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1、微分差分方程建模讲座第1页，本讲稿共21页1、微分方程的主要适用范围、微分方程的主要适用范围 我们所关心的研究对象的特征，会随时间我们所关心的研究对象的特征，会随时间(空间空间)的变化而变化，这种变化可以是连续的，的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。也可以是不连续的。一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应该重点考虑一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。比如，问题中涉及到：比如，问题
2、中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变物体的运动、振动、受力形变(2)生物生物(动植物、微生物动植物、微生物)的数量变化或密度变化的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播信息的扩散与传播导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食
3、物链自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导述，热量在同种或不同物质间的传导第2页，本讲稿共21页比如，问题中涉及到：比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变；物体的运动、振动、受力形变；(2)生物生物(动植物、微生物动植物、微生物)的的数量变化或密度变化；数量变化或密度变化
4、；(3)物质、能量的扩散、传递；物质、能量的扩散、传递；(4)消费品在市场上的销售消费品在市场上的销售过程；过程；(5)信息的扩散与传播。信息的扩散与传播。导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制动植物
5、、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导同种或不同物质间的传导如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么微分方程的求解和求数值解微分方程的求解和求数值解如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解无须获得精确的解可以可以利用微分方程几何理论利用微
6、分方程几何理论2、微分方程模型的分析方法、微分方程模型的分析方法第3页，本讲稿共21页3、建立微分方程模型的依据、建立微分方程模型的依据根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，随着时间随着时间/空间的变空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些指标的数值或变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系，则可以据此建立微，则可以据此建立微分方程模型。分方程模型。建立微分方程模型时，需要注意：建立微分方程模型时，需要注意：(1)所建立的方程或方程组应满
7、足守恒定律；所建立的方程或方程组应满足守恒定律；(2)如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；(3)注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；(4)如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分方如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分方程进行定性讨论；程进行定性讨论；(5)微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨论或精微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨论或精度要求不高的情形下。度要求不高的情形下。第4页，本讲稿共21页4、案例消费品在市场上的销售过程、案例消费
8、品在市场上的销售过程新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品占领市场的过程？新产品占领市场的过程？设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记 t 时刻已销售出的产品数量为时刻已销售出的产品数量为x(t)，则尚未，则尚未使用的人数大致为使用的人数大致为Kx(t)，则基于阻滞增长，则基于阻滞增长模型，可以认为：模型，可以认为：记比例系数为记比例系数为k：研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区间。如果希望预测较
9、长时间内的销量，则可以采用上面的形式。间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以采用上面的形式。第5页，本讲稿共21页在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新对如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新对销量的影响，可以采用时滞微分方程。销量的影响，可以采用时滞微分方程。第6页，本讲稿共21页考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销
10、量的递推公搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式式第7页，本讲稿共21页求解时滞微分方程求解时滞微分方程求解需要初始条件！求解需要初始条件！求解需要初始条件！求解需要初始条件！已知过去一段时间的情况，希望了解将来。已知过去一段时间的情况，希望了解将来。根据已知的数据，推算过去发生了什么。根据已知的数据，推算过去发生了什么。第8页，本讲稿共21页5、微分方程定性分析方法简介、微分方程定性分析方法简介不求解，直接分析解的一些性态。不求解，直接分析解的一些性态。1、x 只能取正值；只能取正值；2、x N；3、r 和和 N 均为正数。均为正数。结论：结论：1、随着时间增加，、随着时间增加，
11、x 始终单调递增；始终单调递增；2、时间趋于无穷时，、时间趋于无穷时，x 无限逼近无限逼近N；3、可以大致绘出解的曲线。、可以大致绘出解的曲线。xx0NtN/2tm第9页，本讲稿共21页xt第10页，本讲稿共21页xy2x+4y=0第11页，本讲稿共21页 希望知道时间充分长以后会如何，即研究事物最终的发希望知道时间充分长以后会如何，即研究事物最终的发展趋势。展趋势。6 6、稳定性模型、稳定性模型比如，前面提到的：比如，前面提到的：(1)物体的运动、振动、受力形变物体的运动、振动、受力形变极限是什么？极限是什么？(2)生物生物(动植物、微生物动植物、微生物)的量变或密度变化的量变或密度变化稳定
12、状态？稳定状态？(3)物质、能量的扩散、传递物质、能量的扩散、传递均衡状态是怎样的？均衡状态是怎样的？(4)消费品在市场上的销售过程消费品在市场上的销售过程市场容量是多少？市场容量是多少？(5)信息的扩散与传播信息的扩散与传播最大影响范围是什么？最大影响范围是什么？(1)运动状态稳定下来之后会是运动状态稳定下来之后会是什么情形？长期受力的结果是什什么情形？长期受力的结果是什么？么？(2)对生态系统放任自流，或对生态系统放任自流，或者加以干涉，最终会导致什者加以干涉，最终会导致什么后果？么后果？第12页，本讲稿共21页比如，前面提到的：比如，前面提到的：(1)物体的运动、振动、受力形变物体的运动
13、、振动、受力形变(2)生物生物(动植物、微生物动植物、微生物)的数量变化或密度变化的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播信息的扩散与传播(3)如果不断有物质或能量的补如果不断有物质或能量的补充，那么最终物质和能量的分布充，那么最终物质和能量的分布情况如何？情况如何？(4)商品不断销售，用户也会报商品不断销售，用户也会报废旧品，最终稳定下来的市场销废旧品，最终稳定下来的市场销量会是多少？量会是多少？(5)如果对信息的扩散与传播加以干涉，那么信息最后的分布情况如何如果对信息的扩散与传播加以干
14、涉，那么信息最后的分布情况如何？第13页，本讲稿共21页考虑各种因素的微分方程建模考虑各种因素的微分方程建模北京理工大学北京理工大学 王宏洲王宏洲第14页，本讲稿共21页(1)(1)指数增长模型指数增长模型x(t)时刻时刻 t 的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长第15页，本讲稿共21页(2)(2)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素
15、对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r 固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数第16页，本讲稿共21页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)第17页，本讲稿共21页(3)(3)考虑外界突发干扰考虑外界突发干扰前面介绍的模型没有考虑突发的外界干扰，诸如战争、自前面介绍的模型没有考虑突发的外界干扰，诸如战争、自然灾害、传染病等造
16、成的人口数量骤变。然灾害、传染病等造成的人口数量骤变。这些因素偶然性很大，不过放在较长的时间段来看，可以近似的这些因素偶然性很大，不过放在较长的时间段来看，可以近似的看作有一定规律的脉冲性影响。比如古代中国每隔若干年，黄河看作有一定规律的脉冲性影响。比如古代中国每隔若干年，黄河都会泛滥，造成人口损失。都会泛滥，造成人口损失。脉冲微分方程脉冲微分方程第18页，本讲稿共21页(3)(3)考虑外界突发干扰考虑外界突发干扰再比如人类监测发现田鼠、蝗虫多到一定数量时，会采取再比如人类监测发现田鼠、蝗虫多到一定数量时，会采取大规模杀灭行动。大规模杀灭行动。第19页，本讲稿共21页(4)(4)考虑年龄影响考虑年龄影响不同年龄对人口增长的作用不同：不同年龄对人口增长的作用不同：0-17；18-40；41以上以上将年龄分层考虑：将年龄分层考虑：第20页，本讲稿共21页(5)(5)考虑时滞影响考虑时滞影响计算机通常五年报废购买新机计算机通常五年报废购买新机考虑到不到考虑到不到5年，也有损坏的设备；满年，也有损坏的设备；满5年的设备，也有继续使用的年的设备，也有继续使用的第21页，本讲稿共21页