/2/72023/2/74242回归系数的检验(jinyn)第41页/共81页第四十二页，共82页。2023/2/72023/2/74343 如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个回归系如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个回归系如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个回归系如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个回归系数的检验结果都为显著时，说明各个自变量对因变量的数的检验结果都为显著时，说明各个自变量对因变量的数的检验结果都为显著时，说明各个自变量对因变量的数的检验结果都为显著时，说明各个自变量对因变量的单纯影响单
33、纯影响单纯影响单纯影响(yngxing)(yngxing)(yngxing)(yngxing)都是显著的。都是显著的。都是显著的。都是显著的。若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明其对应若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明其对应若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明其对应若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明其对应的自变量在回归方程中是不重要的，此时应该剔除。的自变量在回归方程中是不重要的，此时应该剔除。的自变量在回归方程中是不重要的，此时应该剔除。的自变量在回归方程中是不重要的，此时应该剔除。回归系数的检验(jinyn)第42页/共81页第四十三页，共82页。2023/2/7202
34、3/2/74444在对变量在对变量在对变量在对变量(binling)(binling)(binling)(binling)进行剔除进行剔除进行剔除进行剔除时，需要注意：时，需要注意：时，需要注意：时，需要注意：1 1 1 1）一次只能剔除一个不显著的回归）一次只能剔除一个不显著的回归）一次只能剔除一个不显著的回归）一次只能剔除一个不显著的回归(hugu)(hugu)(hugu)(hugu)系数对应系数对应系数对应系数对应的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所有不显著的回归有不显著的
35、回归有不显著的回归有不显著的回归(hugu)(hugu)(hugu)(hugu)系数中的系数中的系数中的系数中的tttt值最小者。值最小者。值最小者。值最小者。2 2 2 2）重新进行少一个自变量的多元线性回归）重新进行少一个自变量的多元线性回归）重新进行少一个自变量的多元线性回归）重新进行少一个自变量的多元线性回归(hugu)(hugu)(hugu)(hugu)分分分分析。析。析。析。回归系数的检验(jinyn)第43页/共81页第四十四页，共82页。2023/2/72023/2/74545 前面说的是剔除变量，也会有变量因素考虑不周的情况，这时应该考虑引入新的变量，那么(n me)如何引入
36、新的变量？对于模型(mxng)的选择，目前普遍采用的是逐步回归法。也即，每引入一个变量，要进行逐个检验，将不显著的变量剔除。详细情况请参阅韩中庚数学建模方法(fngf)及其应用第九章。回归系数的检验第44页/共81页第四十五页，共82页。2023/2/72023/2/74646c c c c、复相关系数、复相关系数、复相关系数、复相关系数 对一个回归方程来说，即使对一个回归方程来说，即使对一个回归方程来说，即使对一个回归方程来说，即使(jsh)(jsh)(jsh)(jsh)回归显著，回归显著，回归显著，回归显著，但还但还但还但还涉及到回归好坏程度的度量。对于一个因变量涉及到回归好坏程度的度量。
37、对于一个因变量涉及到回归好坏程度的度量。对于一个因变量涉及到回归好坏程度的度量。对于一个因变量和一组自变量之间相关程度，则要采用的复相关和一组自变量之间相关程度，则要采用的复相关和一组自变量之间相关程度，则要采用的复相关和一组自变量之间相关程度，则要采用的复相关系数来度量。系数来度量。系数来度量。系数来度量。研究一个变量与多个变量的线性相关称为复研究一个变量与多个变量的线性相关称为复研究一个变量与多个变量的线性相关称为复研究一个变量与多个变量的线性相关称为复相关分析。相关分析。相关分析。相关分析。第45页/共81页第四十六页，共82页。2023/2/72023/2/74747 复相关系数定义(
