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1、1第三章第三章 函数的应用函数的应用周练卷(六) (时间:90 分钟 满分:120 分) 【选题明细表】 知识点、方法题号方程的根或函数零点个数及应用8,10,12,13,16,17 函数零点所在的区间1,2,9 二分法求方程根的近似值7,15 几类不同增长的函数模型5,6 函数模型3,4,11,14,18,19,20 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 f(x)=log2x+x-2 的零点所在的区间是( B )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析:函数 f(x)=log2x+x-2 在(0,+)上连续,f(1)=0+1-20, 故函数
2、 f(x)=log2x+x-2 的零点所在的区间是(1,2).故选 B. 2.设 x0是函数 f(x)=ln x+x-4 的零点,则 x0所在的区间为( C )(A)(0,1)(B)(1,2) (C)(2,3)(D)(3,4) 解析:因为 f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2ln e-1=0,f(2)f(3)=21.8,又 nN*,所以 n21.故选 C. 5.若 x(0,1),则下列结论正确的是( A )2(A)2xlg x (B)2xlg x(C)2xlg x (D)lg x2x解析:取 x= ,则 lg 1.所以 2xlg x. 故选 A. 6.某商场一月份到十二月份月销售额呈现先下
3、降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确 反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系且满足 f(1)=8,f(3)=2 的函数为( D )(A)f(x)=20( )x (B)f(x)=-6log3x+8 (C)f(x)=x2-12x+19 (D)f(x)=x2-7x+14解析:A.f(x)=20( )x为减函数,不满足条件先下降后上升的趋势; B.f(x)=-6log3x+8 为减函数,不满足条件先下降后上升的趋势; C.f(x)=x2-12x+19 满足销售额先下降后上升的趋势,f(1)=1-12+19=8,f(3)=9-123+19=-8, 不满足条件 f(3)=2; D.f(x)=x2-
4、7x+14 满足销售额先下降后上升的趋势,f(1)=1-7+14=8,f(3)=9-73+14=2,满 足条件. 故满足条件的函数为 f(x)=x2-7x+14. 7.某方程在区间 D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精 确度达到 0.1,则应将 D 等分( D ) (A)2 次 (B)3 次 (C)4 次 (D)5 次 解析:等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次区间长度为 0.5,等分 4 次,区间长度为 0.125, 等分 5 次,区间长度为 0.062 50(B)a0 (C)a0 (D)aln e-1=0. 所以 f(x)的零点在(e-1,2)内.
5、故选 C.310.函数 f(x)=的零点有( A ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个解析:由=0 解得 x=1 或 x=3.由解得 x2 且 x3.所以 f(x)的定义域为x|x2 且 x3. 又 1x|x2 且 x3,3x|x2 且 x3, 所以函数 f(x)没有零点.故选 A. 11.如表显示出函数 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为( C )x-2-10123y0.261.113.9616.0563.98(A)一次函数模型 (B)二次函数模型 (C)指数函数模型 (D)对数函数模型 解析:由表格可知,无论 x0,都有 y0,且随着 x
6、 增大,y 增大速度变快,故最有可能 的是指数函数模型. 设 y=f(x)=cax(a0 且 a1),由解得所以 f(x)=4x. 验证:f(-1)=4-1=0.25 接近 0.26, f(0)=1 接近 1.11,f(1)=4 接近 3.96,f(3)=43=64 接近 63.98. 由上面验证可知,取函数 f(x)=4x与所给表格拟合的较好.故选 C.12.已知函数 f(x)=则函数 y=ff(x)+1 的零点个数是( A )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由函数 f(x)=可得 y=ff(x)+1=由 y=0故函数 y=ff(x)+1 共 4 个零点,选 A.4二、填空题(每
7、小题 5 分,共 20 分)13.函数 f(x)=的零点个数是 . 解析:当 x0 时,令 x2-2=0,解得 x=-(正根舍去), 所以在(-,0上有一个零点. 当 x0 时,f(x)在(0,+)上是增函数. 又因为 f(2)=-2+ln 20, f(2)f(3)0).又因为 f(x)=x+ 在(0,2上是减函数,在2,+)上是增函数.所以当 x=2 时,x+ 取得最小值 4, 此时 y 取得最小值 4004+800=2 400. 所以该容器的最低总造价为 2 400 元. 答案:2 400 元 15.根据下表,用二分法求函数 f(x)=x3-3x+1 在区间(1,2)上的零点的近似值(精确
8、度 0.1) 是 . f(1)=-1f(2)=3f(1.5)=-0.125f(1.75)= 1.109 375f(1.625)= 0.416 015 625f(1.562 5)= 0.127 197 265 解析:由表中数据知 f(1.5)f(2)5 的解集;(2)若方程 f(x)-=0 有三个不同实数根,求实数 m 的取值范围.解:(1)当 x0 时,由 x+65,得-10 时,由 x2-2x+25,得 x3. 综上所述,不等式的解集为(-1,0(3,+).(2)方程 f(x)-=0 有三个不同实数根,等价于函数 y=f(x)与函数 y=的图象有三个不同的交点.由图可知,12,解得-2m-或
9、m2. 所以实数 m 的取值范围为(-2,-)(,2). 18.(本小题满分 10 分) 某地区西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿的种植成本 Q(单位:元 /100 kg)与上市时间 t(距 2 月 1 日的天数,单位:天)的数据如下表:时间 t50110250 成本 Q150108150 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本 Q 与上市时间 t 的变 化关系,Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q= alogbt(简单说明理由),并求出你所选函数的表达式; (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本
10、. 解:(1)由表中数据可知,随着时间 t 的增大,种植成本 Q 先减后增,在给出的函数中 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 都是单调函数,都不适合描述 Q 与 t 的变化关系,所以应选择 Q=at2+bt+c 描述 Q 与 t 的变化 关系.由解得6所以 Q=t2- t+(tN*).(2)由(1)知,Q=(t-150)2+100. 所以当 t=150 时,Q 取得最小值 100. 于是,西红柿种植成本最低时上市天数为 150 天,最低种植成本为 100 元/100 kg. 19.(本小题满分 12 分) 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐
11、到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0x1),则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= ,解得 x=1-( ).(2)设经过 m 年,森林剩余面积为原来的,则 a(1-x)m=a,即( )=( ) ,= , 解得 m=5, 故到今年为止,该森林已砍伐了 5 年. 20.(本小题满分 10 分) 某上市股票在 30 天内每股交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)
12、落在图 中的两条线段上,该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示:第 t 天4101622 Q(万股)36302418 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式;7(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天中第几天 日交易额最大,最大值是多少? 解:(1)由题中图象知,前 20 天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),易求得直线方程为 P= t+2;从 20 天到 30 天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为 P=-t+8, 故每股交易价格 P(元)与时间 t(元)所满足的函数关系式为P= (2)由题中图表,易知 Q 与 t 满足一次函数关系,即 Q=-t+40,0t30,tN. (3)由(1)(2)可知y=即 y= 当 0t20,t=15 时,ymax=125, 当 20t30,y 随 t 的增大而减小,y120, 所以在 30 天中的第 15 天,日交易额最大,最大值为 125 万 元.