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1、会计学1数字信号处理数字信号处理(xn ho ch l)时域离散随机时域离散随机信号处理信号处理(xn ho ch l)丁玉美丁玉美第一页，共287页。自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动(zdng)地按照某种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。常常将这种输入统计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widr
2、ow)等人提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡，雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。第2页/共287页第二页，共287页。3.2 自适应自适应(shyng)横向滤波器横向滤波器 自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中x(n)称为输入信号(xnho)，y(n)是输出信号(xnho)，d(n)称为期望信号(xnho)，或者称为参考信号(xnho)、训练信号(xnho)，e(n)是误差信号(xnho)。其中 e(n)=d(n)-y(n)自适应滤波器H(z)的系数根据
3、误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使输出y(n)最接近期望信号d(n)。这里暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况进行选取，能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项有创意的工作。如果真正(zhnzhng)的d(n)可以获得，我们将不需要做任何自适应滤波器。第3页/共287页第三页，共287页。图 3.2.1 自适应(shyng)滤波器原理图 第4页/共287页第四页，共287页。3.2.1 3.2.1 自适应自适应(shyng)(shyng)线性组合器和自适应线性组合器和自适应(shyng)FIR(shyng)FIR 滤波器滤波器 1.1
4、.自适应自适应(shyng)(shyng)滤波器的矩阵表示式滤波器的矩阵表示式 图图 3.2.2 3.2.2 表示的是一个有表示的是一个有 N N个权系数的自适应个权系数的自适应(shyng)(shyng)线性组合器，线性组合器，图中图中N N个权系数个权系数w1,w2,wNw1,w2,wN 受误差信号受误差信号 ejej的自适应的自适应(shyng)(shyng)控制。对于固定的权系数，输出控制。对于固定的权系数，输出 yjyj是输入信号是输入信号 x1j,x2j,xNjx1j,x2j,xNj 的线性组合，因此称它为线性组合器。这里的的线性组合，因此称它为线性组合器。这里的x1j,x2j,x
5、Njx1j,x2j,xNj 可以理解为是从可以理解为是从 N N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，也可以是同一个信号源的也可以是同一个信号源的 N N个序贯样本，如图个序贯样本，如图 3.2.3 3.2.3 所示。因此它是一个单输入系统，所示。因此它是一个单输入系统，实际上这种单输入系统就是一个实际上这种单输入系统就是一个 FIRFIR网络结构，网络结构，或者说是一个自适应或者说是一个自适应(shyng)(shyng)横向滤波器。其输出横向滤波器。其输出 y(n)y(n)用滤波器的单位脉冲相应表示成下式：用滤波器的单位脉冲相应表示成
6、下式：(3.2.1)第5页/共287页第五页，共287页。图 3.2.2 自适应(shyng)线性组合器 第6页/共287页第六页，共287页。图 3.2.3 自适应(shyng)FIR滤波器 第7页/共287页第七页，共287页。这里w(n)称为滤波器单位脉冲响应，令：i=m+1,wi=w(i-1),xi=x(n-i+1)，n用j表示(biosh)，上式可以写成(3.2.2)这里wi也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于自适应(shyng)线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形式：(3.2.3)式中 误差(wch)信号表示为(3.2.4)第8页/共287页第八页，共
