2022年版义务教育数学课程标准解读及学习心得体会：新旧课程标准的课程内容变化分析.docx

2022年版义务教育数学课程标准解读及学习心得体会 新旧课程标准的课程内容变化分析1 一、小学部分 （一）数与代数 数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题.学段之间的内容相互关联，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构. “数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算.数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联.学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法.初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识. “数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律.学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识. 【内容要求】 2022年版 2011年版 第一学段 （1-2年级） 1.数与运算 （1）在实际情境中感悟并理解万以内数的意义，理解数位的含义，知道用算盘可以表示多位数（例1）. （2）了解符号＜,=, ＞的含义，会比较万以内数的大小；通过数的大小比较，感悟相等和不等关系（新增）（例2）o （3）在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系（例3）. （4）探索加法和减法的算理与算法（新增），会整数加减法. （5）探索乘法和除法的算理与算法（新增），会简单的整数乘除法. （6）在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识.（新增） 2.数量关系 （1）在简单的生活情境中，运用数和数的运算解决问题，能解释结果的实际意义，形成初步的应用意识. （2）探索用数或符号表达简单情境中的变化规律（例4和例5）. 第二学段（3-4年级） 1.数与运算 （1）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法；探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化（例8）. （2）结合具体情境，初步认识小数和分数，感悟分数单位（例 9）；会同分母分数的加减法和一位小数的加减法. （3）在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，能进行整数四则混合运算. （4）探索并了解运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，乘法对加法的分配律），能用字母表示运算律. （5）会运用数描述生活情境中事物的特征（例10），逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识.（新增） 2.数量关系 （1）在实际情境中，运用数和数的运算解决问题；在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（例11）. （2）能借助计算器进行计算，解决简单的实际问题，探索简单的规律（例12）. （3）在具体情境中，认识常见数量关系：总量=分量+分量（例13）、总价=单价×数量、路程=速度×时间；能利用这些关系解决简单的实际问题. （4）能在具体情境中了解等量的等量相等. （5）能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程（例14），形成初步的模型意识和应用意识.（新增） 第三学段(5-6年级) 1.数与运算 （1）知道2, 3, 5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数，了解奇数、偶数、质数(或素数)和合数. （2）结合具体情境探索并理解小数和分数的意义，感悟计数单位.会进行小数、分数的转化，进一步发展数感和符号意识. （3）结合具体情境理解整数除法与分数的关系(例16). （4）能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识.（新增） 2.数量关系 （1）根据具体情境理解等式的基本性质(例17). （2）在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算(例18）.（新增） （3）在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性（例19）. （4）在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题. （5）通过具体情境，认识成正比的量（如=5）（例20）；能探索规律或变化趋势（如y = 5x）（例21）. （6）能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力.（新增）         第一学段（1-3年级） 1.数的认识 （1）在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置. （2）能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数. （3）理解符号＜，＝，＞的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小. （4）在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计.（删除） （5）能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数. （6）能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小.