38、dngy)为复相关系数第46页/共81页第四十七页，共82页。2023/2/72023/2/74848但是复相关系数也有一些缺点(qudin)。当采用的自变量自变量的引入可能(knng)是多余的。为了更准确地反映参数个数的影响(yngxing)，采用调整的复相关系数第47页/共81页第四十八页，共82页。2023/2/72023/2/749494 4 4 4、预测、预测、预测、预测(yc)(yc)(yc)(yc)如果经检验如果经检验如果经检验如果经检验(jinyn)(jinyn)(jinyn)(jinyn)，认为线性回归方程是可信，认为线性回归方程是可信，认为线性回归方程是可信，认为线性回归方
39、程是可信的，而且拟合的又好，那么接下来就要用它进行预的，而且拟合的又好，那么接下来就要用它进行预的，而且拟合的又好，那么接下来就要用它进行预的，而且拟合的又好，那么接下来就要用它进行预测。测。测。测。时对y做区间(q jin)估计，即以一定的置信度预测y的观察值的取值范围，也即y的预测区间。第48页/共81页第四十九页，共82页。2023/2/72023/2/75050预测(yc)第49页/共81页第五十页，共82页。2023/2/72023/2/75151因而(yn r)其中(qzhng)此时(c sh)预测第50页/共81页第五十一页，共82页。2023/2/72023/2/75252预测
40、(yc)第51页/共81页第五十二页，共82页。2023/2/72023/2/75353预测(yc)第52页/共81页第五十三页，共82页。2023/2/72023/2/75454三、可线性化的一元三、可线性化的一元三、可线性化的一元三、可线性化的一元(y yun)(y yun)(y yun)(y yun)非线性回归非线性回归非线性回归非线性回归模型模型模型模型 上面主要讲的是线性回归，而对于上面主要讲的是线性回归，而对于上面主要讲的是线性回归，而对于上面主要讲的是线性回归，而对于(duy)(duy)(duy)(duy)一一一一元回归，非线性回归的情形也是很常见的，对这元回归，非线性回归的情形
41、也是很常见的，对这元回归，非线性回归的情形也是很常见的，对这元回归，非线性回归的情形也是很常见的，对这些问题做回归就是曲线回归。些问题做回归就是曲线回归。些问题做回归就是曲线回归。些问题做回归就是曲线回归。配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下：量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下：量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下：量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下：先画出观察值的散点图，通过与常见的函数曲线先画出观察值的散点图，通
42、过与常见的函数曲线先画出观察值的散点图，通过与常见的函数曲线先画出观察值的散点图，通过与常见的函数曲线对比，经验的选择曲线类型。对比，经验的选择曲线类型。对比，经验的选择曲线类型。对比，经验的选择曲线类型。常见的是下面六类曲线：常见的是下面六类曲线：常见的是下面六类曲线：常见的是下面六类曲线：第53页/共81页第五十四页，共82页。2023/2/72023/2/75555（1 1 1 1）双曲线）双曲线）双曲线）双曲线 可线性化的一元(y yun)非线性回归模型第54页/共81页第五十五页，共82页。2023/2/72023/2/75656（2 2 2 2）幂函数曲线）幂函数曲线）幂函数曲线）
43、幂函数曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第55页/共81页第五十六页，共82页。2023/2/72023/2/75757（3 3 3 3）指数）指数）指数）指数(zhsh)(zhsh)(zhsh)(zhsh)曲线：曲线：曲线：曲线：可线性化的一元(y yun)非线性回归模型第56页/共81页第五十七页，共82页。2023/2/72023/2/75858（4 4 4 4）倒指数）倒指数）倒指数）倒指数(zhsh)(zhsh)(zhsh)(zhsh)曲线：曲线：曲线：曲线：可线性化的一元(y yun)非线性回归模型第57页/共81页第五十八
44、页，共82页。2023/2/72023/2/75959（5 5 5 5）对数）对数）对数）对数(du(du(du(du sh)sh)sh)sh)曲线：曲线：曲线：曲线：可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第58页/共81页第五十九页，共82页。2023/2/72023/2/76060（6 6 6 6）S S S S型曲线型曲线型曲线型曲线(qxin)(qxin)(qxin)(qxin)：可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第59页/共81页第六十页，共82页。2023/2/72023/2/76161设有模型(mxng)线性回归(hugu)模型：实验数据(shj)按上面的变量代换算出可线
