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1、大数定律和中心极限定理第1页，本讲稿共19页蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律 当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得的近似值.针长L线距a第2页，本讲稿共19页定义定义:设Xn为随机变量序列，a是一个常数，若对于任意0,有则称Xn依概率收敛于a。可记为1 1 大数定律大数定律一、依概率收敛一、依概率收敛意思是:当a时,Xn落在内的概率越来越大。即第3页，本讲稿共19页二、几个常用的大数定律二、几个常用的大数定律切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则即对任何0,证明证明:由切比
2、雪夫不等式这里故第4页，本讲稿共19页伯努里伯努里大数定律大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验中事件A发生的频率，则证明证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理：第5页，本讲稿共19页辛钦大数定律辛钦大数定律 若Xk,k=1,2,.为独立同分布随机变量序列,EXk=,k=1,2,则当随机变量序列X1,X2,.,Xn,独立同分布时,有如下更实用的结论：例例 在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数，在依概率收敛意义下，求 的极限。第6页，本讲稿共19页 下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的
3、值第7页，本讲稿共19页 我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,Nn=1,2,N即3)用平均值近似积分值求的值第8页，本讲稿共19页 我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,Nn=1,2,N即3)用平均值近似积分值求的值第9页，本讲稿共19页应如何近似计算？请思考.问：若求的值第10页，本讲稿共19页 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性第11页，本讲稿共19页一、依分布收
4、敛一、依分布收敛定义定义 设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x)。若在F(x)的连续点，有则称Xn依分布收敛于X。记为2 2 中心极限定理中心极限定理若随机变量序列Xn之和 的标准化变量则称随机变量序列Xn满足中心极限定理。第12页，本讲稿共19页二、几个常用的中心极限定理二、几个常用的中心极限定理1、独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk=2，k=1,2,则Xn满足中心极限定理。此时有因此，当n充分大时其中Fn(x)为 的分布函数。第13页，本讲稿共19页例例1 1 将一颗骰子连掷100次，
5、试估算点数之和大于500的概率。解解:设Xk为第 k 次掷出的点数,k=1,2,100,则X1,X100独立同分布。并且由独立同分布的中心极限定理知：第14页，本讲稿共19页2 2、德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 设随机变量n (n=1,2,.)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则证明证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由独立同分布的中心极限定理,结论即可得证。即第15页，本讲稿共19页第16页，本讲稿共19页例：华师学生10000名，在周一晚上去自习的概率为0.7，假设彼此自习是相互独立的，设 X为周一晚上华师学生去上自习的人数。（1）写出X 的分
6、布；（2）用切贝谢夫不等式估算周一晚上华师学生上自习的人数在68007200之间的概率的近似值；（3）用棣莫弗-拉普拉斯定理计算周一晚上华师学生上自习人数在68007200之间的概率的近似值。解解:（1）第17页，本讲稿共19页（2）（3）第18页，本讲稿共19页例例2 2 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都服从U(0,10)分布。记V=，求V大于105的近似值。例例3 3 一船舶在某海区航行，已知每次遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的冲击，问其中有2900030500次纵摇角大于加3度的概率是多少？例例4 4 设每个学生有0名、1名、2名家长参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，且各学生的家长参加家长会相互独立。试求：(1)参加会议的家长数X超过450的概率;(2)有一名家长参加会议的学生数不多于340的概率。第19页，本讲稿共19页