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1、数学建模常用综合评价数学建模常用综合评价(pngji)方法介绍方法介绍第一页，共102页。第一节 综合评价(pngji)概述一一、综综合合评评价价(pngji)(pngji)的的基基本本概概念念二二、综综合合评评价价(pngji)(pngji)的的一一般般步步骤骤三、综合评价三、综合评价(pngji)(pngji)的局限性的局限性第1页/共102页第二页，共102页。一、综合(zngh)评价的基本概念评价（evaluation）：所谓评价，即价值的确定，是通过对照某些标准来判断测量结果，并赋予这种结果以一定的意义和价值的过程。综合评价（syntheticalevaluation）：对一个复杂系
2、统用多个(du)指标进行总体评价的方法。第2页/共102页第三页，共102页。一、综合(zngh)评价的基本概念综合评价方法：又称为(chn wi)多变量综合评价方法、多指标综合评估技术。综合评价是对一个复杂系统的多个指标信息，应用定量方法（包括数理统计方法），对数据进行加工和提炼，以求得其优劣等级的一种评价方法。第3页/共102页第四页，共102页。一、综合(zngh)评价的基本概念综合评价一般表现为以下几类问题：分类对所研究(ynji)对象的全部个体进行分类；比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。第
3、4页/共102页第五页，共102页。二、综合(zngh)评价的一般步骤 1 1确定确定(qudng)(qudng)综合评价的目的综合评价的目的 2 2确定确定(qudng)(qudng)评价指标和评价指标评价指标和评价指标体系体系 3 3确定确定(qudng)(qudng)各个评价指标的权重各个评价指标的权重 4.4.求单个指标的评价值求单个指标的评价值5.5.求综合评价值求综合评价值第5页/共102页第六页，共102页。1.指标(zhbio)的选取筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响(yngxing)，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力
4、又相互独立的指标组成评价指标体系。系统分析法（System review）和文献资料分析优选法是常用的评价指标筛选法。第6页/共102页第七页，共102页。1.指标(zhbio)的选取1.同向化处理将逆指标转换为正指标的方法通常有：转换为对应的正指标，如中间消耗率增加值率；倒数法：X1/X对于适度指标，通常根据(gnj)实际值与适度值（K）的差距的倒数1（1|X-K|）。2.无量纲化处理第7页/共102页第八页，共102页。2.权数的确定(qudng)方法 按权数的表现形式分为：绝对数权数；比重权数。通常采用比重权数归一化权数。按确定(qudng)权数的方法分为：主观赋权法；客观赋权法。第8页
5、/共102页第九页，共102页。2.权数的确定(qudng)方法主观赋权法德尔菲法（专家法）实际上各个专家可以根据自己的理解(lji)选择不同的方法相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价指标排序，再将相邻指标的重要性进行比较层次分析法（）互反式两两比较构权法。第9页/共102页第十页，共102页。2.权数的确定(qudng)方法权数的特性（指主观权数、人工权数）权数的特性（指主观权数、人工权数）重要性重要性权数是一种重要性程度的量化值。权数是一种重要性程度的量化值。指对合成值的影响程度大小。重要性本身是个指对合成值的影响程度大小。重要性本身是个综合的概念，表现在多个方面，如可以是综合的概念，表
6、现在多个方面，如可以是“价价值判断取向值判断取向”上的重要性，也可以是合成时上的重要性，也可以是合成时“分辨能力（信息含量）高低分辨能力（信息含量）高低”的重要性，或的重要性，或“可靠度大小可靠度大小”的重要性。的重要性。模糊性模糊性重要性本身就是个模糊的概念；习重要性本身就是个模糊的概念；习惯取点值。人工性惯取点值。人工性没有绝对没有绝对(judu)(judu)的正的正确错误标准；只能尽可能选择相对科学合理的确错误标准；只能尽可能选择相对科学合理的权数。权数。主观性主观性受评权者主观意识的影响受评权者主观意识的影响第10页/共102页第十一页，共102页。2.权数的确定(qudng)方法客观
7、(kgun)赋权法从指标的统计性质来考虑，它是由客观(kgun)数据决定。客观(kgun)定权法包括模糊定权法、秩和比法、熵权法和相关系数法等第11页/共102页第十二页，共102页。3.合成(hchng)方法合成方法 由单项评价值(jizh)计算综合评价值(jizh)的方法。1、算术平均法（加法合成、加减法合成）2、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）3.混合合成法第12页/共102页第十三页，共102页。3.合成(hchng)方法 1、加权算术平均法的主要特点（1）对于数据的要求最宽松，用于合成的某一指标数值可以为0、为负；（2）各指标可以相互补偿（等量补偿），即此升彼降，总的评价值不变；（
