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1、工程力学第三章空间力系第1页，本讲稿共34页3 31 1空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？第2页，本讲稿共34页对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？用解析法用解析法1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影直接投影法直接投影法第3页，本讲稿共34页间接（二次）投影法间接（二次）投影法2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理第4页，本讲稿共34页合力的大小合力的大小 (a)方向余
2、弦方向余弦空间汇交力系平衡的充分必要条件是空间汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 由（由（a）式有）式有称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。第5页，本讲稿共34页C300zyxoBADG例例:等长杆等长杆BD、CD铰接于铰接于D点点并用细绳固定在墙上并用细绳固定在墙上A点而位点而位于水平面内，于水平面内，D点挂一重点挂一重G的的物块，不计杆重，求杆及绳的物块，不计杆重，求杆及绳的约束反力。约束反力。T-Tsin300cos450-SCD=0-Tsin300sin450-SBD=0Tcos300-G=0SBDSCD解解：研究力的汇交点：研
3、究力的汇交点D画受力图画受力图第6页，本讲稿共34页rdFm0(F)=rF zyxo.A(x,y,z)矢量的矢量的长度长度表示力矩的表示力矩的大小大小,矢量的矢量的指向指向与力矩的与力矩的转向转向成右手系成右手系,矢量的矢量的方位方位于力矩于力矩作用平面作用平面垂直垂直.定位矢量定位矢量,与作用位置有关与作用位置有关.m0(F)32空间力对点的矩矢和对轴的矩空间力对点的矩矢和对轴的矩1.空间力对点的矩矢第7页，本讲稿共34页力对点矩矢的解析式力对点矩矢的解析式F=Xi i+Yj j+Zk kr=xi i+yj j+zk km0(F)=rF =(=(yZ-Zy)i i+(zX-xZ)j j +(
4、xY-yX)k k 第8页，本讲稿共34页zFz Fxy Fy F2.空间力对轴之矩空间力对轴之矩Fx y力力F使物体绕使物体绕z轴转动的效应称轴转动的效应称为为力对轴之矩力对轴之矩,记为记为:mz(F)=FxOA =Fxyh oAhxB显然显然:力与轴平行力与轴平行,无矩无矩力与轴相交力与轴相交,无矩无矩即即:力与轴位于同一力与轴位于同一平面内时平面内时,无矩无矩合力矩定理合力矩定理:mz(R)=mz(Fi)第9页，本讲稿共34页zyxo力对轴之矩的解析式力对轴之矩的解析式:(x,y,z).FXYZzyxmx(F)=yZ-zYmY(F)=zX-xZmz(F)=xY-yX3.力对点的矩矢与力对
5、通过该点的轴之矩间的关系力对点的矩矢与力对通过该点的轴之矩间的关系力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩.第10页，本讲稿共34页3-3.空间力偶空间力偶各力偶在空间任意分布各力偶在空间任意分布空间力偶系空间力偶系一一.空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件(对平面力偶的性质进一步扩展对平面力偶的性质进一步扩展)作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶,若其力偶矩大小相等若其力偶矩大小相等,转向相同转向相同,则两力偶等效则两力偶等效.即即:空间力偶可以向平行平面内搬动空间力偶可以向平行平面内搬动
6、.=利用两个平行力的合成结论利用两个平行力的合成结论第11页，本讲稿共34页二二.空间力偶的矢量表示空间力偶的矢量表示m矢量的矢量的长度长度表示力偶矩的表示力偶矩的大小大小,矢量的矢量的指向指向与力偶的与力偶的转向转向成右手系成右手系,矢量的矢量的方位方位于力偶于力偶作用平面作用平面垂直垂直.力偶矩矢为力偶矩矢为自由矢量自由矢量,与作用位置与作用位置无关无关,既可以在同平面内移动既可以在同平面内移动,又可在又可在平行平面内搬动平行平面内搬动.空间力偶的等效条件空间力偶的等效条件:两力偶矩矢相等两力偶矩矢相等.第12页，本讲稿共34页三三.空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件m3
