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1、专题三数列第1讲等差数列和等比数列命题角度素养清单真题示例典例回顾等差数列的计算与证明逻辑推理数学运算数学建模2021全国甲，182021全国乙，192020山东，142020北京，82019全国，182019全国，141.(2020山东)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_.2(2021全国甲)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.等比数列的计算与证明逻辑推理数学运算数学建模2020山东，182020全
2、国，102019全国，142019全国，182019全国，63.(2020全国)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A.12B24 C30D324(2020山东)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.(1)求an的通项公式；(2)记bm为an在区间(0，m(mN*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S100.1.解析 数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13，；数列3n2的各项为1,4,7,10,13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.故an的前n项和为Sn3n
3、22n.答案 3n22n2解析 选作条件证明：设anb(a0)，则Sn(anb)2，当n1时，a1S1(ab)2；当n2时，anSnSn1(anb)2(anab)2a(2ana2b)因为an也是等差数列，所以(ab)2a(2aa2b)，解得b0，所以ana2(2n1)，所以a23a1.选作条件证明：因为a23a1，an是等差数列，所以公差da2a12a1，所以Snna1dn2a1，即n，因为(n1)n，所以是等差数列选作条件证明：设anb(a0)，则Sn(anb)2，当n1时，a1S1(ab)2；当n2时，anSnSn1(anb)2(anab)2a(2ana2b)因为a23a1，所以a(3a2
4、b)3(ab)2，解得b0或b.当b0时，a1a2，ana2(2n1)，当n2时，anan12a2满足等差数列的定义，此时an是等差数列；当b时，anban，0不合题意，舍去综上可知an是等差数列3D解析 设等比数列an的公比为q，则q2，所以a6a7a8(a1a2a3)q512532.故选D项4解析 (1)设an的公比为q.由题设得a1qa1q320，a1q28，解得q(舍去)，q2.由题设得a12.所以an的通项公式为an2n.(2)由题设及(1)知b10，且当2nm2n1时，bmn.所以S100b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b32b33b63)(b64b65b100)012222
5、3234245256(10063)480.题型一 等差数列有关问题1解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列an中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式ana1(n1)d和前n项和公式Snna1d，在两个公式中共涉及a1，d，n，an，Sn五个量，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量2等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是
6、等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为m2d.(5)S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解(6)若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.(8)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(9)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.1若数列an为
7、等差数列，Sn为其前 n项和，且a12a33，则S9()A25 B27 C50 D54B解析 设等差数列an的公差为d，a12a332a14d3，即a14d3，所以a5a14d3，所以S99a527.故选B项2在等差数列an中，若a1，a2 021为方程x210x160的两根，则a2a1 011a2 020()A10 B15 C20 D40B解析 因为a1，a2 021为方程x210x160的两根，所以a1a2 02110.由等差数列的性质可知，a1 0115，a2a2 020a1a2 02110，所以a2a1 011a2 02010515.故选B项3(2020北京)在等差数列an中，a19，
8、a51.记Tna1a2an(n1,2，)，则数列Tn( )A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项B解析 由得解得d2.所以an2n11，Tn(9)(7)(2n11)当n5时，an0，当n5时，an0，故T10，T20，T30，T40，T50，T60，Tn0.故有最大项T4，无最小项故选B项4(2021全国乙)记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式解析 (1)证明：由2得Sn，且bn0，bn，取n1，由S1b1得b1，因为bn为数列Sn的前n项积，所以bn，所以bn1，所以
9、，因为bn10，所以，即bn1bn，其中nN*，所以数列bn是以b1为首项，以d为公差的等差数列(2)由(1)可得，数列bn是以b1为首项，以d为公差的等差数列，所以bn(n1)1，Sn.当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1，显然对于n1不成立所以an题型二 等比数列有关问题1解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.2等比