（删除） （7）能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流. 2.数的运算 （1）结合具体情境，体会整数四则运算的意义（参见例5）. （2）能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数. （3）能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法. （4）认识小括号（删除），能进行简单的整数四则混合运算（两步）（删除）. （5）会进行同分母分数（分母小于10）（删除）的加减运算以及一位小数的加减运算. （6）能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用. （7）经历与他人交流各自算法的过程. （8）能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释. 3.常见的量 （1）在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系.（删除） （2）能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短.（删除） （3）认识年、月、日，了解它们之间的关系.（删除） （4）在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算.（删除） （5）能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题.（删除） 4.探索规律 探索简单情境下的变化规律. 第二学段（4-6年级） 1.数的认识 （1）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数. （2）结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计. （3）会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用. （4）知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1~100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数. （5）了解公因数和最大公因数；在1~100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数. （6）了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数. （7）结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）. （8）能比较小数的大小和分数的大小. （9）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量.（删除） 2.数的运算 （1）能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法. （2）认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）. （3）探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算. （4）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系. （5）能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）. （6）能解决小数、分数和百分数的简单实际问题. （7）在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题. （8）经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法.（删除） （9）在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算.  （10）能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律. 3.式与方程 （1）在具体情境中能用字母表示数. （2）结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示. （3）能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用.（删除） （4）了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程. 4.正比例、反比例 （1）在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题. （2）通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量. （3）会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值. （4）能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流. 5.探索规律 探索给定情境中隐含的规律或变化趋势. 【学业要求】（新增） 第一学段 （1-2年级） 1.数与运算 能用数表示物体的个数或事物的顺序，能认、读、写万以内的数；能说出不同数位上的数表示的数值；能用符号表示数的大小关系（例6）,形成初步的数感和符号意识. 能描述四则运算的含义，知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算；能熟练口算20以内数的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内数的加减法；能计算两位数和三位数的加减法.形成初步的运算能力. 2.数量关系 能在熟悉的生活情境中运用数和数的运算，合理表达简单的数量关系，解决简单的问题. 能在解决问题的过程中，体会解决问题的道理，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识. 