7、 m2 m1 mn m3 m1 mn m2 zyxo合力偶矩矢合力偶矩矢 M=mM=mi i第13页，本讲稿共34页zyxoM 合力偶投影定理合力偶投影定理:将空间力偶系的各力将空间力偶系的各力偶矢分别投影到空间直角坐标系的三个偶矢分别投影到空间直角坐标系的三个轴上轴上,根据矢量投影法则根据矢量投影法则,合矢量在某轴上合矢量在某轴上的投影等于各个分矢量在该轴上投影的的投影等于各个分矢量在该轴上投影的代数和代数和:Mx=mxMy=myMz=mz空间力偶系的平衡条件空间力偶系的平衡条件:M=0=0 mx=0 my=0 mz=0空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程:第14页，本讲稿共34页3-4
8、.空间一般力系的简化空间一般力系的简化,合力矩定理合力矩定理空间一般力系空间一般力系:各力的作用线在空间任意分布各力的作用线在空间任意分布.一一.空间一般力系向一点简化空间一般力系向一点简化F3 F2 F1 Fn .OF3 F1 Fn F2 .Om mn m m2 m m1 m m3 主矢主矢 R=F 与简化中心位置无关与简化中心位置无关 第15页，本讲稿共34页主矩主矩 M0=m=mo(Fi)与简化中心位置有关与简化中心位置有关第16页，本讲稿共34页二二空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）（1）合力合力当当 最后结果为一个合力最后结果为一个合力。合力
9、作用点过简化中心合力作用点过简化中心当当 最后结果为一个合力最后结果为一个合力。最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为第17页，本讲稿共34页合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和（2）合力偶）合力偶当当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。中心无关。（3）力螺旋）力螺旋当当时时力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心第18页，本讲稿共34
10、页当当 成角成角 即即 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为（4）平衡）平衡当当 时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系第19页，本讲稿共34页3-5.空间一般力系的平衡方程及其应用空间一般力系的平衡方程及其应用例例:重为重为G的均质正方形的均质正方形板置于水平面内板置于水平面内,求球铰求球铰链链O和蝶铰链和蝶铰链A处的反处的反力及绳的拉力力及绳的拉力.AzyxoB300第20页，本讲稿共34页AzyxoB300T 解:研究板,分析受力GZA XA XO YO ZO XO-Tsin300cos450+XA=0YO-Tsin300sin450
11、=0ZO-G+Tcos300+ZA=0b-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0Gb/2-Tcos300b=0XA=0第21页，本讲稿共34页S空间一般力系平衡方程的其他形式 前面我们讨论了空间一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空间一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。三矩式是必要充分条件，而其他形式是必要不充分条件，要使其充分必须附加一定的条件，而我们所遇到的题目都是平衡的，所以只需必要条件即可。不必考虑附加条件。即：解题时，可以对任意直线取矩。但应向尽可能多的力的平行和相交的直线取矩，以减少方程中未知量的数目。例例：水平均质正方形板重：水平均质正方形