8、3）突出(t ch)了评价分数较大、权数较大者的作用，适用于主因素突出(t ch)性的评价；（对较大数值的变动更为敏感）。第13页/共102页第十四页，共102页。3.合成(hchng)方法2 2、几何平均法的主要特点、几何平均法的主要特点（1 1）对数据要求较高，指标数值不能为）对数据要求较高，指标数值不能为0 0、负数，、负数，（2 2）鼓鼓励励被被评评价价对对象象在在各各方方面面全全面面发发展展(fzhn)(fzhn)，任任一一方方也也不不能能偏偏废废。此此合合成成方方法法督督促促“全全面面发发展展(fzhn)”(fzhn)”，而不是靠重点倾斜的方法取胜；，而不是靠重点倾斜的方法取胜；（
9、3 3）乘乘除除法法容容易易拉拉开开评评价价档档次次，对对较较小小数数值值的的变动更敏感。变动更敏感。第14页/共102页第十五页，共102页。三、综合(zngh)评价的局限性综综综综合合合合评评评评价价价价方方方方法法法法很很很很多多多多，各各各各种种种种方方方方法法法法得得得得出出出出的的的的结结结结果果果果不不不不可可可可能能能能完完完完全全全全相相相相同同同同，并且都带有一定的相对性和局限性。并且都带有一定的相对性和局限性。并且都带有一定的相对性和局限性。并且都带有一定的相对性和局限性。（1 1）将将将将若若若若干干干干个个个个指指指指标标标标数数数数值值值值综综综综合合合合成成成成一
10、一一一个个个个数数数数值值值值，损损损损失失失失了了了了原原原原有有有有指指指指标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；（2 2）主主主主观观观观性性性性很很很很强强强强，选选选选择择择择什什什什么么么么指指指指标标标标、选选选选择择择择多多多多少少少少指指指指标标标标，权权权权数数数数的分配都很主观；的分配都很主观；的分配都很主观；的分配都很主观；（3 3）评评评评价价价价的的的的结结结结果果果果不不不不具具具具有有有有惟惟惟惟一一一一性性性性。选选
11、选选择择择择不不不不同同同同的的的的方方方方法法法法，可可可可能能能能有有有有不不不不同同同同的的的的结结结结果果果果，即即即即使使使使(jsh)(jsh)采采采采用用用用同同同同样样样样的的的的方方方方法法法法，由由由由于于于于各各各各指指指指标标标标的的的的赋赋赋赋值值值值不不不不同同同同、权权权权重重重重不不不不同同同同等等等等，也也也也有有有有可可可可能能能能使使使使评评评评价价价价结结结结果果果果不同。不同。不同。不同。第15页/共102页第十六页，共102页。第二节 常用(chn yn)综合评价方法一、计分法一、计分法二、综合指数法二、综合指数法二、二、TopsisTopsis法法
12、三、秩和比三、秩和比(RSR)(RSR)法法四、层次分析四、层次分析(AHP)(AHP)法法五、模糊五、模糊(m hu)(m hu)评价方法评价方法六、多元统计分析方法六、多元统计分析方法七、灰色系统评价方法七、灰色系统评价方法第16页/共102页第十七页，共102页。一、计分(j fn)法1.1.综合计分法综合计分法根据评价目的根据评价目的(md)(md)及评价对象的特征选定必要的评价指标及评价对象的特征选定必要的评价指标逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值表示逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值表示以恰当的方式确定各评价指标的权数以恰当的方式确定各评价指标的权数选定累计总分的方
13、案以及综合评价等级的总分值范围，以此为准则，对评价选定累计总分的方案以及综合评价等级的总分值范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价，以决定优劣取舍对象进行分析和评价，以决定优劣取舍特点：简便易行，过于粗糙。特点：简便易行，过于粗糙。第17页/共102页第十八页，共102页。一、计分(j fn)法2.排队计分(j fn)法将评价单位的各项评价指标依优劣秩序排队，再将名次（位置）转化为单项评价值，最后由单项评价值计算各单位的综合评价值（总分）。第18页/共102页第十九页，共102页。排队(pi du)计分法的优缺点优点：简便易行，勿须另寻比较(bjio)标准；各单项评价值有统一的值域；适用范
14、围广泛（可用于定序以上层次的数据）缺点：原始数据信息的损失较大。第19页/共102页第二十页，共102页。二、综合(zngh)指数法一个或一组变量对某特定变量值大小的相对一个或一组变量对某特定变量值大小的相对数称指数，反映某一事物或现象动态变化的数称指数，反映某一事物或现象动态变化的指数称个体指数，综合指数称个体指数，综合(zngh)反映多种事反映多种事物或现象动态平均变化程度的指数称总指数，物或现象动态平均变化程度的指数称总指数，综合综合(zngh)指数编制总指数的基本计算形指数编制总指数的基本计算形式，定量地对某现象进行综合式，定量地对某现象进行综合(zngh)评价评价的方法称综合的方法称
