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1、1专题类型突破专题类型突破专题二专题二 探索规律问题探索规律问题类型类型一一 数式规律数式规律命题角度 数字规律探索(20182018泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】 依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可【自主解答】 解数式规律型问题的一般方法(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加 1 或减 1 等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分
2、数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第 n 项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果1 1(20172017百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，4，9，16，25，则第 11 个数是( )A121 B100 C100 D1212 2(20172017十堰中考)如图，10 个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，2如，表示 a1a2a3，则 a1的最小值
3、为( )A32 B36 C38 D403 3(20182018枣庄中考)将从 1 开始的连续自然数按如下规律排列：则 2 018 在第_行命题角度 数字循环类规律探索(20182018成都中考)已知 a0，S1 ，S2S11，S3，S4S31，S5，(即当 n 为1 a1 S21 S4大于 1 的奇数时，Sn；当 n 为大于 1 的偶数时，SnSn11)，按此规律，S2 1 Sn1018_【分析】 根据 Sn数的变化找出 Sn的值每 6 个一循环，结合 2 01833662，此题得解【自主解答】 3数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，
4、若和序号有关，则第 n 个数用含 n 的式子表示，用 n 除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果4 4(20172017岳阳中考)观察下列等式：212，224，238，2416，2532，2664，根据这个规律，则 2122232422 017的末位数字是( )A0 B2 C4 D65 5(20162016枣庄中考改编)一列数 a1，a2，a3，满足条件：a1 ，an(n2，且 n 为整数)，1 21 1an1则 a2 019_命题角度 等式规律探索(20182018滨州中考)观察下列各式：1，11 121 221 1 21，11 221 321 2 31，11 321 421 3
5、 4请利用你所发现的规律，计算，其结果为_11 121 2211 221 3211 321 4211 921 102【分析】 直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案【自主解答】 4探索等式规律的一般步骤(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第 n 个等式，并进行检验6 6(20182018黔南州中考)根据下列各式的规律，在横线处填空： 1 ， ， ， ，_1 11 21 21 31 41 21
6、 121 51 61 31 301 71 81 41 561 2 0171 2 0181 2 017 2 018.7 7(20182018安徽中考)观察以下等式：第 1 个等式： 1，1 10 21 10 2第 2 个等式： 1，1 21 31 21 3第 3 个等式： 1，1 32 41 32 4第 4 个等式： 1，1 43 51 43 5第 5 个等式： 1，1 54 61 54 6按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第 6 个等式：_；(2)写出你猜想的第 n 个等式：_(用含 n 的等式表示)，并证明类型类型二二 点的坐标规律点的坐标规律(20182018东营中考)如图，在平面直角
7、坐标系中，点 A1，A2，A3，和点 B1，B2，B3，分别在直线5y xb 和 x 轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果点 A1(1，1 )，那么点 A2 1 5018的纵坐标是 _.【分析】 因为每个 A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则延长直线交 x 轴、y 轴于点 N，M，构造直角三角形 MNO，作出各点 A 垂直于 x 轴，利用三角函数值求出各点 A 的纵坐标，找出规律可求解【自主解答】 根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化解决这类问题可
8、按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第 1 个点，第 2个点，第 3 个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第 M 个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第 M 个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为 n，用 Mnq(0qn)，则第 M 次变换与每个循环中第 q 次变换相同，再根据(2)中得到的第 M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第 M 个点的坐标8 8(20182018广州中考)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点
9、O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1 m其行走路线如图所示，第 1 次移动到 A1，第 2 次移动到 A2，第 n次移动到 An.则OA2A2 018的面积是( A )6A504 m2 B. m21 009 2C. m2 D1 009 m21 011 29 9(20182018威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为(1，2)，以点 O 为圆心，以 OA1长为半径画弧，交直线 y x 于点 B1.过 B1点作 B1A2y 轴，交直线 y2x 于点 A2，以点 O 为圆心，以 OA2长为1 2半径画弧，交直线 y x 于点 B2；过点 B2作 B2A3y