7、287页。2.2.利用均方误差最小准则求最佳权系数利用均方误差最小准则求最佳权系数(xsh)(xsh)和最小均方误差和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数误差信号被用来作为权系数(xsh)(xsh)的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数(xsh)(xsh)。由。由(3.2.4)(3.2.4)式，均方误差为式，均方误差为 (3.2.5)令(3.2.6)(3.2.7)第9页/共287页第九页，共287页。将(3.2.6)、(3.2.7)式代入(3.2.5)式，得到(d do)(3.2.8)R Rdx称为dj与Xj的互相关矩阵，是一
8、个N维列矩阵；Rxx是输入信号的自相关矩阵，特点如下：(1)是对称矩阵，即;(2)是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式：自相关矩阵的主对角线是输入(shr)信号的均方值，交叉项是输入(shr)信号的自相关值。第10页/共287页第十页，共287页。(3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时，均方误差信号Ee2j是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只有一个权系数w1,则Ee2j是w1的口向上的抛物线；如果有两个权系数w1w2,则Eej2是它们的口向上的抛物面；对于两个权系数以上的情况，则属于超抛物面性质。Eej2在
9、自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点，一些有用的自适应方法都是基于梯度法的，我们用 表示Eej2的梯度向量，它是用Eej2对每个权系数求微分而形成的一个列向量，用公式表示如下：第11页/共287页第十一页，共287页。(3.2.9)按照(3.2.4)式,梯度(t d)推导如下：(3.2.10)还可以(ky)用(3.2.8)式对W求导得到(3.2.11)令上式等于0,得到(d do)最佳权矢量W*的表达式：(3.2.12)第12页/共287页第十二页，共287页。对比第二章维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也称为维纳权矢量。当自适应滤波
10、器的权系数(xsh)满足上式时，均方误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误差：(3.2.13)或者(huzh)将上式取转置，用下式表示：(3.2.14)我们知道(zh do)，在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果，当权矢量取最佳值时，梯度为0，按照(3.2.10)式：第13页/共287页第十三页，共287页。例 3.2.1 一个(y)单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 3.2.4所示，图中输入信号与期望信号分别为 这两个信号都是周期性确定性信号，因为任何(rnh)正弦函数积的期望值，都可由这个积在一个
11、或多个周期上作时间平均来计算，可以推导出下面公式6:第14页/共287页第十四页，共287页。第15页/共287页第十五页，共287页。图 3.2.4 两个(lin)权的自适应滤波器第16页/共287页第十六页，共287页。上式表明性能函数(hnsh)Eej2对权函数(hnsh)是二次型的，用(3.2.11)式求梯度向量，得到 求最佳权矢量可以用(3.2.12)式，通过对Rxx求逆得到，也可以通过上式，令，而求出：第17页/共287页第十七页，共287页。用(3.2.13)式求最小均方误差(wch)：上式说明只要N2,不管N取多少，通过对权系数的调整可使均方误差达到0，此时输出信号yj完全等于
12、期望(qwng)信号dj,例如N=2，按照上面公式，可以求出输入、输出信号以及最佳权系数如下：第18页/共287页第十八页，共287页。第19页/共287页第十九页，共287页。3.2.2 3.2.2 性能函数表示式及其几何意义性能函数表示式及其几何意义 在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数，在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数，前面已推导前面已推导(tudo)(tudo)出性能函数用出性能函数用(3.2.8)(3.2.8)式表示，重写如下：式表示，重写如下：下面我们推导它的其它表示方法(fngf)以及几何意义。均方误差是权系数的二次函数，当权系数取最佳值时，均方误