15、综合(zngh)指数法指数法第20页/共102页第二十一页，共102页。个体个体(gt)指数的计算：指数的计算：高优指标的个体高优指标的个体(gt)指数指数p，为实测值，为实测值X与标准值与标准值M的商的商pX/M 低优指标的个体低优指标的个体(gt)指数指数 pM/X综合指数综合指数I较为较为(jio wi)复杂，没有统一的表达形复杂，没有统一的表达形式，常见的有加权求和，算术平均，乘积法等式，常见的有加权求和，算术平均，乘积法等二、综合指数法第21页/共102页第二十二页，共102页。Ki为单项评价(pngji)指数：综合评价(pngji)指数公式为：评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。
16、但必须同向化。一般是把逆指标转化为正指标采用倒数(do sh)法，此时，综合评价指数才是越大越好。二、综合指数(zhsh)法（举例：加权指数(zhsh)法）第22页/共102页第二十三页，共102页。指标名称计量单位全 国标准数权数报告期指标值甲地区乙地区丙地区（甲）（乙）（1）（2）（3）（4）（5）社会总成本增加值社会总成本利税率社会劳动生产率商品流通费用率积累效果系数元/百元元/百元万元/人45202155030252551546252.2163548262.4183845211.81428试比较三个地区试比较三个地区(dq)的综合经济效益。的综合经济效益。二、综合(zngh)指数法第2
17、3页/共102页第二十四页，共102页。三个地区三个地区(dq)的综合经济效益指数分别的综合经济效益指数分别为：为：=110.31%=116.67%=99.11%二、综合(zngh)指数法第24页/共102页第二十五页，共102页。三、Topsis法TOPSISTOPSIS（Technique for order preference by similarity Technique for order preference by similarity toto ideal ideal solutionsolution）法，即逼近理想解排序法，意为与理想方案相似性的顺）法，即逼近理想解排序法，意
18、为与理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。方法。它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示方案（分别用最优向量和最劣向量表示(biosh)(biosh)），然后分别计算），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。第
19、25页/共102页第二十六页，共102页。1.设有设有n个评价个评价(pngji)对象、对象、m个评价个评价(pngji)指指标，原始数据可写为矩阵标，原始数据可写为矩阵X(Xij)nm 2.对高优、低优指标分别对高优、低优指标分别(fnbi)进行同向化、归一化进行同向化、归一化变换变换 三、Topsis法第26页/共102页第二十七页，共102页。3.归一化得到矩阵归一化得到矩阵(j zhn)Z(Zij)nm，其各列最大、，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为最小值构成的最优、最劣向量分别记为Z(Zmax1 Zmax2 Zmaxm)Z(Zmin1 Zmin2 Zminm)4.第第i
20、个评价个评价(pngji)对象与最优、最劣方案的距离分对象与最优、最劣方案的距离分别为别为5.第第i个评价对象与最优方案的接近个评价对象与最优方案的接近(jijn)程度程度Ci为为 三、Topsis法第27页/共102页第二十八页，共102页。例例4 某儿童医院某儿童医院19941998年年7项指标的实际项指标的实际(shj)值，值，用用Topsis法比较该医院这法比较该医院这5年的医疗质量年的医疗质量 年份出院人数病床使用率平均住院日病死率抢救成功率治愈好转率院内感染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.0
21、19962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.6三、Topsis法第28页/共102页第二十九页，共102页。变换变换(binhun)后，得到矩阵后，得到矩阵 平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标(zhbio)，其余为高优指标，其余为高优指标(zhbio)，同向化、归一，同向化、归一化变换化变换 三、Topsis法第29页/共102页第三十页，共102页。计算各列最大、最小值构成计算各列最大、最小值构成(guchn