第二学段（3-4年级） 1.数与运算 能结合具体实例解释万以上数的含义，能认、读、写万以上的数，会用万、亿为单位表示大数.能计算两位数乘除三位数. 能直观描述小数和分数，能比较简单的小数的大小和分数的大小；会进行同分母分数的加减运算和一位小数的加减运算.形成数感、符号意识和运算能力. 能描述减法与加法的关系、除法与乘法的关系；能进行整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步），正确运用小括号和中括号.能说出运算律的含义，并能用字母表示；能运用运算律进行简便运算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力. 2.数量关系 能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题，能选择合适的单位通过估算解决实际问题，形成初步的应用意识. 能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；能借助计算器进行计算，并解释计算结果的实际意义；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识. 能在真实情境中，合理利用等量的等量相等进行推理，形成初步的推理意识（例15）. 第三学段(5-6年级) 1.数与运算 能找出2， 3， 5的倍数.在1〜100的自然数中：能找出10以内自然数的所有倍数，10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，两个自然数的公因数和最大公因数；能判断一个自然数是否是质数或合数. 能用直观的方式表示分数和小数，能比较两个分数的大小和两个小数的大小；会进行小数和分数的转化（不包括将循环小数转化成分数）.能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感. 能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算（不超过三步），并说明运算过程.能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识. 2.数量关系 能在具体问题中感受等式的基本性质（例17）. 能在解决实际问题中运用恰当的方法进行估算，并能描述估算的过程. 能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性. 能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量 ，能解决按比例分配的简单问题. 能在具体情境中描述成正比的量=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx （k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值. 能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力. 【教学提示】（新增） 第一学段 （1-2年级） 第一学段是学生进入小学学习的开始，要充分考虑学生在幼儿园阶段形成的活动经验和生活经验，遵循本阶段学生的思维特点和认知规律，为学生提供生动有趣的活动，更好地完成从幼儿园阶段到小学阶段的学习过渡. 数与运算的教学.数的认识与数的运算具有密切的联系，既要注重各自的特征，也要关注二者的联系.数的认识是数的运算的基础，通过数的运算有助于学生更好地认识数. 数的认识教学应提供学生熟悉的情境，使学生感受具体情境中的数量，可以用对应的方法，借助小方块、圆片和小棒等表示相等的数量，然后过渡到用数字表达，使学生体会可以用一个数字符号表示同样的数量；知道不同数位上的数字表示不同的值.教学中应注意，10以内数的教学重点是使学生体验1〜9从数量到数的抽象过程，通过9再加1就是十，体会十的表达与1〜9的不同是在新的位置上写1,这个位置叫十位，十位上的1表示1个十，1个十用数字符号10表达.同理认识百以内数、万以内数.通过数量多少的比较，理解数的大小关系（例7）.在这样的教学活动中，帮助学生形成初步的符号意识和数感. 数的运算教学应让学生感知数的加减运算要在相同数位上进行, 体会简单的推理过程.引导学生通过具体操作活动，利用对应的方法理解加法的意义，感悟减法是加法的逆运算；在具体情境中，启发学生理解乘法是加法的简便运算，感悟除法是乘法的逆运算.在教学活动中，始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展. 数量关系的教学.通过创设简单的情境，提出合适的问题，引导学生发现数量关系；利用画图、实物操作等方法，引导学生用学过的知识表达情境中的数量关系，体会几何直观，形成初步的应用意识. 第二学段（3-4年级） 数与运算的教学.在认识整数的基础上，认识小数和分数.通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性. 数的认识教学应为学生提供合理的情境，引导学生进一步经历整数的抽象过程，知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感；通过学生熟悉的具体情境，引导学生初步认识分数，进行简单的分数大小比较，感悟分数单位；借助学生的生活经验，引导学生认识小数单位，进一步感悟十进制计数法.在这样的过程中，发展学生数感. 数的运算教学应利用整数的乘法运算，理解算理与算法之间的关系；在进行除法计算的过程中，进一步理解除法是乘法的逆运算.在这样的过程中，感悟如何将未知转为已知，形成初步的推理意识.通过小数加减运算、同分母分数加减运算，与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性，培养运算能力.通过实际问题和具体计 算，引导学生用归纳的方法探索运算律、用字母表示运算律，感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维. 数量关系的教学.在具体情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义.估算的重点是解决实际问题. 