13、差取最小值，将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均方误差表示性能函数，推导如下：为了表示方便，令=Ee2j,则 第20页/共287页第二十页，共287页。将(3.2.12)式代入上式，得到(d do)(3.2.15)令 V=W-W*=v1,v2,vNT(3.2.16)V V称为偏差称为偏差(pinch)(pinch)权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差(pinch)(pinch)。这样性能函数可以表示得更简单：。这样性能函数可以表示得更简单：(3.2.17)第21页/共287页第二十一页，共287页。因为Rxx是对称的，正定或半正定的，利
14、用它的特征值和特征向量再进一步简化，假设Rxx是NN维，它的N个特征值为：1,2,N，将Rxx进行(jnxng)分解，得到 R Rxx=Q QT TQ,=QTRxxQ(3.2.18)通过(tnggu)调节使Q归一化，即(3.2.19)(3.2.20)第22页/共287页第二十二页，共287页。式中，Q称为正交矩阵(j zhn)或特征矩阵(j zhn)，qi称为特征向量，满足下式：(3.2.21)(3.2.22)是由特征值组成的对角(du jio)矩阵，用下式表示：(3.2.23)将(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到(d do)令(3.2.24)第23页/共287页第二十三页，共28
15、7页。则(3.2.25)上式将性能函数变成了平方和的形式。再观察(3.2.24)式，该式将V坐标(zubio)中的Rxx的特征向量变成了V坐标(zubio)中的单位向量。利用(3.2.24)式将特征向量qi变成qi，再利用(3.2.20)、(3.2.21)式，可得(3.2.26)第24页/共287页第二十四页，共287页。也就是说，qi为V坐标中的第i个单位向量，qi亦是矩阵(j zhn)对应于i的特征向量。下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式：第25页/共287页第二十五页，共287页。图 3.2.5 二维权(wi qun)矢量性能表面 第26页/共287页
16、第二十六页，共287页。图 3.2.6 等均方误差的椭圆(tuyun)曲线族第27页/共287页第二十七页，共287页。按照(nzho)(3.2.17)式，有 或 当c=min时，对应椭圆的中心，V=W-W*,则相当于W坐标平移(pn y)到V坐标的原点，即V坐标的原点对应W坐标的最佳点W*。这里,v1v2不是椭圆的主轴。但经过对Rxx的分解：且V=QTV将性能函数(hnsh)的椭圆族(按照(3.2.25)式)变成 第28页/共287页第二十八页，共287页。即 或者(huzh)(3.2.27)显然，上式是一个椭圆方程，v1和v2是椭圆族的主轴，如果12,则v1是长轴，v2是短轴。因此(3.2
17、.24)式起坐标旋转的作用，将v1v2旋转到主轴上，形成v1v2主轴。对于维数N2的情况，长轴对应最小特征值，按照上面的椭圆方程长轴正比于；短轴对应于最大特征值，正比于 。另外，因为 第29页/共287页第二十九页，共287页。得到(d do)(3.2.28)V中单位矢量(shling)就是V坐标中的Rxx的特征矢量(shling)。第30页/共287页第三十页，共287页。3.2.3 最陡下降最陡下降(xijing)法法 1.1.最陡下降最陡下降(xijing)(xijing)法的递推公式法的递推公式 将将(3.2.11)(3.2.11)式代入式代入(3.2.29)(3.2.29)式，得到式
18、，得到 (3.2.30)(3.2.31)在上式两边(lingbin)都减去W*,并令Vj=W j-W*,得到 V Vj+1=I-2RxxVj(3.2.32)上式是一个递推公式，由于项不是对角矩阵，计算与分析均复杂。下面仍然采用坐标旋转的方法进行推导。第31页/共287页第三十一页，共287页。(3.2.33)此时(c sh)，项已变成对角矩阵，假设起始值是V0，可得到上式的递推解为(3.2.34)第32页/共287页第三十二页，共287页。再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入Vj=Wj-W*式，最后(zuhu)得到权系数的递推公式：(3.2.35)上面递推公式中，部分已变成对角(