10、 轴，交直线 y2x 于点 A3，以点 O 为圆心，以 OA3长1 2为半径画弧，交直线 y x 于点 B3；过 B3点作 B3A4y 轴，交直线 y2x 于点 A4，以点 O 为圆心，以 OA41 2长为半径画弧，交直线 y x 于点 B4，按照如此规律进行下去，点 B2 018的坐标为_1 2类型类型三三 图形累加型变化规律图形累加型变化规律(20172017潍坊中考)如图，自左至右，第 1 个图由 1 个正六边形、6 个正方形和 6 个等边三角形组成；第 2 个图由 2 个正六边形、11 个正方形和 10 个等边三角形组成；第 3 个图由 3 个正六边形、16 个正方7形和 14 个等边
11、三角形组成；按照此规律，第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为_个【分析】 根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论【自主解答】 找图形累加型变化规律的一般步骤(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，n”；(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数 n 的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数1010(20182018重庆中考)下列图形都是由同样大小
12、的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有 3 张黑色正方形纸片，第个图中有 5 张黑色正方形纸片，第个图中有 7 张黑色正方形纸片，按此规律排列下去第个图中黑色正方形纸片的张数为( )A11 B13 C15 D171111(20182018自贡中考)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 018 个图形共有_个.8类型类型四四 图形成倍递变型变化规律图形成倍递变型变化规律(20172017绥化中考)如图，顺次连接腰长为 2 的等腰直角三角形各边中点得到第 1 个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第 2 个小三角形，如此操作下去，则第 n 个小三角形的面
13、积为_【分析】 记原来三角形的面积为 S，第一个小三角形的面积为 S1，第二个小三角形的面积为 S2，求出 S1，S2，S3，探究规律后即可解决问题【自主解答】 对于求面积规律探索问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积 S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第 M 次变换后图形的面积1212(20172017内江中考)如图，过点 A0(2，0)作直线l：yx 的垂线，垂足为点 A1，过点 A1作 A1A2x33轴，垂足为点 A2，
14、过点 A2作 A2A3l，垂足为点 A3，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，则线段 A2 016A2 017的长为( )9A()2 015 B()2 016 C()2 017 D()2 018323232321313(20182018潍坊中考)如图，点 A1的坐标为(2，0)，过点 A1作 x 轴的垂线交直线l：yx 于点 B1，3以原点 O 为圆心，OB1的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2作 x 轴的垂线交直线l于点 B2，以原点 O 为圆心，以 OB2的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3；.按此作法进行下去，则的长是_参考答案类型一【例 1
15、1】 观察“田”字中各数之间的关系得：左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为 2 的整数指数幂；右下角数字则为左上角与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与 1 的差故此，可知a28256，b15256271，c2711270.故答案为 270.变式训练1B 2.D 3.45【例 2 2】 10S1 ，S2S11 1，S3，S4S311，S51 a1 aa1 a1 S2a a1a a11 a11 S4(a1)，S6S51(a1)1a，S7 ，1 S61 aSn的值每 6 个一循环2 01833662，S2 018S2.a1 a故答案为.a1 a变式训练4B 5.1【例 3 3】 11 1
16、21 2211 221 3211 321 4211 921 10211111 1 21 2 31 3 41 9 10191 1 21 21 31 31 41 91 10911 109.9 10故答案为 9.9 10变式训练6. 1 1 0097解：(1) 11 65 71 65 7(2)根据题意，第 n 个分式分母分别为 n 和 n1，分子分别为 1 和 n1，故答案为 1.1 nn1 n11 nn1 n1证明： 1，等式成立1 nn1 n11 nn1 n1n1n（n1）（n1） n（n1）n2n n（n1）类型二【例 4 4】 A1(1，1)在直线 y xb 上，1 5b ，直线解析式为 y
17、 x .4 51 54 5设直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为点 N，M.11当 x0 时，y ；4 5当 y0 时， x 0，1 54 5解得 x4，点 M，N 的坐标分别为 M(0， )，N(4，0)，4 5tanMNO .MO NO4 5 41 5如图，作 A1C1x 轴于点 C1，A2C2x 轴于点 C2，A3C3x 轴于点 C3.A1(1，1)，OB12A1C12，tanMNO ，A2C2 NC2A2C2 NOOB1A2C2A2C2 42A2C21 5A2C2 .3 2同理，A3C3 ( )2，A4C4( )3，9 43 227 83 2依此类推，点 A2 018的纵坐标是( )
18、2 017.3 2故答案为( )2 017.3 2变式训练8A 9.(22 018，22 017)类型三【例 5 5】 第 1 个图由 6 个正方形和 6 个等边三角形组成，正方形和等边三角形的个数之和为 661293；第 2 个图由 11 个正方形和 10 个等边三角形组成，正方形和等边三角形的个数之和为 111021923；第 3 个图由 16 个正方形和 14 个等边三角形组成，正方形和等边三角形的个数之和为 161430933；第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n3.12故答案为 9n3.变式训练10B 11.6 055类型四【例 6 6】 记原来三角形的面积为 S，第一个小三角形的面积为 S1，第二个小三角形的面积为 S2，.S1 SS，S2 SS，1 41 221 41 41 24S3S，1 26SnS 22.故答案为.1 22n1 22n1 21 22n11 22n1变式训练12B 13.22 019 3