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1、13.1.33.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角(1)夹角的定义图 3115已知两个非零向量a a，b b，在空间任取一点O，作a a，b b，则AOB叫做向量OAOBa a，b b的夹角，记作a a，b b (2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0 时，两向量同向共线；当 时，两向量反向共线，所以若a ab b，则a a，b b0 或 ；当a a，b b时，两
2、向量垂直，记作a ab b. 22空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a a，b b，则|a a|b b|cosa a，b b叫做a a，b b的数量积，记作a ab b.即a ab b|a a|b b|cosa a，b b(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a a)b b(a ab b)a a(b b)交换律a ab bb ba a分配律a a(b bc c)a ab ba ac c(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若a a，b b是非零向量，则a ab ba ab b0同向：则a ab b|a a|b b| 共线 反向：则a ab b|a a|b b|模a a a a
3、|a a|a a|cosa a，a a|a a|2|a a|a aa a|a ab b|a a|b b|向量数量积的性质夹角为a a，b b的夹角，则 cos a ab b |a a|b b|思考：(1)若a ab b0，则一定有a ab b吗？2(2)若a ab b0，则a a，b b一定是锐角吗？提示 (1)若a ab b0，则不一定有a ab b，也可能a a0 0 或b b0 0(2)当a a，b b0 时，也有a ab b0，故当a ab b0 时， a ab b不一定是锐角基础自测1思考辨析(1)在ABC中， ， B( )ABBC(2)在正方体ABCDABCD中，与的夹角为 45.
4、( )ABAC(3)0 0a a0 0.( )(4)若a ab b0，则a a，b b为钝角( )答案 (1) (2) (3) (4)2已知正方体ABCDABCD的棱长为a，设a a，b b，c c，则ABADAA，等于( )ABBDA30 B60 C90 D120D D BDC是等边三角形， ，120.ABBDDCBD3已知|a a|3，|b b|2，a ab b3，则a a，b b_. 【导学号：46342138】 cosa a，b b .2 3a ab b |a a|b b|3 3 21 2所以a a，b b .2 3合 作 探 究攻 重 难空间向量的数量积运算(1)已知a a3p p2
5、q q，b bp pq q，p p和q q是相互垂直的单位向量，则a ab b( )A1 B2 C3 D4(2)如图 3116 所示，在棱长为 1 的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：3图 3116(1)；EFBA(2)；EFBD(3)；EFDC(4).ABCD解析 (1)由题意知，p pq q0，p p2q q21所以a ab b(3p p2q q)(p pq q)3p p22q q2p pq q1.答案 A(2)EFBA1 2BDBA |cos， 1 2BDBABDBA cos 60 .1 21 4(2) |2 .EFBD1 2BDBD1 2BD1 2(3)EF co
6、s 60 .DC1 2BDDC1 2DBDC1 21 4(4)()ABCDABADACABADABAC|cos， |cos， cos 60cos 600.ABADABADABACABAC规律方法 在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式abab|a a|b b|cosa a，b b求解.跟踪训练1(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则_. AEAF【导学号：4
7、6342139】a2 1 4AEAF(AB12BC)1 2AD4a2cos 60a2.1 2ABAD1 4BCAD1 21 4(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则()_.OGOAOBOC ()14 3OGOAAGOA1 3ABAC ()()OA1 3OBOAOCOA1 3OB1 3OC1 3OA()()OGOAOBOC(1 3OB13OC13OA)OAOBOC2221 3OB1 3OC1 3OA 22 32 12.1 31 31 314 3利用数量积证明空间的垂直关系已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M
8、，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC解 连接ON，设AOBBOCAOC，又设a a，b b，c c，OAOBOC则|a a|b b|c c|.又 ()OG1 2OMON1 21 2OA12(o(OB,sup7()o(OC,sup7() (a ab bc c)，c cb b.1 4BC (a ab bc c)(c cb b)OGBC1 45 (a ac ca ab bb bc cb b2c c2b bc c)1 4 (|a a|2cos |a a|2cos |a a|2|a a|2)0.1 4，即OGBCOGBC规律方法 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量
9、问题(2)用已知向量表示所证向量(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为 0.(4)将向量问题回归到几何问题跟踪训练2如图 3117，已知正方体ABCDABCD，CD与DC相交于点O，连接AO，求证：图 3117(1)AOCD；(2)AC平面BCD.证明 (1)因为 ()，AOADDOAD1 2DDDC因为，CDDDDC所以AOCD (2)() (21 2DDDCADDDDC1 2DDDDDDDCDCDDDCDC2) (|2|2)0，所以，故AOCD.ADDDADDC1 2DDDCAOCD(2)因为()()ACBCABBCCCBBBC，ABBBABBCBCBBBCBCCCBBCCBC可知0，0