19、du jio)矩阵，这使分析与研究自适应特性变得简单了。第33页/共287页第三十三页，共287页。2.收敛条件 由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于时，权系数收敛最佳(zu ji)时的条件。按照上式，显然只有当(3.2.36)(3.2.37)满足时，才能得到：。(3.2.37)式即是最陡下降法的收敛条件，式中max是R Rxx的最大特征值。(3.2.36)式中的0表示0矢量。第34页/共287页第三十四页，共287页。3.过渡过程 过渡过程是指权矢量和性能函数由起始点随迭代次数的增加，进行变化的过程。下面从权矢量和性能函数两方面讨论自适应(shyng)滤波器的过渡
20、过程。权矢量的过渡过程讨论如下：按照(3.2.34)式，权矢量的递推解是 第i个权系数(xsh)递推方程是(3.2.38)令(3.2.39)第35页/共287页第三十五页，共287页。将上式代入(3.2.38)式，得到(d do)(3.2.40)上式说明第i个分量v i按指数规律变化，其时(q sh)常数为 i=1,2,3,N(3.2.41)因为一般取得(qd)比较小，可以近似为 i=1,2,3,N(3.2.42)第36页/共287页第三十六页，共287页。因为(yn wi)所以(suy)再将(3.2.40)式代入，得到(d do)(3.2.43)第37页/共287页第三十七页，共287页。(
21、3.2.44)式中(3.2.45)上式说明(shumng)第i个加权系数按照N个指数和的规律变化，由初始值收敛到最佳值，其时常数与特征值成反比。下面分析性能函数的过渡过程。按照(3.2.25)式，性能函数如下式：(3.2.46)将(3.2.40)式代入，得到(d do)(3.2.47)第38页/共287页第三十八页，共287页。上式说明性能函数也是按N个指数和的规律(gul)变化，和加权系数过渡过程不同的是时间常数不同，它的时常数为(3.2.48)我们已经知道，性能函数和各个加权系数都是按照N个具有不同时常数的指数和的规律变化的，时常数和特征值成反比，不同的特征值对应(duyng)的收敛时间是
22、不一样的，但最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对应(duyng)最小的特征值，公式如下：(3.2.49)(3.2.50)第39页/共287页第三十九页，共287页。但为保证(bozhng)收敛，不能取得太大，受限于最大特征值max。这样，如果特征值比较分散时，即max和min相差很大时，使最陡下降法的收敛性能很差。下面分析值的影响。值收敛过程影响很大，首先必须选择得足够小，使之满足收敛条件：但按照(3.2.47)、(3.2.48)式，它影响收敛速度。一般希望在保证收敛的条件下，选大一些，使时间常数小一些，收敛的速度快一些。但当选择得太大时，即使收敛条件满足(mnz)，也可能形成
23、振动性的过渡特性。在图 3.2.7 中，图(a)是较小时的情况；图(b)是较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。第40页/共287页第四十页，共287页。图 3.2.7 值的影响(a)较小时的情况；（b）较大时的情况 第41页/共287页第四十一页，共287页。3.2.4 最小均方最小均方(LMS)算法算法(sun f)1.LMS算法(sun f)的权值计算 LMS(Least Mean Square)算法(sun f)的梯度估计值用一条样本曲线进行计算，公式如下：(3.2.51)因为(yn wi)第42页/共287页第四十二页，共287页。所以(suy)(3.2.52)(3.2.53)FIR
24、滤波器中的第i个权系数(xsh)的计算公式为(3.2.54)FIR滤波器中的第i个权系数(xsh)的控制电路如图3.2.8所示,LMS自适应滤波器的总框图如图 3.2.9 所示。第43页/共287页第四十三页，共287页。图 3.2.8 FIR第i个支路(zh l)的控制电路 第44页/共287页第四十四页，共287页。LMS算法的加权系数按照(3.2.53)式进行控制，式中加权矢量的改变(gibin)量是2ejXj，梯度的估计值是-2ejXj。显然，这是一个随机变量，这说明LMS算法的加权矢量是随机变化的。因此，LMS算法又称为随机梯度法。下面对这种算法的性能进行分析，主要分析加权矢理和性能
25、函数的平均变化规律以及它们的随机性造成的影响。按照(3.2.52)式，对梯度估计值求统计平均，得到(3.2.55)上式说明梯度估计值是无偏估计的，梯度的估计量在理想梯度j附近随机(su j)变化，权系数也是在理想情况下的权轨迹附近随机(su j)变化的。第45页/共287页第四十五页，共287页。图 3.2.8 LMS自适应(shyng)滤波器总计算框图第46页/共287页第四十六页，共287页。2.LMS2.LMS算法加权矢量的过渡算法加权矢量的过渡(gud)(gud)过程过程将误差公式将误差公式(3.2.4)(3.2.4)式代入式代入(3.2.53)(3.2.53)式，得到式，得到 (3.