45、性化的一元非线性回归模型第60页/共81页第六十一页，共82页。2023/2/72023/2/76262再按前面的线性回归公式(gngsh)计算参数估计，得当y与x适合(shh)模型可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第61页/共81页第六十二页，共82页。2023/2/72023/2/76363 其他几种曲线都可通过其他几种曲线都可通过其他几种曲线都可通过其他几种曲线都可通过(tnggu)(tnggu)(tnggu)(tnggu)适当的变量代换转化适当的变量代换转化适当的变量代换转化适当的变量代换转化为线性回归模型。这类回归模型就称为可线性化的一元为线性回归模型。这类回归模型就称为可线性
46、化的一元为线性回归模型。这类回归模型就称为可线性化的一元为线性回归模型。这类回归模型就称为可线性化的一元非线性回归模型。非线性回归模型。非线性回归模型。非线性回归模型。表面上看，该模型比上面的模型简单，然而它却无法(wf)化成线性回归，因为它是所谓本质上非线性的模型。可线性化的一元(y yun)非线性回归模型 值得注意的是，并非所有的曲线回归问题都可线性化，例如 第62页/共81页第六十三页，共82页。2023/2/72023/2/76464 多项式回归的处理方法和前面的曲线回归类似，通过多项式回归的处理方法和前面的曲线回归类似，通过多项式回归的处理方法和前面的曲线回归类似，通过多项式回归的处
47、理方法和前面的曲线回归类似，通过(tnggu)(tnggu)(tnggu)(tnggu)变量转换化成多元线性回归来解决。变量转换化成多元线性回归来解决。变量转换化成多元线性回归来解决。变量转换化成多元线性回归来解决。对于(duy)一元m次多项式回归，可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第63页/共81页第六十四页，共82页。2023/2/72023/2/76565因此可以用前面的方法解决(jiju)多项式回归问题。二元多项式回归处理方法类似。值得注意的是，随着自变量个数的增加,多元多项式回归分析的计算量急剧增加。因此(ync)，在多项式回归中较为常用的是一元二次多项式回归和一元三次多项式回
48、归。可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第64页/共81页第六十五页，共82页。2023/2/72023/2/76666四、软件应用四、软件应用四、软件应用四、软件应用 解决线性回归问题的常用软件有：Matlab，统计软件SPSS和SAS。SPSS的求解与SAS相同(xin tn)。这里介绍Matlab和SAS的求解方法。第65页/共81页第六十六页，共82页。2023/2/72023/2/767671 1 1 1、线性回归、线性回归、线性回归、线性回归(hugu)(hugu)(hugu)(hugu)的的的的matlabmatlabmatlabmatlab实现实现实现实现 回归分析的求解在
49、回归分析的求解在回归分析的求解在回归分析的求解在MatlabMatlabMatlabMatlab中可用中可用中可用中可用regressregressregressregress实现，其使实现，其使实现，其使实现，其使用用用用(shyng)(shyng)(shyng)(shyng)格式为：格式为：格式为：格式为：其中(qzhng)y 为列向量，表示因变量的取值；X为矩阵，代表自变量的取值；(注意：第一列全是 1)alpha为置信水平，缺省时取 0.05。b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,alpha)第66页/共81页第六十七页，共82页。2023/2/72023/2
50、/76868 当置信区间包含当置信区间包含当置信区间包含当置信区间包含0 0 0 0时，说明该参数时，说明该参数时，说明该参数时，说明该参数(cnsh)(cnsh)(cnsh)(cnsh)未通过未通过未通过未通过T T T T检验，可认为检验，可认为检验，可认为检验，可认为0 0 0 0。r-残差向量(xingling)，取值为 Y-X*b。rint-残差的置信度为1-alpha的置信区间。stats-回归方程的统计量，stats(1)为复相关系数，stats(2)为F值，stats(3)为F值对应的概率值，stats(4)为误差(wch)方差的估计值。线性回归的matlab实现第67页/共8