10、数列的性质(1)若mnpq，则amanapaq.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)当q1(或q1且k为奇数)时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列，其公比为qk.5记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.解析 设等比数列an的公比为q，由已知a1，aa6，可得2q5，又q0，所以q3，所以S5.答案 6(2021辽宁模拟)5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式
11、带来巨大的变化目前我国最高的5G基站海拔6 500米从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为_.解析 设这些工程队承建的基站数构成数列an，则由题可得anan1an1，故an是以为公比的等比数列，所以S810，解得a1.答案 7若存在等比数列an，使得a1(a2a3)6a19，则公比q的取值范围为_.解析 因为a2a3a1(qq2)，所以a(qq2)6a190.当qq20时，易知q1满足题意，q0舍去；当qq20时，3636(qq2
12、)0，解得q.综上，q的取值范围为.答案 8(2019全国)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解析 (1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80，解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为132n1n2.题型三 等差数列、等比数列的综合问题1等比数列、等差数列的常用判定方法方法等差数列等比数列定义法anan1(n2，nN*)为同一常数q(q为非零常数，nN*)中项公式法2an1anan2(
13、n3，nN*)an0且aanan2(nN*)通项公式法anpnq(p，q为常数)ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)2.等比数列、等差数列综合问题的解题思路是选择一种数列作为主体，把另一种数列的条件转化到主体数列上9已知an是等差数列，bn是正项等比数列，且b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6，则a2 021b9()A2 277 B2 077C2 227 D2 027A解析 设等差数列an的公差为d，正项等比数列bn的公比为q0，因为b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6，所
14、以q2q2，q32a16d，q43a113d，解得q2，a1d1，则a2 021b912 020282 277.故选A项10已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解析 (1)证明：由题意可知4an13anbn4,4bn13bnan4，a1b11，a1b11，所以4an14bn13anbn43bnan42an2bn，即an1bn1(anbn)，所以数列anbn是首项为1、公比为的等比数列，所以anbnn1.因为4an14bn13anbn4(3bnan4)4an4bn8，所以
15、an1bn1anbn2，所以数列anbn是首项为1、公差为2的等差数列，所以anbn2n1.(2)由(1)可知，anbnn1，anbn2n1，所以an(anbnanbn)n，bnanbn(anbn)n.11已知等差数列an满足(a1a2)(a2a3)(anan1)2n(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn中，b11，b22，从数列an中取出第bn项记为cn，若cn是等比数列，求bn的前n项和Tn.解析 (1)由等差数列an满足(a1a2)(a2a3)(anan1)2n(n1)(nN*)，可得a1a24，a1a2a2a312，设等差数列的公差为d，可得2a1d4，4a14d
16、12，解得a11，d2，则an12(n1)2n1.(2)由题意可得c1ab1a11，c2ab2a23，所以数列cn的公比为3，所以cn3n1，由cnabn2bn1，可得bn(13n1)，所以bn的前n项和Tn(133n1)nn.1(2019全国)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8C4 D2C解析 设各项均为正数的等比数列an的公比为q，则解得所以a3a1q24.故选C项2在等差数列an中，a3，a9是方程x224x120的两根，则数列an的前11项和等于()A66 B132C66 D132D解析 因为a3，a9是方程x224x120的两根
17、，所以a3a924，又a3a9242a6，所以a612，所以S11132.故选D项3设Sn是等比数列an的前n项和，若，则_.解析 因为Sn是等比数列an的前n项和，所以Sn，因为，所以，整理得1q53，即得q52，所以.答案 4设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN*，Sk2，Sk，Sk1成等差数列解析 (1)设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3.由a10，q0，得q2q20，解得q12，q21(舍去)所以q2.(2)证明：对任意kN
18、*，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以对任意kN*，Sk2，Sk，Sk1成等差数列5已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，满足a1a210，S540.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn|13an|，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)设等差数列an的公差为d，由题意知，a1a22a1d10，S55a340，即a38，所以a12d8，所以所以an42(n1)2n2.(2)令cn13an112n，则bn|cn|112n|设数列cn的前n项和为Qn，则Qnn210n.当n5时，Tnb1b2bnQnn210n；当n6时，Tnb1b2bnc1c2c5(c6c7cn)Qn2Q5n210n2(52105)n210n50.所以Tn