26、2.56)按照(nzho)(3.2.53)式，对加权矢量取统计平均：(3.2.57)第47页/共287页第四十七页，共287页。类似于最陡下降(xijing)法的推导，经过坐标平移和旋转，变换到V坐标中。其公式推导如下:令 Vj=Wj-W*(3.2.58)那么(n me)EVj=EWj-W*EVj+1=EWj+1-W*(3.2.59)将上面(shng min)两式代入(3.2.57)式中，得到 它的递推解是 令 Rxx=QQ T,=QRxxQT(3.2.60)第48页/共287页第四十八页，共287页。得到(d do)(3.2.61)(3.2.62)再将(3.2.59)、(3.2.60)和(3
27、.2.61)式代入上式，得到(d do)EWj=W*+QI-2j Q-1(W0-W*)(3.2.63)对比(3.2.35)式，说明LMS算法加权矢量的统计平均值的过渡过程(guchng)和最陡下降法加权矢量的过渡过程(guchng)是一样的。换句话说，LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值等于最陡下降法加权矢量，那么，其收敛条件同样为(3.2.64)第49页/共287页第四十九页，共287页。在满足收敛条件(tiojin)的情况下，才有下式：由于(yuy)最大的特征值max不可能大于R的迹(R的主对角线元素之和)，即 因此收敛条件(tiojin)可以表示为(3.2
28、.65)第50页/共287页第五十页，共287页。对于横向(hn xin)滤波器，式中的迹是NEx2j，即N倍的输入功率，那么(3.2.66)实际(shj)中，通常选得很小，选(3.2.67)同样(tngyng)由(3.2.62)式，第i个分量为(3.2.68)第51页/共287页第五十一页，共287页。同样(tngyng)引入时常数i,(3.2.69)(3.2.70)(3.2.71)同样(tngyng)，第i个权系数可以表示成(3.2.72)第52页/共287页第五十二页，共287页。3.LMS算法性能函数的过渡(gud)过程学习过程 由于LMS算法加权矢量的平均值的变化规律与最陡下降法的加
29、权矢量一样，可以推想它的均方误差也会按照最陡下降的均方误差变化规律变化。下面进行推导。按照(3.2.4)式，信号误差为(3.2.73)第53页/共287页第五十三页，共287页。式中，eoptj=dj-XjTW*，称为最佳(zu ji)误差信号，它对应于最小均方误差，即 按照(nzho)(3.2.73)式写出均方误差表示式：假定(jidng)Xj和Vj不相关，上式中最后一项为0，那么 第54页/共287页第五十四页，共287页。同样(tngyng)，假设加权系数变化很小，Vj也变化很小，EVjVj，这样：类似(li s)前面的推导，得到(3.2.74)(3.2.75)对照最陡下降法性能(xng
30、nng)曲线(3.2.47)式，LMS均方误差变化规律和最陡下降法完全一样，学习曲线同样近似为几个不同时间常数的指数和。第55页/共287页第五十五页，共287页。4.4.稳态误差和失调系数稳态误差和失调系数 由上面分析知道，权矢量的平均值可以收敛到它的最佳值，由上面分析知道，权矢量的平均值可以收敛到它的最佳值，但权矢量变化过程是随机的，即使但权矢量变化过程是随机的，即使(jsh)(jsh)其平均值收敛到最佳值，它仍然按照下式：其平均值收敛到最佳值，它仍然按照下式：Wj+1=Wj+2ejXj 随机地进行变化，这样使权矢量(shling)仍在最佳值附近随机变化，但均方误差将大于最小均方误差，如图
31、 3.2.10 所示。为此，引入失调系数M，M定义为(3.2.76)第56页/共287页第五十六页，共287页。图 3.2.10 LMS算法(sun f)稳态误差第57页/共287页第五十七页，共287页。可以(ky)推出5失调系数为(3.2.77)或者(huzh)M=NPin(3.2.78)式中，N是滤波器的阶数，Pin是输入信号功率。上式说明和输入功率加大都会增加失调系数。在保证收敛(shulin)的情况下加大，会提高收敛(shulin)速度，也说明为了减小失调系数，应该适当选择收敛(shulin)速度，以保证收敛(shulin)速度和失调系数都满足要求。第58页/共287页第五十八页，共
32、287页。图 3.2.11 是一个LMS自适应滤波器的计算机结果(ji gu)5，阶数N=5，其输入是信号加白噪声，输入信号功率为1，中心频率是0.03fs(fs为采样频率)，噪声功率为0.5,输入信号自相关函数的特征值为：5.14、0.853、0.502、0.500、0.500，权系数初始值取0，=0.0065。图中画出了一条样本学习曲线和150条样本学习曲线的平均曲线。该图表明个别学习曲线起伏较大，平均学习曲线起伏很小，计算出的维纳最小均方误差为0.743 96，用LMS算法得到的稳态误差大于该值，按(3.2.77)式计算的失调系数是4.87%，按计算机模拟结果(ji gu)测得的失调系数
33、是5.40%。第59页/共287页第五十九页，共287页。图 3.2.11 LMS算法(sun f)的学习曲线 第60页/共287页第六十页，共287页。3.3 自适应自适应(shyng)格型滤波器格型滤波器 3.3.1 3.3.1 前、后向线性预测误差滤波器前、后向线性预测误差滤波器 1.1.前向线性预测误差滤波器前向线性预测误差滤波器 为了分析简单，假设信号属于实平稳随机信号。前向线性预测误差滤波器直接由信号的线性一步预测导出。在维纳滤波器一章我们已研究了信号的线性一步预测问题，即由x(n-1),x(n-2),x(n-p)预测x(n)，其估计值x(n)和预测误差ep(n)用下式表示：(3.