22、g)的最优、最劣向的最优、最劣向量分别为量分别为 Z(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4487 0.5612)Z(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)三、Topsis法计算计算(j sun)各年与最优、最劣向量的距离（以各年与最优、最劣向量的距离（以94年为例）年为例）C10.2497/(0.62890.2497)0.2842计算(j sun)接近程度（以94年为例）第30页/共102页第三十一页，共102页。年份D+D-Ci排序19940.62890.24970.2842319950.56
23、400.27540.3281219960.53690.15140.2200519970.51410.17620.2552419980.24940.63020.71641可以看出可以看出(kn ch)，1998 年综合效益最好，其次为年综合效益最好，其次为 1995年，随后为年，随后为 1994年、年、1997年，年，1996 年最差年最差 三、Topsis法第31页/共102页第三十二页，共102页。四、秩和比(RSR)法是利用秩和比RSR（Rank-sum ratio）进行统计分析的一组方法。RSR是一个内涵较为丰富(fngf)的综合性指标，具有01连续变量的特征，它以非参数分析方法为基础，
24、通过指标数（列）、分组数（行）作秩的转换，再运用参数分析的概念和方法研究RSR的分布，解决多指标综合评价问题。第32页/共102页第三十三页，共102页。设有设有mm个指标个指标(zhbio)(zhbio)，对，对n n组数据进行评价，组数据进行评价，形成形成n n行行mm列的数据阵，则各行，列的数据阵，则各行，其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小RSR=1/nRSR=1/n，最大，最大RSR=1RSR=1。四、秩和比(RSR)法第33页/共102页第三十四页，共102页。分别对要评价的各项指标(zhbio)进行编秩计算各指标(zhbio)的秩和比（RSR）
25、确定RSR的分布求回归方程排序分档四、秩和比(RSR)法第34页/共102页第三十五页，共102页。采用秩和比法对某病区护士的4项考核指标进行综合评价业务考试成绩（X1）操作(cozu)考核结果（X2）科内测评（X3）工作量考核（X4）四、秩和比(RSR)法第35页/共102页第三十六页，共102页。第一步，分别对要评价第一步，分别对要评价(pngji)(pngji)的各项指标进行编秩的各项指标进行编秩遇相等评分时，取平均遇相等评分时，取平均(pngjn)(pngjn)等级。等级。四、秩和比(RSR)法第36页/共102页第三十七页，共102页。第二步，计算第二步，计算(j sun)(j su
26、n)各指标的秩和比（各指标的秩和比（RSRRSR）其中：m为指标(zhbio)个数，n为分组数，Ri为各指标(zhbio)的秩次，RSR值即为多指标(zhbio)的平均秩次，其值越大越优四、秩和比(RSR)法第37页/共102页第三十八页，共102页。四、秩和比(RSR)法第38页/共102页第三十九页，共102页。四、秩和比(RSR)法第三步，确定第三步，确定RSRRSR的分布的分布RSRRSR频数频数ff累积频数累积频数 秩号范围秩号范围(fnwi)(fnwi)平均秩次平均秩次 累积频率累积频率YY（概率单位）。（概率单位）。Y Y为为RSRRSR的累积频率对应的概率单位值，的累积频率对应
27、的概率单位值，Y=u+5Y=u+5，uu标准正态分布的上分位点（标准正态分布的上分位点（=/n/n）第39页/共102页第四十页，共102页。四、秩和比(RSR)法RSR值正态性检验(jinyn)：Z=0.4772，双侧检验(jinyn)P=0.9767，说明RSR值呈正态分布第40页/共102页第四十一页，共102页。第四步，求回归方程：RSR=A+BY经相关和回归分析(fnx)，应变量RSR 与自变量概率单位Y之间具有线性相关（r=0.9528）线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232F=59.078，P=0.0002说明所求线性回归方程有统计学意义四、秩和比(RSR)法第41
28、页/共102页第四十二页，共102页。第五步，根据第五步，根据RSRRSR值排序分档值排序分档最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有显著性。最佳分最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有显著性。最佳分档准则为每档至少档准则为每档至少2 2例，尽量多分几组。最佳分档步骤，首先例，尽量多分几组。最佳分档步骤，首先(shuxin)(shuxin)进行方差一致性检验，在方差一致的前提下，再作统进行方差一致性检验，在方差一致的前提下，再作统计检验，方差分析结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利计检验，方差分析结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利用多重比较检验各类间差异是否显著。如果各类间的方