常见数量关系的教学要在了解四则运算含义的基础上，引导学生理解现实问题中的加法模型是表示总量等于各分量之和，乘法模型可大体分为与个数有关（总价=单价×数量）和与物理量有关（路程= 速度×时间）的两种形式，感悟模型中量纲的意义.应设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升问题解决能力.利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识（例15）. 估算教学要引导学生在具体的问题情境中选择合适的单位进行估算，体会估算在解决实际问题中的作用，了解估算的实际意义. 第三学段(5-6年级) 数与运算的教学.通过整数的运算，感悟整数的性质；通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性. 数的认识教学要引导学生根据数的意义，用列举、计算、归纳等方法，探索2, 3, 5的倍数的特征，理解公因数和公倍数、奇数和偶数、质数和合数，形成推理意识. 在初步认识小数和分数的基础上，引导学生在具体情境中，理解小数和分数的意义，感悟计数单位.在教学过程中，可以让学生体验与小数有关的数学文化（例22），理解、描述各数位上数字的意义，进一步提升数感. 数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性.例如，在分数加减运算的过程中，引导学生理解通分的目的是得到同样计数单位，进一步理解计数单位对分数表达的重要性，理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，感悟加减运算的一致性. 数量关系的教学.理解用字母表示的一般性，形成初步的代数思维. 用字母表示的教学要设计合理的实际情境，引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律.例如：用 字母表达常见数量关系及其变形，“路程=速度×时间”表示为s = v×t，这个关系的变式表示为 v =s÷t，t=s÷v；还可以表达图形的周长和面积计算公式等，感受字母表达的一般性.运用数和字母表达数量关系，通过运算或推理解决问题（例23），形成与发展学生的符号意识、推理意识和初步的应用意识. 估算教学要借助真实情境，引导学生在选择合适单位估算的基础上，感悟选择合适的方法估算的重要性，提高解决问题的能力，发展初步的应用意识. 比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用 字母表达两个数量之间的倍数关系.例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分配的问题. 成正比的量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变化规律，引导学生理解可以把这个规律表示为=k（k≠0）的形式，也可以表示为y=kx （k≠0）的形式，感悟这两个表达式的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验. 例1  用算盘表示多位数 【说明】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代 表5,每个下珠代表1.每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数，可以任意选定某档为个位，不拨珠空档表示0. 例如，513和602在算盘上表示如图1.   更大的数可用同样的方法表示. 让学生感受用算盘表示数的同时，向学生介绍算盘的历史，引导学生体会算盘是我国的优秀文化遗产. 例2   感悟大小关系 小阳和小冬用边摆边说.数一数，想一想，看看他们说的话对吗？   【说明】相等和不等是数的两个基本关系.在数量一样多、较多和较少的具体情境中，引导学生感悟数的相等和不等关系；知道可以用符号=，＞，＜分别表示数与数之间的相等、大于和小于关系；感悟大小关系的传递性：如果8＞6, 6＞3,那么8＞3.对于关系传递性，只要求学生感悟，为将来理解代数基本事实作感性铺垫，不作为学业要求. 例3  运算与运算之间的关系 二年级（3）班有8个学习小组，每组5人，这个班一共有多少人? 【说明】如图3，针对问题背景，让学生经历用图形表示数量关系的过程，理解乘法运算以及乘法与加法的关系.   还可以用类似的方法，让学生感悟减法运算以及减法是加法的逆运算，感悟除法运算以及除法是乘法的逆运算. 例4   用不同符号表示变化规律 在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由. 1,1,2；1,1,2;     ，      ，     . A, A, B；A, A, B;     ，      ，     . 口，口，日；口，口，日；     ，      ，     . 【说明】启发学生在解决问题的过程中探索规律.引导学生感悟对具有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同. 例5  借助图形发现运算规律 在表4中，标出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别标出相加等于6, 9的格子，你能发现什么规律？ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【说明】通过这样的活动，不仅可以帮助学生熟练20以内数的加法，还可以让学生感悟加数与和之间的关系，让学生感悟数值与图形的结合，有利于为后续学习图形的位置等内容做准备. 教师可以根据实际情况灵活地设计教学活动.例如，可以根据上表，让学生判断：出现次数最多的和是几？最少的是几？ 例6  根据大小关系排序 将数50, 98, 38, 10, 51排序，用符号＞，＜表示.用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步表示它们之间的关系. 【说明】数的最基本的关系是大小关系，通过排序可以考查学生对大小关系及其传递性的理解. 可以用不同的排序方法，让学生经历选择方法的过程，引导学生表述排序方法的操作过程，帮助学生积累思维的经验和做事的经验；引导学生用恰当的语言表述大小关系的程度，体会大小关系的传递性，培养思维的逻辑性. 