34、3.1)第61页/共287页第六十一页，共287页。由于假设了信号是实的，式中预测误差ep(n)和系数ap,k均是实数。(3.3.1)式表明 是由n时刻以前的p个数据x(n-1)、x(n-2)x(n-p)得到的估计，因此称 为前向预测误差。将前向预测误差用 表示，上式重写为(3.3.2)对上式进行(jnxng)Z变换，得到(3.3.3)令(3.3.4)第62页/共287页第六十二页，共287页。Hf(z)称为(chn wi)前向预测误差滤波器的系统函数。前向预测误差滤波器的结构图如图 3.3.1所示。图 3.3.1 前向预测(yc)误差滤波器 第63页/共287页第六十三页，共287页。用均方
35、误差最小的准则求前向预测(yc)误差滤波器的最佳系数ap,k,k=1,2,，p(3.3.5)将(3.3.2)式代入上式，得到(d do)k=1,2,3,，p(3.3.6)上式表明前向预测误差与用于预测的数据正交，这就是(jish)对于前向预测误差的正交原理。按照第二章的推导，前向预测误差滤波器的最佳系数ap,k和信号的自相关函数之间的关系式称为Yule-Walker方程式，重写如下：第64页/共287页第六十四页，共287页。(3.3.7)将上式用矩阵方程(fngchng)表示为(3.3.8)第65页/共287页第六十五页，共287页。2.2.后向线性预测误差滤波器后向线性预测误差滤波器 如果
36、利用x(n+1),x(n+2),x(n+p)数据预测x(n)，则称为后向预测，其估计值用 表示。这样(3.3.9)一般前向、后向预测(yc)用同一数据进行，即利用x(n),x(n-1)，x(n-2)，,x(n-p)进行预测(yc)，为此，将上式改为(3.3.10)这样，前向预测是由x(n-p),x(n-p+1),x(n-2),x(n-1)预测x(n)，后向预测是由x(n-p+1),x(n-p+2),x(n)预测x(n-p)，这两种预测数据之间的关系如图 3.3.2 所示。第66页/共287页第六十六页，共287页。图 3.3.2 前向预测(yc)数据之间的关系 第67页/共287页第六十七页，
37、共287页。设后向预测误差用 表示(实际表示的是信号在n-p时刻的预测误差)，这样(3.3.11)同样(tngyng)，利用最小均方误差的准则，可以得到关于后向预测时的正交原理以及Yule-Walker方程，它们分别用下面的(3.3.12)和(3.3.13)式表示：k=1,2,3,p k=1,2,3,p(3.3.12)(3.3.13)第68页/共287页第六十八页，共287页。式中，是后向预测误差的最小误差功率。将(3.3.13)式和(3.3.7)式进行对比，它们极其相似。利用Toeplitz矩阵的性质，可得到以下重要关系：(3.3.14)(3.3.15)上面(shng min)两式表明前、后
38、向预测的最小误差功率相等，系数也相等(如果是复数，则是共轭关系)。由(3.3.10)、(3.3.11)、(3.3.14)式得到(3.3.16)第69页/共287页第六十九页，共287页。式中，当k=0,1,2,3,p时，p-k=p,p-1,p-2,0,因此(ync)也可以写成下式：由上式画出后向预测(yc)误差滤波器的结构图如图 3.3.3 所示。第70页/共287页第七十页，共287页。图 3.3.3 后向预测(yc)误差滤波器 第71页/共287页第七十一页，共287页。对比(dub)图 3.3.1 和图 3.3.3,或者对比(dub)公式(3.3.2)和(3.3.17)，它们的系数虽然一
39、样，但后向预测误差滤波器的系数排序却是前向预测误差滤波器系数排序的逆转排列。对(3.3.16)式进行Z变换，得到(3.3.18)后向预测误差(wch)滤波器的系统函数为(3.3.19)第72页/共287页第七十二页，共287页。将上式与前向预测误差滤波器的系统(xtng)函数(3.3.4)式对比，得到前、后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是 为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解Yule-Walker方程。可以采用高斯消元法解出ap,k(k=1,2,3,p)以及2p,但需要p3量级运算量。利用Yule-Walker方程中的自相关矩阵是一个埃尔米特(Hermitain)和托布列斯(