29、差不一致用多重比较检验各类间差异是否显著。如果各类间的方差不一致或各类间的差异未达显著，则需考虑重新分档。或各类间的差异未达显著，则需考虑重新分档。四、秩和比(RSR)法第42页/共102页第四十三页，共102页。将各护士护理考核指标合理(hl)分档，分差、良、优三档。四、秩和比(RSR)法第43页/共102页第四十四页，共102页。经方差齐性检验X2=2.3006，P0.05，说明各档方差一致方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030，说明各档间有显著差异两两比较(bjio)，P0，（ii）（i,j=1,2,n），），则称之为正互反矩阵则称之为正互反矩阵(j zhn)（易见（易见ai
30、i=1,i=1,n）。）。五、层次(cngc)分析法显然判断矩阵是正互反矩阵。第54页/共102页第五十五页，共102页。从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果各种不同标度下人们判断结果(ji gu)的正确性，实验结果的正确性，实验结果(ji gu)也也表明，采用表明，采用19标度最为合适。标度最为合适。如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用如果在构造成对
31、比较判断矩阵时，确实感到仅用19及其倒数还不够理及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解想时，可以根据情况再采用因子分解(fnji)聚类的方法，先比较类，聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。再比较每一类中的元素。关于关于(guny)如何确定如何确定aij的值，的值，Saaty等建议引用数字等建议引用数字19及及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，强表示差别程度，aij相应地取相应地取1,3,5,
32、7和和9。在成对事物的差别。在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，介于两者之间难以定夺时，aij可分别取值可分别取值2、4、6、8。五、层次分析法第55页/共102页第五十六页，共102页。步步3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰其他因素的干扰(gnro)影响，较客观地反影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩性。如果比较结果
33、是前后完全一致的，则矩阵阵A的元素还应当满足：的元素还应当满足：i、j、k=1,2,n 五、层次(cngc)分析法满足该关系式的正互反矩阵称为满足该关系式的正互反矩阵称为(chn wi)一致矩阵。一致矩阵。第56页/共102页第五十七页，共102页。定理定理(dngl)(dngl)若若A A为一致矩阵，则为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵必为正互反矩阵(j zhn)。（2）A的转置矩阵的转置矩阵(j zhn)AT也是一致矩阵也是一致矩阵(j zhn)。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从而）大于零，从而rank（A）=1（同样，（同样，A
34、的任意两列也成比例）。的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根的最大特征根max=n，其中，其中n为矩阵为矩阵A的阶。的阶。A的其余特征根均为的其余特征根均为零。零。（5）若）若A的最大特征根的最大特征根max对应的特征向量为对应的特征向量为W=（w1,wn）I，则则aij=wi/wj，i,j=1,2,n。定理定理 正互反矩阵正互反矩阵A的最大特征根的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于的其余特征根的模均严格小于max。（证明从略）。（证明从略）五、层次分析法定理定理 n阶正互反矩阵阶正互
