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1、工程力学第九章扭转第1页，本讲稿共27页一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系式中：式中：P 功率，千瓦功率，千瓦(kW)n 转速，转转速，转/分分(r/min)M 外力偶矩，牛顿外力偶矩，牛顿米米(Nm)92 动力传递与动力传递与扭矩扭矩可知：可知：P 一定时，一定时，n ，M 工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上的外力偶矩：的外力偶矩：如：一万吨轮，如：一万吨轮，P=7060 kW，n=119 r/min，则：，则：第2页，本讲稿共27页mmx二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩
2、图 T1.扭矩扭矩Mmm规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：截面法：截面法：MM设横截面上的内力偶矩为设横截面上的内力偶矩为T：S S Mx=0 T M=0 T=M 称称 T 为扭矩为扭矩，为横截面上内力的合力偶矩。，为横截面上内力的合力偶矩。2.扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。第3页，本讲稿共27页 B C A D例例1 已知一传动轴，已知一传动轴，n=300 r/min，主动轮输入，主动轮输入 PA=500 kW，从动轮输出从动轮输出 PB=150 kW，PC=150 kW，PD=2
3、00 kW。试绘制轴的扭矩图。试绘制轴的扭矩图。nMB MC MA MD解：解：(1)计算外力偶矩计算外力偶矩第4页，本讲稿共27页 B C A DMB MC MA MD(2)各段扭矩各段扭矩n112233BC段：截面段：截面1-1 B11MBT1S S Mx=0 T1+MB=0 T1=MB=4.775 kNm CA段：截面段：截面2-2S S Mx=0 T2+MB+MC=0 T2=MB MC=9.55 kNm AD段：截面段：截面3-3S S Mx=0 T3 MD=0 T3=MD=6.336 kNm B C22T2MBMCD33T3MD第5页，本讲稿共27页(3)绘制扭矩图绘制扭矩图 CA
4、段为危险截面：段为危险截面：4.7759.556.336 B C A DMB MC MA MDBACD|T|max=9.55 kNm+-T1=4.775 kNm T2=9.55 kNm T3=6.336 kNm xT第6页，本讲稿共27页三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 =Gg g称为剪切胡克定律。称为剪切胡克定律。p：材料的剪切比例极限；：材料的剪切比例极限；G：材料的切变模量，单位：材料的切变模量，单位：GPa钢钢 ：G=80 80 GPa对各向同性材料，有对各向同性材料，有第7页，本讲稿共27页94 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。为计算
5、圆轴横截面扭转切应力的基本公式。第8页，本讲稿共27页为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。一、最大扭转切应力一、最大扭转切应力在圆轴表层：在圆轴表层：max=R，有最大切应力：，有最大切应力：令令称为横截面的称为横截面的抗扭截面系数抗扭截面系数，单位：，单位：m3，mm3。注意：公式只适用于弹性变形范围内的注意：公式只适用于弹性变形范围内的圆圆截面直杆。截面直杆。第9页，本讲稿共27页OD二、极惯性矩与抗扭截面系数二、极惯性矩与抗扭截面系数1、实心圆截面、实心圆截面 d 单位：单位：m4，cm4，mm4。单位：单位：m3，cm3，mm3。第10页，本讲稿
6、共27页2、空心圆截面、空心圆截面外径：外径：D 内径：内径：d可求得：可求得：DOd第11页，本讲稿共27页三、圆轴扭转时的强度条件三、圆轴扭转时的强度条件强度条件：强度条件：对等截面圆轴：对等截面圆轴：(1)强度校核强度校核(2)设计截面尺寸设计截面尺寸(3)确定许可载荷确定许可载荷最大工作应力不超过材料的扭转许用切应力。最大工作应力不超过材料的扭转许用切应力。圆轴扭转强度计算：圆轴扭转强度计算：由由得：得：第12页，本讲稿共27页例例 功率为功率为 150kW，转速为，转速为 924 r/min的电动机转子轴如图，的电动机转子轴如图，材料许用切应力材料许用切应力 =30 MPa。试校核其
7、强度。试校核其强度。1550 Nm解：解：(1)确定确定外力偶矩外力偶矩(3)校核强度校核强度 此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。Tx(2)扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图作扭矩图。作扭矩图。D3=135D2=75D1=70ABCMMTBC=M=1550 kNm 第13页，本讲稿共27页一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形对同材料等截面圆轴，只在两端有外力偶作用时，对同材料等截面圆轴，只在两端有外力偶作用时，T、Ip 不变：不变：95 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件为圆为圆轴扭转角计算公式轴扭转角计算公式。f f 单位：弧度单位：弧度(rad)。称称GIp 为圆轴截面的为圆轴截面的
