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1、单步法的收敛性和稳定性第1页，本讲稿共11页8.3.1 单步法的收敛性单步法的收敛性 数值解法的基本思想就是要通过某种离散化方法，将微分方程转化为某种数值解法的基本思想就是要通过某种离散化方法，将微分方程转化为某种差分方程（例如，（差分方程（例如，（8.1.8）式）来求解。这种转化是否合理，还要看差分方程）式）来求解。这种转化是否合理，还要看差分方程的解的解 ，是否收敛到微分方程的准确解，是否收敛到微分方程的准确解 。定义定义8.3 对于任意固定的对于任意固定的 ，若对于初值问题（，若对于初值问题（8.1.1）的显式）的显式单步法（单步法（8.1.8）产生的近似解）产生的近似解 ，均有，均有
2、，则，则称该方法是称该方法是收敛的收敛的。在定义中，在定义中，是固定的点，当是固定的点，当 时有时有 ，n不是固定的。显不是固定的。显然，若方法是收敛的，则在固定点然，若方法是收敛的，则在固定点 处的整体截断误差处的整体截断误差 趋趋于零。下面给出方法收敛的条件。于零。下面给出方法收敛的条件。定理定理8.1设初值问题（设初值问题（8.1.11）的单步法（）的单步法（8.1.8）是）是p阶的（阶的（），），且函数满足对且函数满足对y的的Lipschitz条件即存在常数条件即存在常数 ，使，使第2页，本讲稿共11页对一切对一切 成立，则方法（成立，则方法（8.1.8）收敛，且）收敛，且 。因为（因
3、为（8.1.8）是）是p阶的，所以存在阶的，所以存在 ，当，当 时有时有 。再用再用 的的Lipschitz条件有条件有为了方便，记为了方便，记 ，即有，即有 。由此可推得。由此可推得证证 仍记仍记 ，根据局部截断误差的定义，根据局部截断误差的定义将此式与（将此式与（8.1.8）相减得）相减得第3页，本讲稿共11页利用关系式利用关系式可以得到可以得到现在取现在取 ，有，有 ，于是有，于是有 。定理得证。定理得证。容易证明，如果（容易证明，如果（8.1.1）的）的 满足满足Lipschitz条件是条件是,且初值是正确的，则显且初值是正确的，则显示示Euler法、改进的法、改进的Euler法和法和
4、R-K方法是收敛的。由定理方法是收敛的。由定理8.1说明说明,f关于关于y满足满足Lipschitz条件是使单步收敛的充分条件，而且，还说明一个方法的整体截断误差条件是使单步收敛的充分条件，而且，还说明一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶。所以，常常通过比局部截断误差低一阶。所以，常常通过求出局部截断误差去了解整体截断误差的大小。求出局部截断误差去了解整体截断误差的大小。单步法的显式形式（单步法的显式形式（8.1.8）可写成）可写成 （8.3.1）第4页，本讲稿共11页称称 为增量函数。对于收敛的方法，固定为增量函数。对于收敛的方法，固定 ，有，有 从而从而 。对于（。对于（8.3.1）
5、，我们自然要考虑），我们自然要考虑 是否成立。这就是相容性问题。是否成立。这就是相容性问题。则称方法（则称方法（8.1.8）与初值问题（）与初值问题（8.1.1）是相容的。）是相容的。相容性说明数值计算的差分方程（相容性说明数值计算的差分方程（8.3.1）趋于（）趋于（8.1.1）中微分方程。我们本章）中微分方程。我们本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的。讨论的数值方法都是与原初值问题相容的。定义定义8.4若方法（若方法（8.1.8）的增量函数）的增量函数 满足满足 第5页，本讲稿共11页8.3.2 单步法的稳定性单步法的稳定性 对于一种收敛的相容的差分方程，由于计算过程中舍入误差总会存在
