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1、合情推理归纳推理与类比推理第1页，本讲稿共36页已知的判断已知的判断新的判断新的判断确定确定 根据一个或几个已知的判断来确定一个根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫新的判断的思维过程就叫推理推理.第2页，本讲稿共36页第3页，本讲稿共36页 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030 131317176 6 6 63+33+33+33+3，8 8 8 83+5,3+5,3+5,3+5,101010105+5,5+5,5+5,5+5,100010001000100029+97129+97129+9
2、7129+971，1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6的的的的偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和.数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数第4页，本讲稿共36页哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程：
3、具体的材料具体的材料观察分析观察分析猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论归纳推理的过程：归纳推理的过程：第5页，本讲稿共36页 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论第6页，本讲稿共36页归纳推理的一般模式归纳推理的一般模式:S S1 1具有具有P,P,S S2 2具有具有P,P,S Sn n具有具有P,P,(S(S1 1,S,S2 2,S,Sn n是是A
4、 A类事物的对象）类事物的对象）所以所以A A类事物具有类事物具有P P第7页，本讲稿共36页归纳推理的几个特点归纳推理的几个特点;1.1.归纳是依据特殊现象推断一般现象归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性因而结论具有猜测性.3.3.归纳的前提是特殊的情况归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观
5、察、经验、实验和对有限资归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上料分析的基础上.提出带有规律性的结论提出带有规律性的结论.需证明需证明第8页，本讲稿共36页归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立第9页，本讲稿共36页第10页，本讲稿共36页第11页，本讲稿共36页 除了归纳，在人们的创造发明活动中，除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：还常常应用类比。例
6、如：2.2.人们仿照鱼类的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯3、火星上是否存在生命？、火星上是否存在生命？第12页，本讲稿共36页可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适
7、合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴行星、围绕太阳运行、绕轴自转自转自转自转火星火星火星火星地球地球地球地球第13页，本讲稿共36页火星火星与与地球地球类比的思维过程：类比的思维过程：火星火星地球地球存在类似特征存在类似特征存在类似特征存在类似特征地球上有
8、生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在第14页，本讲稿共36页.试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比第15页，本讲稿共36页圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积第16页，本讲稿共36页圆的概念和性质球的类似概念和性质圆
9、心与弦(非直径)中点连线垂直于弦.与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长.以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2(y-y0)2=r2.球心球心与与截面圆截面圆(不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆.与与球心球心距离相等的两距离相等的两截面圆截面圆面积面积相等相等;与与球心球心距离不等的两距离不等的两截面圆截面圆面积不等面积不等,距距球心球心较近的较近的截面圆截面圆面面积较大积较大.以点以点P(x0,y0,z0)为球心为球心,r为半径的为半径的球的方程为球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z
10、-z0)2=r2.第17页，本讲稿共36页 由由 具有具有 ，在此基础，在此基础上，根据上，根据 ,推出推出 ，我们把这种的推理称为，我们把这种的推理称为类比推理类比推理.两类对象两类对象某些类似特征某些类似特征一类对象的某些已知特征一类对象的某些已知特征另一类对象也另一类对象也 具有这些特征具有这些特征第18页，本讲稿共36页1、进行类比推理的、进行类比推理的步骤步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；特征，从而得出一个猜想；(3)检验
11、这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论第19页，本讲稿共36页类比推理类比推理类比推理类比推理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的的结果，具有结果，具有发现的功能，发现的功能，启发思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用。由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注
12、意第20页，本讲稿共36页1下面几种推理是类比推理的是()A因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，所以n边形的内角和是180(n2)B由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质C某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除答案：B第21页，本讲稿共36页2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b8b929，若an为等差数列，a52，则an类似的结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a3a929 Da1a2a92
13、9 解析：在等差数列中“积”变“和”得a1a2a929.答案：D第22页，本讲稿共36页第23页，本讲稿共36页例题：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给例题：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。出空间中四面体性质的猜想。第24页，本讲稿共36页直角三角形C902条直角边a，b和1条斜边c3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三个两两垂直的面三个两两垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面”S S例题例题:类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性
14、质的猜想。试给出空间中四面体性质的猜想。ABCbacs1s3PEF的面积为的面积为SPEs2DF？c2=a2+b2分析分析分析分析：M第25页，本讲稿共36页PEF的面积为的面积为S下面证明猜想是否成立：下面证明猜想是否成立：过过D点作点作DM EF,垂足为垂足为M，连接，连接PM，则，则PM EFPEDFM第26页，本讲稿共36页 变式练习：在三角形变式练习：在三角形ABC中有结论：中有结论：AB+BCAC，类似地在四面体，类似地在四面体P-ABC中有中有 .PABCS1S2S3PAB的面积为的面积为S第27页，本讲稿共36页平面图形（二维）平面图形（二维）立体图形（三维）立体图形（三维）点
15、点点或线点或线线线线或面线或面平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象第28页，本讲稿共36页几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象复数复数向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集且，或，非运算且，或，非运算第29页，本讲稿共36页数数有限有限相等相等四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）球球面面线线几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象
16、三角形三角形圆圆向量向量无限无限 不等不等代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象线线平面几何平面几何立体几何立体几何点点第30页，本讲稿共36页例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;例题解析：例题解析：问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？第31页，本讲稿共36页例例2 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相
17、似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,bR,则a+bR运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a单位元a+0=a若若a,b R,则则ab Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使使得得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a第32页，本讲稿共36页圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长距圆心较近
18、的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂直中点的连线垂直于弦于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆的圆心的连线垂直于截面心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半径的为半径
19、的球的方程为球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2+(z-+(z-z z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积第33页，本讲稿共36页练习练习.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三为三角形内任一点角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以我们可以得到结论得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.平面上 空间中图
20、形结论ABCPpapbpcABCDP第34页，本讲稿共36页 小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理第35页，本讲稿共36页2、类比推理、类比推理由由由由特殊特殊特殊特殊到到到到特殊特殊特殊特殊的推理的推理的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.1、归纳推理、归纳推理由由由由部分部分部分部分到到到到整体整体整体整体、特殊特殊特殊特殊到到到到一般一般一般一般的推理的推理的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;比较两个推理：比较两个推理：合合情情推推理理第36页，本讲稿共36页