8、抗扭刚度抗扭刚度。第14页，本讲稿共27页二、圆轴扭转刚度条件二、圆轴扭转刚度条件 ：rad/m，：/m对一般传动轴：对一般传动轴：=(0.51.0)/m当圆轴的当圆轴的 T、Ip 分段变化时：分段变化时：单位长度扭转角单位长度扭转角 ：在工程上限制在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角，使其不超过许用扭转角 ：对精密机械的轴：对精密机械的轴：=(0.250.50)/m第15页，本讲稿共27页三种类型的刚度计算：三种类型的刚度计算：(1)校核轴的刚度校核轴的刚度(2)设计轴的直径设计轴的直径(3)确定许可载荷确定许可载荷按刚度条件确定轴直径时：按刚度条件确定轴直径时：由由得：得：在同时按强度条件
9、和刚度条件设计轴直径时，应选择其中较大在同时按强度条件和刚度条件设计轴直径时，应选择其中较大的直径。的直径。第16页，本讲稿共27页例例 已知一传动轴，已知一传动轴，n=300 r/min，主动轮输入，主动轮输入 PA=500 kW，从动轮输出从动轮输出 PB=150 kW，PC=150 kW，PD=200 kW。如果许用切应力如果许用切应力 =30 MPa，=0.3/m，G=80 GPa。试按强度条件和刚度条件设计轴的直径试按强度条件和刚度条件设计轴的直径 D。B C A DMB MC MA MD第17页，本讲稿共27页例例1 已知一传动轴，已知一传动轴，n=300 r/min，主动轮输入，
10、主动轮输入 PA=500 kW，从动轮输出从动轮输出 PB=150 kW，PC=150 kW，PD=200 kW。试绘制轴的扭矩图。试绘制轴的扭矩图。n B C A DMB MC MA MD解：解：(1)计算外力偶矩计算外力偶矩第18页，本讲稿共27页 B C A DMB MC MA MD(2)各段扭矩各段扭矩n112233BC段：截面段：截面1-1 B11MBT1S S Mx=0 T1+MB=0 T1=MB=4.775 kNm CA段：截面段：截面2-2S S Mx=0 T2+MB+MC=0 T2=MB MC=9.55 kNm AD段：截面段：截面3-3S S Mx=0 T3 MD=0 T3
11、=MD=6.336 kNm B C22T2MBMCD33T3MD第19页，本讲稿共27页(3)绘制扭矩图绘制扭矩图 CA 段为危险截面：段为危险截面：4.7759.556.336 B C A DMB MC MA MDBACD|T|max=9.55 kNm+-T1=4.775 kNm T2=9.55 kNm T3=6.336 kNm xT第20页，本讲稿共27页 B C A DMB MC MA MDCA 段：段：|T|max=9.55 kNm。(1)强度条件强度条件(2)刚度条件刚度条件 D 12.34 cm，圆整，取圆整，取 D=12.5 cm 第21页，本讲稿共27页例例2 2 某汽车的主某
12、汽车的主传动轴用传动轴用40钢钢管制成，钢管外径，钢钢管制成，钢管外径，D=76 mm，壁厚壁厚 d d=2.5 mm，轴传递转矩，轴传递转矩 M=1.98 kNm。材料的许用切。材料的许用切 应力应力 =100 MPa，G=80 GPa，轴轴 =2/m。试校核该轴的强度和刚度。试校核该轴的强度和刚度。解：解：(1)轴的扭矩轴的扭矩M MT=M=1.98 kNm。(2)强度校核强度校核 满足强度要求。满足强度要求。(3)刚度校核刚度校核 满足刚度要求。满足刚度要求。第22页，本讲稿共27页例例3 如将如将例例2中的空心轴改为同一材料的实心轴，且仍使中的空心轴改为同一材料的实心轴，且仍使 max
13、=96.4 MPa。试确定实心轴的直径试确定实心轴的直径 d，并比较两者的重量。，并比较两者的重量。解：解：(1)确定实心轴的直径确定实心轴的直径 dM M(2)比较两者的重量比较两者的重量 两者的重量比两者的重量比空心轴：空心轴：实心轴：实心轴：第23页，本讲稿共27页可知：此时在承载能力相同的条件下，可知：此时在承载能力相同的条件下，空心轴的重量只为实心空心轴的重量只为实心 轴轴的的 1/3，比实心轴节省材料。比实心轴节省材料。min 空心圆截面是轴的合理截面，可提高扭空心圆截面是轴的合理截面，可提高扭 转强度和刚度，且节约材料，重量轻。转强度和刚度，且节约材料，重量轻。第24页，本讲稿共
14、27页例例4 某传动轴转速某传动轴转速 n=500 r/min，输入功率，输入功率 P1=370 kW，输出，输出 功率分别功率分别 P2=148 kW及及 P3=222 kW。已知：已知：G=80 GPa，=70 MPa，=1/m。试确定：试确定：解：解：(1)外力偶矩、扭矩图外力偶矩、扭矩图7.066 4.24Tx(kNm)作扭矩图作扭矩图：(1)AB 段直径段直径 d1 和和 BC 段直径段直径 d2？(2)若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？500400ACBP1P3P2第25页，本讲稿共27页由强度条件
15、：由强度条件：(2)AB 段直径段直径 d1 和和 BC 段直径段直径 d2由刚度条件：由刚度条件：取取 AB段直径：段直径：d1=85 mm，BC段直径段直径：d2=75 mm7.066 4.24Tx(kNm)500400ACBP1P3P2第26页，本讲稿共27页(3)若全轴选同一直径时若全轴选同一直径时 取取：d=85 mm(4)主动轮与从动轮如何安排合理主动轮与从动轮如何安排合理将将主动轮主动轮A设置在从动轮之间：设置在从动轮之间：此时轴的扭矩图此时轴的扭矩图为：为：|T|max=4.24 kNm 轴的轴的直径：直径：d=75 mm较为合理。较为合理。7.066 4.24Tx(kNm)500400BCA 4.24Tx(kNm)P1P2P32.826500400ACBP1P3P2第27页，本讲稿共27页