35、反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根为一致矩阵当且仅当其最大特征根 max=n，且当正互反矩阵，且当正互反矩阵A非一致时，必有非一致时，必有maxn。第57页/共102页第五十八页，共102页。根据定理，我们可以由根据定理，我们可以由max是否等于是否等于(dngy)n来检验判断矩阵来检验判断矩阵A是否为一是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故，故max比比n大得越多，大得越多，A的非一致性的非一致性程度也就越为严重，程度也就越为严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素在对因
36、素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。为确定为确定(qudng)多大程度的非一致性是可以允忍的，多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：等人采用了如下办法：（1）求出）求出 ，称，称CI为为A的一致性指标。的一致性指标。容易看出，当且仅当容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，为一致矩阵时，CI=0。CI的值越大，的值越大，A的非一的非一致性越严重。利用线性代数知识可以证明，致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的的n个特征个特
37、征(tzhng)根之根之和等于其对角线元素之和（即和等于其对角线元素之和（即n）故）故CI事实上是事实上是A的除的除max以外其余以外其余n1个特征个特征(tzhng)根的平均值的绝对值。若根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余是一致矩阵，其余n1个特征个特征(tzhng)根均为零，故根均为零，故CI=0；否则，；否则，CI0，其值随，其值随A非一致性非一致性程度的加重而连续地增大。当程度的加重而连续地增大。当CI略大于零时（对应地，略大于零时（对应地，max稍大于稍大于n），），A具有较为满意的一致性；否则，具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。的一致性就较差。五、层次分析法第58
38、页/共102页第五十九页，共102页。（2）上面定义的）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵等人又研究了他们认为最不一致的矩阵用从用从19及及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值特征根的平均值，并定义并定义称称RI为平均随机为平
39、均随机(su j)一致性指标。一致性指标。对对n=1,11,，Saaty给出了给出了RI的值，如表所示。的值，如表所示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51五、层次(cngc)分析法第59页/共102页第六十页，共102页。（3）将）将CI与与RI作比较作比较(bjio)，定义定义称称CR随机一致性比率。经大量实例比较，随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在认为，在CR0.10时可以时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，
40、直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出中应先求出A的最大特征的最大特征根根max及及max对应的特征向量对应的特征向量W=（w1,wn）T，进行标准化，进行标准化，使得使得 。再对再对A作一致性检验：计算作一致性检验：计算 ，查表得到对应于查表得到对应于n的的RI值，求值，求 ，若若CR0.1，则一致性较为满意，以，则一致性较为满意，以 i作为因子作为因子xi在上层因子在上层因子Z中所具有中所具有的权值。否则必需重新作比较，修正的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满中的元素。只有在一致性较为满意时，意时，W的分量才可
41、用作层次单排序的权重。的分量才可用作层次单排序的权重。五、层次(cngc)分析法第60页/共102页第六十一页，共102页。现对本节例现对本节例7.13（即合理利用利润问题的例子）进行层次（即合理利用利润问题的例子）进行层次(cngc)单排序。单排序。为求出为求出C1、C2、C3在目标层在目标层A中所占的权值，构造中所占的权值，构造OC层的成对比较层的成对比较矩阵矩阵(j zhn)，设构造出的成对比较判断知阵，设构造出的成对比较判断知阵A=于是经计算，于是经计算，A的最大特征根的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得，查表得RI=0.58，故，故CR=0.033。因。因CR0.