例7  通过对应理解大小关系 图4第（1）题是小华完成的，你能像她一样完成其他两道题吗？ 【说明】通过两个集合中元素之间一一对应的方法判断集合中元素的多少.这种对应的方法是数学的基本方法.通过对应的方法，学生可以感受由数量抽象到数、由数量的多少关系抽象为数的大小关系.在这个例子中，学生通过“连一连"比较两个集合中元素的多少，进一步感知用一一对应的方法能够进行数量多少的比较，建立数感. 例8  感悟从未知到已知的转化 学校图书馆为同学们购买图书，其中数学绘本每本14元，如果买12本，需要付多少元？ 【说明】在知道两位数乘一位数的基础上，引导学生探索两位数乘两位数的方法，感悟从未知到已知的转化. 重点是理解从一位数乘法到两位数乘法算理和算法的迁移.学生已知14×10的计算方法和14×2的计算方法，探索14×12的计算方法.可以引导学生将12分解成(10+2),然后利用横式体现算理，14×12=14×(10+2)=14×10+ 14×2,就可以把未知转化为已知；在分析的基础上建立乘法运算竖式，从算理过渡到算法.在这样的过程中，发展学生的运算能力和推理意识.此外，可以引导学生借助面积表述运算的道理，培养几何直观. 例9  感悟分数单位 比较的大小. 【说明】把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，通过比较各自1份面积大小的方法，引导学生直观理解分数的大小.然后，进一步把两个圆都平均分成为6份，通过，所以，帮助学生理解分数单位之间的关系，知道只有在相同单位下才能比较分数的大小，这个法则与整数比较大小的法则是一致的. 例10  生活中的数 某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生.例如，202103321表示“2021年入学的（3）班的第32号同学，该同学是男生”，那么202104302表示什么？ 【说明】这个例子启发学生思考，编号提供给我们一些什么信息.例如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生.同时, 可以引导学生设计本校的学生编号方案. 例11   现实生活中的估算 学校组织987名学生去公园游玩.如果公园的门票每张8元， 8000元够不够？ 【说明】在日常生活中，许多问题并不需要精确的答案.这个例子可以让学生了解在什么样的情境中需要估算，认识到能结合具体情境选择适当的单位是估算的关键.例如，在此例中把987人看成 1000人，8000元是够的，这里适当的单位是“1000人”. 在估计长度、质量和其他度量值时也需要选择合适的单位.一般来说，估计教室的长度时以“米”为单位，估计书本的长度时以“厘米”为单位.此外，还可以引导学生选用自己熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等. 例12  利用计算器探索规律 利用计算器计算15×15, 25×25,…，95×95,并探索规律. 【说明】引导学生利用计算器进行重复性的计算，从中发现一些有趣的规律.例如，在下面计算中观察结果与因数的关系，发现以下规律： 15×15=225=1×2×100+25, 25×25=625=2×3×100+25, 35×35=1225=3×4×100+25, ... 这个规律在实际运算中是有意义的. 例13  利用数据提出问题 某展览中心周六和周日有一个艺术展，图5记录了参观人数.   根据记录的参观人数，你能提出哪些问题？ 【说明】通过这个例子讨论“总量=分量+分量”的数量关系，例如，周六上午57人、下午64人都是中小学生参观人数的分量，分量和57+64=121 （人）是周六的中小学生参观人数总量.周六的中小学生参观人数总量又是周六参观人数的分量.启发学生提出许多类似问题，关注学生思维的逻辑.通过这个例子，学生也可以提出相应的减法问题，即“分量=总量-分量”的数量关系，只需要把其中的一个分量作为未知量. 例14  寻找规律进行推断 联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室.你知道第16个气球是什么颜色吗？ 【说明】在例4借助符号表示规律的基础上，感知通过规律可以进行推断. 在解决这个问题时，学生可以有多种方法.例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，排列顺序可以表示为 AAABBCAAABBC… 从中找出第16个字母，由此推断第16个气球的颜色. 例15  曹冲称象的故事 通过具体情境认识物体的质量，感悟质量的度量方法，掌握度量单位的换算，感悟等量的概念，尝试运用等量的等量相等进行推理, 知道常见数量关系：总量等于各分量之和. 【说明】通过“称重”等具体活动，结合学生生活中对物体质量的认识经验，帮助学生认识克、千克、吨，了解它们之间的关系，积累数学活动经验，发展量感. 此主题活动可作如下设计. （1）我也来称象 通过“曹冲称象”的故事引导学生思考下列问题，引发对“质量单位、称量工具”的学习：在古代为什么大象的体重难称量？要称量 大象的体重，需要哪些条件？ 充分结合学生生活中对各种物品质量的经验，帮助学生感受“物体轻、物体重”需要规定合适的单位来表示，进而理解克、千克、吨 这些常用质量单位的意义及其关系，并尝试利用等量的等量相等进行推理. （2）各种各样的秤 组织学生收集各种称量物体质量的工具，如生活中常见的秤、实验室中用的天平等，扩展学生对称量工具及质量单位的认识. （3）都来称一称 学生组建小组，使用某些秤或者已经称量好的物品作为称量工具，如用一袋盐作“秤”，去估一估、称一称，想办法得到教室内、生活中各类物品的质量，经历度量的过程，体会误差，归纳估测的方法，丰富并发展量感. 例 16   除法可以写成分数的形式 为什么4÷2可以写成？ 【说明】首先，可以通过除法运算的意义和分数的意义理解它们之间的等价关系.前者可以表示把4个苹果分给2个人，每人分到2个；后者可以表示4个苹果的，等价于2个苹果. 其次，通过算理进行一般性说明.怎样知道“4÷2=△”中的“ △” 是多少，由于除法是乘法的逆运算，它等价于“4=△×2”.根据等式的基本性质，等号两边同乘后等式不变，计算得到 4×=△.根据基本事实“等量的等量相等”，所以4÷2=4×成立.  最后，因为4×表示4个相加，所以写成.即4÷2=.