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1、最小二乘法与曲线拟合第1页，本讲稿共38页为此为此,我们希望从给定的数据我们希望从给定的数据(x(xi i,y,yi i)出发出发,构造一个近似函构造一个近似函数数 ,不要求函数不要求函数 完全通过所有的数据点，只要求完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图如图5-75-7所示。所示。图图5-7 5-7 曲线拟合示意图曲线拟合示意图 第2页，本讲稿共38页也就是说拟合函数也就是说拟合函数 在在xi处的偏差处的偏差(亦称残差）亦称残差）不都严格地等于零。不都严格地等于零。即为矛盾方程组。即为矛盾方程组。曲线拟合函数曲线拟合函数 不要
2、求严格地通过所有数据点不要求严格地通过所有数据点 但是但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势变化趋势,要求要求 按某种度量标准最小。若记向量按某种度量标准最小。若记向量即要求向量即要求向量 的某种范数的某种范数 最小最小,如如 的的1-1-范数范数 或或-范数范数第3页，本讲稿共38页即即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。合称为曲线拟合的最小二乘法。为了便于计算、分析与应用，通常要求为了便于计算、分析与应用，通常要求 的的2-2-范数范数 实质仍然是求矛盾方程组的最小
3、二乘解。实质仍然是求矛盾方程组的最小二乘解。第4页，本讲稿共38页作拟合直线作拟合直线（1 1）直线拟合）直线拟合该直线不是通过所有的数据点该直线不是通过所有的数据点 ,而是使偏差平方和而是使偏差平方和设已知数据点设已知数据点 ,分布大致为一条直线。分布大致为一条直线。为最小，为最小，第5页，本讲稿共38页其中每组数据与拟合曲线的偏差为其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取根据最小二乘原理，应取 和和 使使 有极小值，有极小值，故故 和和 应满足下列条件：应满足下列条件：解法一：解法一：第6页，本讲稿共38页即得如下正规方程组即得如下正规方程组求解该方程组，解得求解该方程组，解得
4、代人代人 即得拟合曲线。即得拟合曲线。第7页，本讲稿共38页也可将条件带入构成矛盾方程组也可将条件带入构成矛盾方程组其中其中利用利用解法二：解法二：第8页，本讲稿共38页即得如下正规方程组即得如下正规方程组求解该方程组，解得求解该方程组，解得代人代人 即得拟合曲线。即得拟合曲线。第9页，本讲稿共38页例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的系，下表是实际测定的2424个纤维样品的强度与个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。第10页，本讲稿共38页（提示：将拉伸倍数作为（提示：将拉
5、伸倍数作为x,x,强度作为强度作为y,y,在座标纸上标出各点，可以在座标纸上标出各点，可以发现什么发现什么?）第11页，本讲稿共38页解：设解：设 y=a+bx从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。可用一条直线来表示两者之间的关系。则：则：第12页，本讲稿共38页解得：解得：a=0.15,b=0.859 直线方程为：直线方程为：y=0.15+0.859x计算出它的正规方程得计算出它的正规方程得第13页，本讲稿共38页 1 2 3 41 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 1.36 1.37
6、1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 14.094 16.844 18.475 20.963 用最小二乘法求以上数据的拟合函数用最小二乘法求以上数据的拟合函数 例例 设有某实验数据如下：设有某实验数据如下：解解:把表中所给数据画在坐标纸上把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述布可以用一条直线来近似地描述,第14页，本讲稿共38页设所求的设所求的拟合直线为拟合直线为则正规方程组为则正规方程组为第15页，本讲稿共38页解得解得即得拟合直线即得拟合直线 将以上数据代入上式正规方程组将以上数据代入上式正规方程组
7、,得得其中其中 第16页，本讲稿共38页（2 2）多项式拟合）多项式拟合 有有时时所所给给数数据据点点的的分分布布并并不不一一定定近近似似地地呈呈一一条条直直线线,这这时仍用直线拟合显然是不合适的时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式拟合。可用多项式拟合。对于给定的一组数据，对于给定的一组数据，寻求次数不超过寻求次数不超过m(mn)的多项式，的多项式，第17页，本讲稿共38页来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和平方和为最小为最小第18页，本讲稿共38页由由于于Q可可以以看看作作是是关关于于 (j=0,1,2,j=0,1,2,m)m)的
8、的多多元元函函数数,故故上上述述拟拟合合多多项项式式的的构构造造问问题题可可归归结结为为多多元元函函数数的的极极值值问题。令问题。令得得第19页，本讲稿共38页即有即有这是关于系数这是关于系数 的线性方程组的线性方程组正则方程组正则方程组第20页，本讲稿共38页也可利用矛盾方程组来做也可利用矛盾方程组来做第21页，本讲稿共38页即有即有利用利用第22页，本讲稿共38页1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 60 1 2 3 4 50 1 2 3 4 55 2 1 1 2 35 2 1 1 2 3用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据 例例 设某实验数据如下：
9、设某实验数据如下：解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为接近一条抛物线，因此设所求的多项式为第23页，本讲稿共38页由法方程组（由法方程组（5.465.46）,n=6,经计算得经计算得 其法方程组为其法方程组为 第24页，本讲稿共38页解之得解之得所求的多项式为所求的多项式为第25页，本讲稿共38页例1 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718试用二次多项式拟和上述数据解：设第26页，本讲稿共38页则第27页，
10、本讲稿共38页由 可得第28页，本讲稿共38页例：试用最小二乘法求形如例：试用最小二乘法求形如 的多项式，的多项式，使之与下列数据拟合。使之与下列数据拟合。1234529163052解：解：由题目可知：由题目可知：第29页，本讲稿共38页由 可得第30页，本讲稿共38页（3 3）可化为线性拟合的非线性拟合）可化为线性拟合的非线性拟合1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 60 0.5 1 1.5 2 2.50 0.5 1 1.5 2 2.52.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.32.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3用最小二乘法求拟合曲线用最小二乘法求拟合曲线 例例 设某实验数
11、据如下设某实验数据如下:解解:将已给数据点描在坐标系中下图所示将已给数据点描在坐标系中下图所示,第31页，本讲稿共38页可以看出这些点接近指数曲线可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数因而可取指数函数作为拟合函数：作为拟合函数：对函数对函数 两边取对数得两边取对数得.令令 则就得到线性模型则就得到线性模型得得第32页，本讲稿共38页则正规方程组为则正规方程组为其中其中第33页，本讲稿共38页将以上数据代入上式正规方程组，得将以上数据代入上式正规方程组，得解得解得第34页，本讲稿共38页由由 得得于是得到拟合指数函数为于是得到拟合指数函数为 由由 得得 第35页，本讲稿共38页 有些非线性
12、拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。线拟合方程。第36页，本讲稿共38页下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系曲线拟合方程及变换关系 第37页，本讲稿共38页 曲线拟合方程曲线拟合方程 变换关系变换关系 变换后线性拟合方程变换后线性拟合方程第38页，本讲稿共38页