10、，ABBBABBC60，|2，BCBBBCBCBC|2，0，CCBBCCCCBC所以|2|20，ACBCBCCC所以，所以ACBCACBC同理可证，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.利用数量积求夹角如图 3118，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值. 【导学号：46342140】图 3118思路探究 求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面OABC直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化(0， 2解 ，|cos， BCACABOABCOAACO
11、AABOAACOAAC|cos， 84cos 13586cos 1202416.OAABOAAB2cos， ，异面直线OA与BC的夹角的余OABCOABC|OA|BC|2416 28 532 25弦值为.32 25规律方法 利用向量数量积求夹角问题的思路1求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定7义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a ab b，再利用公式 cosa ab b求a ab b |a a|b b|cosa a，b b ，最后确定a a，b b 2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即
12、直线的方向向量)；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小跟踪训练3.如图 3119，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点图 3119(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解 (1)证明：设a a，b b，c c，CACBCC根据题意，|a a|b b|c c|且a ab bb bc cc ca a0.b bc c，c cb ba a.CE1 2AD1 21 2c c2b
13、b20，CEAD1 21 2，即CEADCEAD(2)a ac c，|a a|，|a a|，ACAC2CE52(a ac c)c c2 |a a|2，ACCE(b b1 2c c)1 21 2cos， .ACCE1 2|a a|2252|a a|210108异面直线CE与AC所成角的余弦值为.1010利用数量积求距离探究问题1异面直线AB，CD所成的角为 60，则， 的值是多少？ABCD提示：， 60或 120ABCD2如图 3120，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，试求A，D两点间的距离图 3120提示：，|2()ADABBCCDA
14、DABBCCD2|2|2|22BC2CD2122(22cos 90ABBCCDABABBCCD22cos 12022cos 90)8，|2，即A，D两点间的距离为 2.AD22如图 3121 所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成 60角，求此时B，D间的距离图 3121思路探究 BDBAACCD得到|BD|2的值，注意对BA，CD的讨论得B，D间 的距离解 ACD90，CD0，同理可得0.AB与CD成 60角，ACACBA， 60或， 120.又BACDBACD，|2|2|2|2222321BDBAACCDBDBAACCDBAAC
15、BACDACCD1cos， BACD9当， 60时，|24，此时B，D间的距离为 2；当， 120BACDBDBACD时，|22，此时B，D间的距离为.BD2规律方法 1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a aa a|a a|2，求|a a|；(4)|a a|即为所求距离跟踪训练4.如图 3122 所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成 60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离图 3122解
16、 ()EFEAAF1 2OA1 2ABAC ()()1 2OA1 2OBOAOCOA，1 2OA1 2OB1 2OC所以222222 EF21 4OA1 4OB1 4OC(1 2)1 2OAOB(1 2)1 2OAOC1 21 2OB2.OC|，即E，F间的距离为.EF22当 堂 达 标固 双 基1已知e e1，e e2为单位向量，且e e1e e2，若a a2e e13e e2，b bke e14e e2，a ab b，则实数k的值为( )A6 B6C3D3B B 由题意可得a ab b0，e e1e e20，10|e e1|e e2|1，(2e e13e e2)(ke e14e e2)0，
17、2k120，k6.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；AA1ADABAB()0；A1CA1B1A1A与的夹角为 60.AD1A1B其中真命题的个数为( ) 【导学号：46342141】A1 B2 C3 D0B B 对于，()222232，故正确；AA1ADABAA1ADABAB对于，()0，故正确A1CA1B1A1AA1CAB1对于， ，120，故错AD1A1B3在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则 cos， 的值为( ) 3OABCA B C D01 2221 2D D ()OABCOAOCOB|cosAOC|cosAOB | |O|0OAOCOAOB
18、OAOCOAOB1 2OAOC1 2OAB，cos， 0.OABCOABC4在空间四边形ABCD中，_.ABCDBCADCABD0 原式()()()ABCDBCADCAADABABCDCAADBCCA0.ABADADBA5如图 3123，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a a，b b，C CABACAA111图 3123(1)试用a a，b b，c c表示向量；MN(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长. 【导学号：46342142】解 (1)MNMA1A1B1B1N (c ca a)a a (b ba a)1 3BA1AB1 3B1C11 31 3a ab bC C1 31 31 3(2)(a ab bc c)2a a2b b2c c22a ab b2b bc c2a ac c1110211 211 5，1 21 2|a ab bc c|，5| |a ab bc c|，MN1 353即 MN.53