42、1，接受矩阵，接受矩阵A，求出，求出A对应于对应于max的的标准化特征向量标准化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以，以W的分量作为的分量作为C1、C2、C3在目标在目标(mbio)O中所占的权重。中所占的权重。311153C1C2C3C1 C2 C30五、层次分析法第61页/共102页第六十二页，共102页。类似类似(li s)求措施层中的求措施层中的P1、P2在在C1中的权值，中的权值，P2、P3在在 C2中的权值及中的权值及P1、P2在在C1中的权值：中的权值：1P231P1P2P1C113max=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C
43、215max=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312max=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T五、层次(cngc)分析法第62页/共102页第六十三页，共102页。经层次单排序经层次单排序(pi x)，得到图，得到图7.8。合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.833
44、0.6670.3332五、层次(cngc)分析法第63页/共102页第六十四页，共102页。设上一层次（设上一层次（A层）包含层）包含A1,Am共共m个因素，它们的层次总排序权值个因素，它们的层次总排序权值分别为分别为a1,am。又设其后的下一层次（。又设其后的下一层次（B层）包含层）包含n个因素个因素B1,Bn，它，它们关于们关于Aj的层次单排序权值分别为的层次单排序权值分别为b1j,bnj（当（当Bi与与Aj无关联系时，无关联系时，bij=0）。现求）。现求B层中各因素关于总目标的权值，即求层中各因素关于总目标的权值，即求B层各因素的层次总排层各因素的层次总排序权值序权值b1,bn，计算按
45、表，计算按表7.11所示方式进行所示方式进行,即即 ，i=1,n。表表7.11bn mbn2bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B层总排序权值层总排序权值Ama m A2a 2A1a1层层A层层B步步4 层次总排序层次总排序(pi x)及一致性检验及一致性检验最后，在步骤（最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标目标(mbio)（最高层）的相对重要性权值。（最高层）的相对重要性权值。第64页/共102页第六十五页，共102页。例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层例如，
46、对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层(cn cn)次单排序权值的计算如表次单排序权值的计算如表7.12所示。所示。层层C层层PC1C2C3层层P的总排序权的总排序权值值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层次对层次(cngc)总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次(cngc)总总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次(cngc)均已均已经过层次经过层次(cngc)单排序的一致性检验，各成对比
47、较判断矩阵都已具单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次(cngc)的非一致性的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。五、层次(cngc)分析法第65页/共102页第六十六页，共102页。设设B层中与层中与Aj相关相关(xinggun)的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为检验，求得单排序一致性指标为CI(j)，(j=1,m)，相应的平均随机一致性指，相应的平均
48、随机一致性指标为标为RI(j)(CI(j)、RI(j)已在层次单排序时求得已在层次单排序时求得)，则，则B层总排序随机一致性比率层总排序随机一致性比率为为CR=当当CR0，k=0。（步（步2）迭代计算）迭代计算 ，k=0,1,。若若 ，i=1,n，则取则取W=为为A的对应于的对应于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2。（步（步3）将将 标准化，即求标准化，即求 其中其中 为为 的第的第i个分量。个分量。第70页/共102页第七十一页，共102页。（步（步4）求）求max的近似值的近似值对前面例子中的对前面例子中的OC判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ，=0.001，利用幂法
49、求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：（第一次迭代）（第一次迭代）(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）（第二次迭代）(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T第71页/共102页第七十二页，共102页。（第三次迭代）（第三次迭代）(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）（第四次迭代）(4)=(0.318,1.936,
50、0.785)T，=3.04，求得，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因因 ，取，取W=W(4)。进而，可求得。进而，可求得 。3、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列的每一列(y li)标准化，即令标准化，即令 ,i,j=1,n令令 。第72页/共102页第七十三页，共102页。（步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i=1,n。（步（步3）将）将 标准化，得到标准化，得到W，即，即，i=1,nW即为即为A的（对应于的（对应于max的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步（步4）求最大特征根近似值）求最大特