40、Toeplitz)矩阵的特点，且至少是半正定的，可以有效(yuxio)地减少运算量，这就是下面要推导的Levinson-Durbin算法，它的运算量级是p2。第73页/共287页第七十三页，共287页。3.Levinson-durbin算法(sun f)Levinson-Durbin算法(sun f)首先由一阶AR模型开始，按照(3.3.8)式，一阶AR模型(p=1)的Yule-Walker为 由该方程解出：第74页/共287页第七十四页，共287页。然后增加一阶，即令p=2，按照(nzho)(3.3.8)式得到 由上面(shng min)方程解出：第75页/共287页第七十五页，共287页。
41、然后令p=3,4,以此类推，可以得到(d do)一般递推公式如下：(3.3.21)(3.3.22)(3.3.23)(3.3.24)(3.3.25)第76页/共287页第七十六页，共287页。上面(3.3.21)(3.3.25)式就是Levinson-Durbin递推公式，该式中的kp称为(chn wi)反射系数。在(3.3.24)式中，2p和2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应要求满足下式：(3.3.26)进而得到 ，即预测误差随递推次数增加而减少。把kp称作反射系数，是类似于传输线的情况，如图3.3.4 所示，第p节的输出功率(即下一级的输入功率)等于前一级的
42、输出功率减去本级的反射功率，用公式表示如下：(3.3.27)第77页/共287页第七十七页，共287页。图3.3.4 传输线第78页/共287页第七十八页，共287页。3.3.2 3.3.2 格型滤波器格型滤波器 1.1.由预测误差由预测误差(wch)(wch)滤波器导出格型滤波器滤波器导出格型滤波器 将前面已推导的前向预测误差将前面已推导的前向预测误差(wch)(wch)公式公式(3.3.2)(3.3.2)重写如下重写如下:再将系数ap,k(k=1,2,3,p)的递推公式(gngsh)(3.3.23)代入上式，并令kp=ap,p，得到 第79页/共287页第七十九页，共287页。将上式与(3
43、.3.2)式对比(dub)，方程式的右边前两项是p-1阶前向预测误差，即(3.3.28)方程式的右边(yu bian)最后一项中，因为k=1,2,3,p-1时，p-k=p-1,p-2,1，方括号部分可以写成 将上式右边与(3.3.16)式对比，该部分就是n-1时刻p-1阶的后向预测(yc)误差，即 第80页/共287页第八十页，共287页。这样由(3.3.28)式，得到前向预测(yc)误差的递推公式，即(3.3.29)类似地，得到后向预测(yc)误差的递推公式为(3.3.30)利用(lyng)(3.3.29)式和(3.3.30)式，组成格型滤波器的第p节的结构图,如图 3.3.5(a)所示。第
44、81页/共287页第八十一页，共287页。图 3.3.5 全零点(ln din)格型滤波器 第82页/共287页第八十二页，共287页。对于p=0的情况(qngkung)，按照(3.3.2)式和(3.3.11)式，得到 整个预测误差格型滤波器的结构如图 3.3.5(b)所示。由于没有反馈支路，它是一个全零点格型滤波器。经过变形还可得到其他类型，如全极点(jdin)格型滤波器、全极点(jdin)横向滤波器，等等5。第83页/共287页第八十三页，共287页。2.2.格型滤波器的性质格型滤波器的性质(1)(1)各阶后向预测误差相互正交。各阶后向预测误差相互正交。用公式表示用公式表示(biosh)(