6、，我们对于一种收敛的相容的差分方程，由于计算过程中舍入误差总会存在，我们需要讨论其数值稳定性。一个不稳定的差分方程会使计算解失真或计算失败。需要讨论其数值稳定性。一个不稳定的差分方程会使计算解失真或计算失败。为了讨论方便起见。将（为了讨论方便起见。将（8.1.1）中的）中的 在解域内某一点在解域内某一点 作作Taylor展开并局部线性化，即展开并局部线性化，即令令利用线性化的关系，可得利用线性化的关系，可得 。因此，我们通过如下的。因此，我们通过如下的试验方程试验方程第6页，本讲稿共11页（8.3.2）讨论数值方法的稳定性。当某一步讨论数值方法的稳定性。当某一步 有舍入误差时，若以后的计算中不
7、会逐步有舍入误差时，若以后的计算中不会逐步扩大，则称这种稳定性为扩大，则称这种稳定性为绝对稳定性绝对稳定性。现在讨论显式现在讨论显式Euler法的稳定性。将显式法的稳定性。将显式Euler法用于试验方程（法用于试验方程（8.3.2），有），有 。当。当 有舍入误差时，其近似值为有舍入误差时，其近似值为 ，从而有，从而有 。令。令 ，得到误差传播方程。，得到误差传播方程。令令 ，只要，只要 ，则显式，则显式Euler方法的解和误差都不会恶性方法的解和误差都不会恶性发展，即发展，即 时，显式时，显式Euler方法是稳定的，即是条件稳定的。方法是稳定的，即是条件稳定的。对于梯形方法，应用于试验方程后
8、，有对于梯形方法，应用于试验方程后，有第7页，本讲稿共11页同理，有误差方程同理，有误差方程 ，其中，其中 。因此当因此当 时，梯形方法是稳定的。时，梯形方法是稳定的。一般地，在试验方程（一般地，在试验方程（8.3.2）中，我们只考虑）中，我们只考虑 的情形，而对的情形，而对 的情形，我们认为微分方程是不稳定的。比如，将显式的情形，我们认为微分方程是不稳定的。比如，将显式Euler方法用于（方法用于（8.1.1）中的方程，有中的方程，有当当 时，有时，有 。对于每一种单步法应用于试验方程（对于每一种单步法应用于试验方程（8.3.2），可得），可得 （8.3.3）然而，对于不同的单步法，然而，对
9、于不同的单步法，有不同的表达式。有不同的表达式。第8页，本讲稿共11页定义定义8.5 若（若（8.3.3）式中的）式中的 ，则称对应的单步法是绝对稳定的。在复，则称对应的单步法是绝对稳定的。在复平面上，平面上，满足满足 的区域，称为方法的绝对稳定区域，它与实轴的交的区域，称为方法的绝对稳定区域，它与实轴的交称为称为绝对稳定区间绝对稳定区间。一些单步法的一些单步法的 表达式和它们的绝对稳定区间列于表表达式和它们的绝对稳定区间列于表8-4。从表中可见，。从表中可见，隐式方法比显式方法的绝对稳定性好。隐式方法比显式方法的绝对稳定性好。表表 8-4 方法方法 绝对稳定区间绝对稳定区间 Euler法法
10、改进的改进的Euler法法 三阶三阶R-K法法 四阶四阶R-K法法 隐式隐式Euler法法 梯形式梯形式 第9页，本讲稿共11页例例 8.4 分别取分别取h=1，2，4，用经典，用经典R-K方法计算方法计算其准确解为其准确解为 。解解 本题本题 分别为分别为-1，-2，-4。有表。有表8-4可知，当可知，当 时，该方时，该方法法才稳定，计算结果列于表才稳定，计算结果列于表8-5 h=1的解的解 h=2的解的解 h=4的解的解 准确解准确解表表 8-5 5 3.6394 3.6730 5.4715 3.6389 9 7.6323 7.6367 16.8291 7.6322 13 11.6321 11.6326 57.6171 11.6321 第10页，本讲稿共11页由表由表8-5可见，可见，h=1和和h=2时，计算结果确实稳定，时，计算结果确实稳定，h=4时，结果发散。时，结果发散。此外，此外，h为为1的计算精度比的计算精度比h为为2的计算精度高。因为的计算精度高。因为h 越小，方法的截断误差越小。但越小，方法的截断误差越小。但若若h过分小的话，计算步数非常多，其累积误差会增加。所以，实际计算时，应过分小的话，计算步数非常多，其累积误差会增加。所以，实际计算时，应选取合适的步长，常常采用自动变步长的选取合适的步长，常常采用自动变步长的R-K方法。方法。第11页，本讲稿共11页