《2019高中数学 第一章1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数学案 新人教A版选修2-2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第一章1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数学案 新人教A版选修2-2.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、11.3.21.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数学习目标：1.了解极大值、极小值的概念(难点)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值(重点)自 主 预 习探 新 知1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附
2、近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，就把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值思考：导数为 0 的点一定是极值点吗？提示不一定，如f(x)x3，f(0)0, 但x0 不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0 时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反2求可导函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0.当f(x0)0 时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)
3、是极小值基础自测1思考辨析(1)函数f(x)在(a，b)内一定存在极值点( )(2)函数的极大值一定大于极小值( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合( )(4)函数f(x) 有极值( )1 x答案 (1) (2) (3) (4)2函数f(x)的定义域为 R R，导函数f(x)的图象如图 138 所示，则函数f(x)( )2图 138A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C C 设yf(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，x
4、x4处取得极小值3函数f(x)的极值点为( )x4 4x3 3【导学号：31062047】A0 B1C0 或 1D1D D f(x)x3x2x2(x1)由f(x)0 得x0 或x1.又当x1 时f(x)0，0x1 时f(x)0，1 是f(x)的极小值点又x0 时f(x)0，故x0 不是函数的极值点4若可导函数f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则f(1)_，1 是函数f(x)的_值解析 由题意可知，当x1 时，f(x)0，当x1 时，f(x)0，f(1)0,1 是函数f(x)的极大值答案 0 极大合 作 探 究攻 重 难求函数的极值点和极值角度 1 不含参数的函数求极值求下列函
5、数的极值(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2.解 (1)y3x26x9，令y0，即 3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)3y00y极大值极小值当x1 时，函数yf(x)有极大值，且f(1)10；当x3 时，函数yf(x)有极小值，且f(3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)，令y0，即 5x2(x3)(x5)0，解得x10，x23，x35.当x变化时，y与y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3,5)5(5，)y000y无极值极大值 108极小值 0x0 不是y的极值点；x3
6、 是y的极大值点，y极大值f(3)108；x5 是y的极小值点，y极小值f(5)0.角度 2 含参数的函数求极值已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR R)，当aR R 且a 时，求函数的2 3极值. 【导学号：31062048】思路探究 求fx0的根讨论fx的单调性求极值解 f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a 知，2aa2.2 3以下分两种情况讨论：若a ，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：2 3x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，2a) ，(a2，)内是增函数
7、，在(2a，a2)内是减函数4函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a；函数f(x)在xa2 处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a ，则2aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：2 3x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2 处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2；函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.规律方法 求可导函数fx的极值的步骤为：1求函数的定义域；2求
8、函数的导数fx；3令fx0，求出全部的根x0；4列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，fx，fx在每个区间内的变化情况列在一个表格内；5判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值.跟踪训练1若函数f(x)xaln x(aR R)，求函数f(x)的极值解 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 .a xxa x(1)当a0 时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值(2)当a0 时，令f(x)0，解得xa.当 0xa时，f(x)0；当xa时，f(x)0.f(x)在xa处取得极小值，且f(a)aln a，无极大值
9、综上可知，当a0 时，函数f(x)无极值；当a0 时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.由极值求参数的值或取值范围(1)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1 处取得极值 10，则a_，b_.5(2)已知函数f(x)x3 (m3)x2(m6)x(xR R，m为常数)，在区间(1，)内1 31 2有两个极值点，求实数m的取值范围. 【导学号：31062049】思路探究 (1)由f(1)0 及f(1)10 求a，b，注意检验极值的存在条件；(2)f(x)在(1，)内有两个极值点，等价于f(x)0 在(1，)内有两个不等实根解 (1)f(x)3x22axb，依题意得Error!即
10、Error!解得Error!或Error!但由于当a3，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在 R R 上单调递增，不可能在x1 处取得极值，所以Error!，不符合题意，应舍去而当Error!时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为 4，11.(2)f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以f(x)x2(m3)xm6 在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以Error!解得m3.故实数m的取值范围是(3，)规律方法 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：1根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定
11、系数法求解；2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2若x2 是函数f(x)x(xm)2的极大值点，求函数f(x)的极大值. 【导学号：31062050】解 f(x)(xm)(3xm)，且f(2)0(m2)(m6)0，即m2 或m6.(1)当m2 时，f(x)(x2)(3x2)，由f(x)0 得x 或x2；2 3由f(x)0 得 x2.2 3x2 是f(x)的极小值点，不合题意，故m2 舍去(2)当m6 时，f(x)(x6)(3x6)，6由f(x)0 得x2 或x6；由f(x)0 得 2x6.x2 是f(x)的极大值，f(2)2(26)
12、232.即函数f(x)的极大值为 32.极值问题的综合应用探究问题1如何画出函数f(x)2x33x236x16 的大致图象提示：f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0 得x2 或x3，函数f(x)的递增区间是(，2)和(3，)由f(x)0 得2x3，函数f(x)的递减区间是(2,3)由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)2当a变化时，方程 2x33x236x 16a有几解？提示：方程 2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16 的图象有几个交点的问
13、题，结合探究点 1 可知：(1)当a60 或a65 时， 方程 2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60 或a65 时，方程 2x33x236x16a有两解；(3)当65a60 时，方程 2x33x236x16a三解已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0 有三个不同实根，求实数a的取值范围思路探究 求出函数的极值，要使f(x)0 有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于 0，由此可得a的取值范围解 令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当11 时，f(x)0.所以当x1 时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1 时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0 有三个不同实根，所以yf(x)的图象与x轴有三个交点，如图由已知应有Error!解得20，当x1 时，函数有极小值，极小值为f(1)1.(2)函数的定义域为(，1)(1，)，且y，令x22x1 2x13y0，得x11，x22，当x变化时，y，y的变化情况如表：x(，1)1(1,1)(1,2)2(2，)y00y单调递增3 8单调递减单调递增3单调递增故当 x1 时，y 有极大值 .38