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1、单调性奇偶性第1页，本讲稿共28页提问?下面两个图形各呈怎样的变化趋势下面两个图形各呈怎样的变化趋势曲线在整个定义域呈上升趋势,y值随x的增大而增大y轴右边,曲线为上升趋势,y值随x的增大而增大y轴左边,曲线为下降趋势,y值随x的增大而减小第2页，本讲稿共28页拓展：拓展：已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，求实数a的取值范围.评析评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合.解：解：f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)-(a-1)2+2，此二次函数的对称轴是x1-a.因为在区间(-，1-a上f(x)是单调递减的，若
2、使f(x)在(-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3.分析分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.第3页，本讲稿共28页属于I内某个区间上的任意的两个自变量并说这个函数在这一区间有严格的单调性,一般地,设函数 的定义域I,如果对于这一区间叫做函数 的单调区间.则 在这个区间是增函数;则 在这个区间是减函数.、函数单调性是对某个区间而言的,其定义是一个局部概念定义:当 时，有 当 时，有 第4页，本讲稿共28页 给定y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x)在-2，4 上的图象，试据图象说出y=f（x）的单调区间和它在每一区间上的增减性例1
3、1-24函数的单调区间 -2，1，（1，4在-2，1上是减函数在（1，4上是增函数 要了解函数在某一区间是否有单调性，从图象上观察较直观但很粗略，有更精确的方法吗?在某一点上函数不具有单调性。第5页，本讲稿共28页例2证明函数是R上的增函数证明:利用单调性定义证明函数单调性步骤：据单调性定义证明函数的单调性第6页，本讲稿共28页奇函数图象关于原点成中心对称偶函数图象关于y轴成轴对称xyxy第7页，本讲稿共28页作法在图象上取不同四点 作相应的对称点 连接即为所求图象例4已知函数 是偶函数，它在 轴左边的图象如下图，画出 在y轴左边的图象DABCDABC第8页，本讲稿共28页证明例5函数的单调性
4、与奇偶性有什么内在联系第9页，本讲稿共28页奇偶函数概 念增函数偶函数单调函数奇函数减函数函数单调性与奇偶性的判定第10页，本讲稿共28页第11页，本讲稿共28页一、基础知识图表基础知识图表单调性单调性定义定义 判定方法判定方法 应用应用定义法定义法 复合函数法复合函数法 图象法图象法奇偶性奇偶性定义定义 判定方法判定方法应用应用定义法定义法变通法变通法图象法图象法图象性质图象性质函数性质函数性质函数的单调性和奇偶性函数的单调性和奇偶性第12页，本讲稿共28页二、函数的单调性1、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x
5、)在这个区间上是增函数.2、如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.3、如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.第13页，本讲稿共28页单调性性质规律单调性性质规律:若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函数f(x
6、)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相同的单调性；C0时，函数 f(x)与Cf(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)0，则函数f(x)与-f(x)具有相反的单调性.(4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函 数，则f(x)g(x)是减(增)函数.第14页，本讲稿共28页复合函数的单调性：复合函数的单调性：已知函数已知函数y=f(u)和
7、和u=g(x)，u=g(x)在区间（在区间（a，b）上具有单调性，当）上具有单调性，当x（a，b）时）时u （m，n）且）且 y=f(u)在（在（m，n）上也具有单调性，则上也具有单调性，则复合函数复合函数y=fg(x)在区间在区间（a，b）上具有单调）上具有单调性，性，规律如下：规律如下：y=f(u)增增 减减u=g(x)增增 减减增增 减减 y=fg(x)增增减减 减减 增增 对于复合函数fg(x)：“同号得增，异号得减”第15页，本讲稿共28页三、函数的奇偶性1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任
8、意一个x，都有f(-x)f(x)，那么f(x)叫做偶函数.2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.第16页，本讲稿共28页例例1、试讨论y=x-在区间(0,+)上的单调性,并证明评析评析：函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.第17页，本讲稿共28页注：注：1、复合函数、复合函数y=fg(x)的单调区间必须是其定义域的子集的单调区间必须是其定义域的子集2、对于复合函数、对于复合函数y=fg(x)的单调性是由函数的单调性是由函数y=f(u)及及u=g(x)的单调性确定的且规律是的单调性确定的且规律是“同增，异减同增，
9、异减”第18页，本讲稿共28页例例3:3:已知函数已知函数f(x)f(x)在在R R上是增函数，上是增函数，g(x)g(x)在在a,ba,b上是减函数，上是减函数，求证：求证：fg(x)fg(x)在在a,ba,b上是减函数上是减函数.任取任取x x1 1,x,x2 2a,b,a,b,设设x x1 1xg(x)g(x2 2),),又又f(x)f(x)在在R R上递增，上递增，而而g(xg(x1 1)R)R，g(xg(x2 2)R)R，fg(xfg(x1 1)fg(x)fg(x2 2),),fg(x)fg(x)在在a,ba,b上是减函数上是减函数.证明：证明：第19页，本讲稿共28页求函数求函数y
10、=18+2(2-x2)-(2-x2)2的单调区间的单调区间例例6：例例5：求函数求函数y=f(x)在在R上是减函数，上是减函数，求求y=f（|1-x|）的单调递增区间。）的单调递增区间。单调递增区间是（单调递增区间是（-，1单增区间是（单增区间是（-，-1，0，1）单减区间是（单减区间是（-1，0），），1，+）例例4：求函数求函数y=的单调区间的单调区间单减区间是（单减区间是（-，-，单增区间是，单增区间是2，+）第20页，本讲稿共28页练习练习1、函数、函数f(x)在（在（0，+）上是减函数求）上是减函数求f(a2-a+1)与与 f()的大小关系的大小关系例例2：函数函数f(x)是定义在（
11、是定义在（0，+）上的增函数，满足：）上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式，解不等式f(x)+f(x-2)34，+）注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域f(a2-a+1)f()2 2、函数、函数、函数、函数 f(x)f(x)4x4x2 2mxmx5 5 在区间在区间在区间在区间 2 2，+)+)上是增上是增上是增上是增 函数，函数，函数，函数，求求求求f(1)f(1)的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。3、设、设f(x)是定义域为是定义域为-1，1上的增函数，上的增函数，解不等式
12、解不等式f(x-1)0时，时，f(x)=x2-2x,求求f(x)的解析式。的解析式。第24页，本讲稿共28页总结：奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反。即奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即
13、f(x)。(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f(0)0。第25页，本讲稿共28页1已知定义域为已知定义域为R的函数的函数f(x)在区间（在区间（-，5）上单调递减，对任意的实数上单调递减，对任意的实数t，都有，都有 f(t+5)=f(5-t)那么下列式子成立的是那么下列式子成立的是()Af(-1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)F(-1)Cf(9)f(-1)f(13)Df(13)f(-1)f(9)2函数函数yx22(a1)x2在在(，4上是上是 减函数，求减函数，求a的取值范围。的取值范围。3、若函数、若函数y=(1-2m)x+b在在R上是减函数，求上是减函数，求m的的 取值范围。取值范围。练习：练习：第26页，本讲稿共28页练习三1、已知f(x)=-2x-3,则f(2)_f(-1);2、已知二次函数f(x)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线，则(1)f(6)_f(4)(2)f(2)_3、已知函数第27页，本讲稿共28页练习四求下列函数的增区间与减区间：(1)y=|x2+2x-3|(1)增区间有-3,-1、1,+),减区间有(-,-3、-1,1(2)增区间有-3,-1，减区间-1,1第28页，本讲稿共28页