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1、生命函数与生命表理论第1页，本讲稿共27页寿命的生存函数寿命的生存函数随机变量随机变量X的生存函数的生存函数假定寿命极限为假定寿命极限为w，满足：，满足：新生儿将在新生儿将在x岁至岁至z岁之间死亡的概率岁之间死亡的概率第2页，本讲稿共27页例例 假设某人群的生存函数为假设某人群的生存函数为 求：求：（1）刚出生婴儿活过）刚出生婴儿活过60岁的概率；岁的概率；（3）活到）活到40岁的人活不到岁的人活不到70岁的概率；岁的概率；寿命的密度函数寿命的密度函数概率意义为在概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；点附近极小区间失效的速率；满足属性：满足属性：（2）刚出生婴儿在）刚出生婴儿在7080岁间死
2、亡的概率；岁间死亡的概率；第3页，本讲稿共27页第二节第二节 剩余寿命剩余寿命x岁的人（简记岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命，记作），继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x).剩余寿命分布函数剩余寿命分布函数寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率，后者是条寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率，后者是条件概率；件概率；第4页，本讲稿共27页特别地特别地.第5页，本讲稿共27页剩余寿命的生存函数剩余寿命的生存函数特别地特别地.第6页，本讲稿共27页例例 假设某人群的生存函数为假设某人群的生存函数为 求：求：（1）39岁的人至少还能再活岁的人至少还能再活45
3、年的概率；年的概率；（2）56岁的人能活过岁的人能活过71岁但活不过岁但活不过84岁的概率岁的概率.第7页，本讲稿共27页期望剩余寿命：剩余寿命的期望值期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值均值),简记简记剩余寿命的方差：剩余寿命的方差：剩余寿命的期望和方差剩余寿命的期望和方差例例.已知已知 计算：计算：第8页，本讲稿共27页(x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记未来存活的完整年数（整值余寿），简记第三节第三节 整值剩余寿命整值剩余寿命整值余寿的分布函数整值余寿的分布函数整值余寿的生存函数整值余寿的生存函数整值余寿的密度函数整值余寿的密度函数第9页，本讲稿共27页整值余寿的期望与方差整值余寿
4、的期望与方差整值剩余寿命的期望值整值剩余寿命的期望值中值余寿中值余寿(m(x)是余寿是余寿T(x)的中值的中值整值剩余寿命的方差整值剩余寿命的方差均匀分布下均匀分布下第10页，本讲稿共27页瞬时死亡率，简记瞬时死亡率，简记死亡效力曲线称为死亡效力曲线称为“浴盆曲线浴盆曲线”第四节第四节 死亡效力死亡效力死亡效力与生存函数关系：死亡效力与生存函数关系：例例 设死亡力度设死亡力度第11页，本讲稿共27页死亡效力表示剩余寿命的密度函数死亡效力表示剩余寿命的密度函数例例.如果如果40岁以前死亡效力恒定为岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力提高到岁之后死亡效力提高到0.06，求，求25岁的人
5、未来的期望存活时间。岁的人未来的期望存活时间。在未来在未来25年内的期望存活时间年内的期望存活时间第12页，本讲稿共27页第五节第五节 有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型De Moivre模型模型(1729)Gompertze模型模型(1825)第13页，本讲稿共27页Makeham模型模型(1860)Weibull模型模型(1939)第14页，本讲稿共27页第六节第六节 生命表生命表Halley生命表起源生命表起源生命表的理论基础生命表的理论基础生命表的构造生命表的构造存活到存活到x岁的期望个数；岁的期望个数；在在x与与x+t之间死亡的期望人数；之间死亡的期望人数；特别：特别：t=
6、1时，记作时，记作第15页，本讲稿共27页在在x与与x+t之间死亡概率；之间死亡概率；特别：特别：t=1时，记作时，记作在在x与与x+t之间存活概率；之间存活概率；第16页，本讲稿共27页x岁的人在岁的人在x与与x+t岁之间生存的总年数；岁之间生存的总年数；x岁的人群剩余寿命总和；岁的人群剩余寿命总和；特别：特别：t=1时，有时，有中位死亡率：中位死亡率：x岁的人平均每存活一年会发生的死亡数；岁的人平均每存活一年会发生的死亡数；第17页，本讲稿共27页x岁人群的平均余寿；岁人群的平均余寿；x岁人群的整值余寿；岁人群的整值余寿；平均生存年数：指在年龄平均生存年数：指在年龄xx+1岁之间死亡的人，
7、在这岁之间死亡的人，在这一年中的平均生存时间。一年中的平均生存时间。第18页，本讲稿共27页例已知例已知1）该人群在）该人群在95岁时的期望剩余寿命；岁时的期望剩余寿命；2）该人群在）该人群在95岁时的中位死亡率；岁时的中位死亡率；第19页，本讲稿共27页选择生命表：选择生命表：一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，而且随已一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动投保年限长短变动.编制的生命表称为选择生命表编制的生命表称为选择生命表.把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为选择效果称为选择效果明显期明显期.表示表示x
8、岁加入保险、经过岁加入保险、经过n年在年在x+n岁的死亡概率岁的死亡概率.若选择期为若选择期为r年，投保期超过年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等年的同一年龄上的死亡概率相等.终极表：终极表：依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命表依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命表.第七节第七节第七节第七节 选择选择选择选择-终极生命表终极生命表终极生命表终极生命表第20页，本讲稿共27页选择和终极表：选择和终极表：选择效果和终极表合在一起选择效果和终极表合在一起.表表2-3例例.假定两位老人今年都是假定两位老人今年都是65岁，甲老人是今年刚刚体检合格岁，甲老人是今年刚刚体检合格购买
9、的保险，乙老人是购买的保险，乙老人是10年前购买的保险，至今仍在保障范围年前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用表内。使用表2-3的选择的选择-终极生命表估计两位老人分别活到终极生命表估计两位老人分别活到73岁岁的概率。的概率。第21页，本讲稿共27页第八节第八节 有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设基本原理基本原理:插值法插值法1）均匀分布假定）均匀分布假定(线性插值线性插值)2）常数死亡力假定）常数死亡力假定(几何插值几何插值)3）Balducci假定假定(调和插值调和插值)第22页，本讲稿共27页均匀分布假定均匀分布假定(线性插值线性插值)常数死亡力假定常数死亡力假定(几何插值几何插值)
10、Balducci假定假定(调和插值调和插值)第23页，本讲稿共27页函数均匀分布常数死亡力Ballducci三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数第24页，本讲稿共27页例例.已知已知 分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：第25页，本讲稿共27页（补充练习）某人头上仅剩（补充练习）某人头上仅剩3根头发，并且他不再长任何头发。根头发，并且他不再长任何头发。（1）每根头发）每根头发(x)未来的死亡服从：未来的死亡服从：（2）头发）头发(x)脱落在每年内服从脱落在每年内服从Balducci假设；假设；（3）三根头发寿命独立。）三根头发寿命独立。求此人在求此人在x+2.5岁成为光头的可能性。岁成为光头的可能性。第26页，本讲稿共27页（补充作业）某先生今年（补充作业）某先生今年25岁，死亡服从岁，死亡服从De Moivre规则，极规则，极限年龄为限年龄为100岁，若他在下一年从事登山运动时，则假设他的岁，若他在下一年从事登山运动时，则假设他的死亡假设在下一年内变为常值死力为死亡假设在下一年内变为常值死力为0.12(只登山一年只登山一年)，则若，则若从事登山运动，他在从事登山运动，他在11年内的预期寿命将减少多少时间？年内的预期寿命将减少多少时间？第27页，本讲稿共27页