这个结果表明，除以一个数等于乘这个数的倒数. 例17  等式的基本性质 观察下面两组等式，你有什么发现？与同伴交流，尝试解释你的发现. 【说明】这两组等式表达了等式的两个基本性质.第一组是等式的基本性质I,即“等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等”.第二组是等式的基本性质Ⅱ,即“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等”.这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式，在后续学习方程时会用到. 例18  估算的上界和下界 李阿姨去商店购物，带了 100元，她买了 2袋面，每袋30.4元; 又买了 1块牛肉，用了 19.4元.她还想买1条鱼，大一些的每条 25.2元，小一些的每条15.8元.请帮助李阿姨估算一下，她此时剩余的钱够不够买小鱼？够不够买大鱼？ 【说明】对于给定的数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界.为此，需要对给定的数量进行适当放大或缩小，凑整计算.此例中两个问题的核心都是估计用100元购物后的剩余金额，但两种估计 方法有所不同. 第一问“够不够买小鱼”需要估计剩余金额的下界（至少剩余多少元），如果下界超过15.8元，就够买小鱼.对于估计下界的问题, 购物金额要适当地放大.例如，买1袋面不超过31元，买2袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；总共不超过62+20=82（元），至少还剩100 -82=18（元）.所以，李阿姨剩余的钱买1条小鱼是够用的. 第二问“够不够买大鱼”需要估计剩余金额的上界（至多剩余多少元），如果上界不到25.2元，就不够买大鱼.对于估计上界的问题，购物金额要适当地缩小.例如，买1袋面至少要30元，买2袋 面至少要60元；买牛肉至少要19元；总共至少要60+19=79（元），至多还剩100-79=21（元）.所以，李阿姨剩余的钱不够买1条大鱼. 例19  用字母表示数量关系或规律 （1）小华比小明多5张漫画卡.如果小明有8张，小华有几张? 如果小明有12张呢？如果小明有若干张，怎样用字母表示小华有多少张漫画卡？ （2）我们学习过一些图形面积的计算公式，还学过加法和乘法的运算律，你能用字母表示这些计算公式和运算律吗？ （3）如图6, 1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3 张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可坐多少人？   【说明】这三个问题涉及用字母表示数量关系或规律. （1）教学时，可以先从具体数量入手：小明有8张、12张时, 小华的漫画卡数量应如何表示？如果小明有不知道具体数量的若干张时，小华的漫画卡数量可以表示为（5+a）,其中的字母a表示小明的漫画卡数量，是一个变化的值. （2）让学生探索用字母表示面积计算公式和运算律的过程，感悟用字母表示所得到的结果具有一般性. （3）让学生经历用字母表示变化规律的过程，培养符号意识.1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可 坐8人，以此类推，n张餐桌拼在一起可坐（2n+2）人. 例20  认识成正比的量 王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，如果购买2千克、3千 克……分别需要多少元？ 【说明】可以借助列表或者画图象的方法分析问题，例如，把计算的结果记录在表5中. 数量/千克 1 2 3 4 5 …… • 总价/元 5 10 15 20 25 … • 表5 买苹果的数量及总价 观察表5可以发现，随着购买苹果数量的增多，总价也增多，这两个量变化的最基本特征是：总价与数量的比值保持不变.可以把这个关系表示为,或者用符号表示为,这时称y和x为成正比的量. 例21  探索数量之间的变化规律 王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，购买2千克、3千克…分别需要多少元？探索其中的规律. 【说明】这是例20的延续.从例20的说明中可以知道，为了保证两个数量的比值保持不变，这两个数量必须一起变化.显然，也可以把这个表达式转化为y =5x的形式.这样的表达能够更好地体现“随着购买苹果数量的增多，总价也増多”的变化规律，这就是初中将要学习的正比例函数. 例22  圆周率的故事 通过讲述祖冲之计算圆周率的故事，让学生感知圆周率的逼近过程，同时，也理解小数的十进制名称的表达，感受中国古代数学家的杰出贡献. 【说明】据《隋书》卷十六《志》第十一《律历》记载，南北朝时期的祖冲之得到圆周率的结果是： 以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间.密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五.约率，圆径七，周二十二…所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理. 因此，祖冲之得到圆周率在3.1415926和3. 1415927之间；根据不同的需要，可近似取作 （约率）或（密率）.由此可以看到，祖冲之得到的圆周率精确到小数点后第6位，这个结果领先世界约1 000年之久. 特别值得指出，类似自然数的单位（如个、十、百、千、万等）， 祖冲之清晰地表达、定义了十进制的小数单位——尺、寸、分、厘、 毫、秒、忽，表述到小数点后七位.由此可见，中国古代人民对于小 数的理解和表达都是深刻的. 例23  用字母表示数量关系 回顾例19 （3）的情境，请用字母表示餐桌数与人数之间的关系. 【说明】引导学生用不同的字母分别表示餐桌数和人数，建立二者之间的关系.例如，用a表示餐桌数，b表示人数.根据问题的背景，可以建立关系式： b =2a + 2. 引导学生理解，如果知道两个量中的一个量，就可以通过对关系 式的四则运算得到另一个量.在上式中，如果a =2,那么b=6；如 果a =3,那么b=8.反之亦然.在这样的过程中，启发学生进一步感悟可以用字母表示数量关系，让学生初步经历通过具体数值的计算归纳一般关系的过程.