45、biosh)如下：如下：设ij,按照(3.3.12)式，与x(n-j+1),x(n-j+2),x(n-i),x(n-i+1),x(n)数据正交，但按照(3.3.16)式，是x(n-i),x(n-i+1),x(n)的线性组合，因此 与 相互正交。各阶后向预测误差相互正交的结果，使滤波器前后级互相解耦，对于系统最小化问题化为一系列独立的对每一级局部最小化问题。用作自适应滤波时，各级可选用不同的自适应步长，使收敛速度提高。另外，为提高线性预测性能，需要增加一节或几节，可以只对新增加的级进行独立的调节，达到输出均方误差最小，无需再调节前面的系数。第84页/共287页第八十四页，共287页。(2)平稳随
46、机序列可由自相关函数或反射系数表征。按照Levinson-Durbin递推公式，已知rxx(0),k1,k2,kp,从一阶开始，可以推出全部的预测系数ap,1,ap,2,ap,p和2p，把得到的这些数据代入Yule-walker方程，可求得信号的自相关函数rxx(0),rxx(1),rxx(2),rxx(p)。以上说明平稳随机序列可由自相关函数表征，也可由rxx(0),k1,k2,kp表征。(3)前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点(ln din)在单位圆内。第85页/共287页第八十五页，共287页。3.对于复信号的预测误差滤波器和格型滤波器对于复信号的预测误差滤波器和格型滤波
47、器 前向预测误差滤波器的系统函数He(z)以及前向预测误差公式 和实信号情况一样，仍是(3.3.4)式和(3.3.2)式，但利用均方误差最小原则求预测系数要用下式求解：(3.3.32)对于(duy)前向预测误差的正交原理，则用下式表示：(3.3.33)前向预测误差滤波器的预测系数和信号自相关(xinggun)函数之间的Yule-Walker方程仍和(3.3.8)式一样。第86页/共287页第八十六页，共287页。后向预测误差和后向预测误差滤波器系统(xtng)函数分别用下式表示：(3.3.34)(3.3.35)对于后向预测误差(wch)的正交原理为(3.3.36)对于(duy)复信号的Levi
48、nson-Durbin递推公式为(3.3.37)第87页/共287页第八十七页，共287页。k=1,2,3,p-1(3.3.38)(3.3.39)(3.3.40)(3.3.41)复信号的全零点格型滤波器预测误差(wch)递推公式为(3.3.42)(3.3.43)第88页/共287页第八十八页，共287页。图 3.3.6 复信号预测误差(wch)全零点格型滤波器 第89页/共287页第八十九页，共287页。3.3.3 最小均方误差最小均方误差(wch)自适应格型滤波器自适应格型滤波器 P阶格型滤波器由p节组成，如果(rgu)前m节的参数ki(i=1,2,3,m)为最佳，相应的预测误差功率是最小，
49、而后面的节的参数对前面的最佳参数无影响，因此在m节的基础上再加一节，则只需根据使第m+1节的预测误差功率最小的原则选择km+1即可。预测误差功率有前向预测误差功率和后向预测误差功率，这里采用使前、后向预测误差功率的和为最小的原则求反射系数。公式为(3.3.44)第90页/共287页第九十页，共287页。将(3.3.29)、(3.3.30)代入上式，可以(ky)得到(3.3.45)实际(shj)计算时，上式中的统计平均值用时间平均计算，公式为(3.3.46)对于复信号情况(qngkung)，公式为(3.3.47)第91页/共287页第九十一页，共287页。上面两式便是直接利用数据(shj)计算反
50、射系数的递推公式。下面讨论公式中的求和限问题，如果输入数据(shj)为x(i),i=0,1,2,n，当p=1时，这里(zhl)因此(ync)第92页/共287页第九十二页，共287页。上式中，求和限必须限制在已知的输入数据范围(fnwi)内计算，这样求和限应为i=1,2,3,n，计算公式为 当p=2时，第93页/共287页第九十三页，共287页。按照(nzho)(3.3.29)、(3.3.30)式，得到 将上面两式带入 公式中，可以计算出 ，考虑到输入数据的范围，具体计算公式为 第94页/共287页第九十四页，共287页。再根据 ,按照(3.3.29)、(3.3.30)式计算e2(i)、b2(