12、板重P，用六根，用六根直杆支撑如图，求各杆内力。直杆支撑如图，求各杆内力。ABCD12 3456解解：研究板，作受力图：研究板，作受力图PSSSSSms1=0 S6=0ms3=0 S4=0ms5=0 S2=0mAC=0 S3=0mAB=0 S5=-P/2Z=0 S5=S1=-P/2第22页，本讲稿共34页例例已知：已知：F（=2P）、）、P及各尺寸及各尺寸求：求：杆内力杆内力解：研究对象，长方板解：研究对象，长方板列平衡方程列平衡方程受力图如图受力图如图第23页，本讲稿共34页补充：补充：空间平行力系空间平行力系:作用点任意分布作用点任意分布,方位彼此平行方位彼此平行zyxo0=0让 z/Fi
13、0=0z=0mx=0my=00=0空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程为为:z=0mx=0my=0第24页，本讲稿共34页1.平行力系中心 平行力系中心和重心平行力系中心和重心重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动力学问题有关。重心的位置实际上是重力的合力作用点。将重力视为空间平行是平行力系。重心的位置就是平行力系的合力作用点平行力系中心。A1 A2 A3 F1 F3 F2 F12 C1 RCF12=F1+F2=F1 F2 A2C1 A1C1 R=F12+F3=F 第25页，本讲稿共34页结论结论:平行力系中平行力系中,合力作用点合力作用点C的位置只与各平行力的作用点的位置的位置只
14、与各平行力的作用点的位置及各力的大小有关及各力的大小有关,而与力的方向无关而与力的方向无关.点点C称为该平行力系的中心称为该平行力系的中心.F1 A1 F2A2 FnAn zyxox1 y1 z1 CRzC xC yC RyC=F1y1+F2y2+Fnyn =Fiyi而而 R=F同理有：第26页，本讲稿共34页2.重心重心vi mi pi (xi,yi,zi).PC(xC,yC,zC)zyxo 重量重量 P=p重心重心C:重力的合力重力的合力P的作用点的作用点物体的重心在物体内占有确定的物体的重心在物体内占有确定的位置位置,而与该物体在空间的位置无而与该物体在空间的位置无关关.设设i为物体单位
15、体积的重为物体单位体积的重量量,则则:pi=ivi,对于连续体对于连续体,n第27页，本讲稿共34页体积重心体积重心:设设i为物体单位面积的重量为物体单位面积的重量,则则:pi=isi,对于连续体对于连续体,n面积重心面积重心:线重心线重心:第28页，本讲稿共34页除公式法外除公式法外,以下方法也常用来确定重心以下方法也常用来确定重心:.利用对称性求重心利用对称性求重心凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必在其对称凡具有对称面、对称轴、对称中心的形体，其重心必在其对称面、轴、中心上。面、轴、中心上。例：球体、立方体、等腰三角形等。例：球体、立方体、等腰三角形等。.组合法组合法1）.分割
16、法分割法:将整个物体分割成若干个简单形体将整个物体分割成若干个简单形体,在一个坐标系下在一个坐标系下标出各简单形体的重心位置坐标标出各简单形体的重心位置坐标,直接代如公式即可直接代如公式即可.2).负面积法负面积法:若物体内缺一部分若物体内缺一部分,则视缺少部分的面积则视缺少部分的面积(体积体积)为负为负值值,仍同分割法一样代如公式仍同分割法一样代如公式.实验法实验法1).悬挂法悬挂法:2).称重法称重法:第29页，本讲稿共34页C第30页，本讲稿共34页lPxCN第31页，本讲稿共34页例例:已知：已知：Z 形截面，尺寸如图。形截面，尺寸如图。求：该截面的重心位置。求：该截面的重心位置。解解
17、：(1)组合法组合法:将该截面分割为三部分，将该截面分割为三部分，取取Oxy直角坐标系，如图。直角坐标系，如图。第32页，本讲稿共34页解解：(2)负面积法负面积法:Z 形截面可视为由面积为形截面可视为由面积为S1的的大矩形和面积分别为大矩形和面积分别为S2及及S3的小矩的小矩形三部分组成，形三部分组成，S2及及S3是应去掉的是应去掉的部分，面积为负值。部分，面积为负值。第33页，本讲稿共34页例例已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的求：其重心坐标。求：其重心坐标。解：用负面积法，解：用负面积法，为三部分组成，为三部分组成，设大半圆面积为设大半圆面积为A1，小半圆（半径为小半圆（半径为r+b）面积为）面积为A2小圆（半径为小圆（半径为r）面积为）面积为A3，为负值为负值由对称性，有由对称性，有xc=0第34页，本讲稿共34页