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1、数学物理方法分式线性变换第1页，本讲稿共39页导数f(z0)的幅角Argf(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.w=f(z)Argf(z0)导数f(z0)的模|f(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。Z 平面w 平面复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）第2页，本讲稿共39页导数不为零的解析变换属于保角变换第3页，本讲稿共39页1 1 分式线性变换的定义分式线性变换的定义函数函数称为分式线性变换称为分式线性变换,简记为简记为第4页，本讲稿共39页52 分式线性变换的分解可分解为下述简单类型变换的复合可分解为下述简单类型变换的复合第5页，本讲稿
2、共39页6(I)(II)(I)(II)型变换的几何性质型变换的几何性质旋转旋转位似位似(伸缩伸缩)平移平移平移映射平移映射第6页，本讲稿共39页此变换可进一步分解为此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换关于实轴的对称变换规定规定:无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.第7页，本讲稿共39页83.分式线性变换的保圆周(圆)性对对(I)显然将圆周显然将圆周(或直线或直线)变为圆周变为圆周(或直线或直线).对对(II)型型:圆周圆周(或直线或直线)可表为可表为它表示它表示圆周或直线圆周或直线.第8页，本讲稿共39页9注注在扩充在扩充z平面
3、上平面上,直线可视为过无穷远点的圆周直线可视为过无穷远点的圆周.定理定理1.5.2 关关于于圆圆周周C的的两两个个对对称称点点，在在分分式式线线性性变变换换下下，它它们们的的像像点点也也是是圆圆周周C的的像像曲曲线线的的对称点对称点.定理定理1.5.1 分分式式线线性性变变换换在在扩扩充充复复平平面面上上是是一一一一对应，且具有保圆性的保角变换对应，且具有保圆性的保角变换.注注分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性.补充定义补充定义第9页，本讲稿共39页10定理定理1.5.3注注 三对对应点唯一确定一分式线性变换三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明证明先考虑已给各点都是有限点的情形先考
4、虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是设所求分式线性函数是那么，由那么，由第10页，本讲稿共39页11得得同理，有同理，有因此，有因此，有第11页，本讲稿共39页12 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得得这样的分式线性函数也是唯一的。这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由那么，由同理有同理有 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得得这样的分式线性函数也是唯一的这样的分式线性函数也是唯一的。其其次次，如如果果已已给给各各点点除除 外外都都是是有有限限点点。则所求分式线性函数有下列的形式则所求分式
5、线性函数有下列的形式：第12页，本讲稿共39页13例例3求将求将分别变为分别变为的分式线性变换的分式线性变换.解解所求的分式线性变换为所求的分式线性变换为整理得整理得即即第13页，本讲稿共39页14.第14页，本讲稿共39页15解解例例5 求线性变换求线性变换变为上半平面变为上半平面,使将圆盘使将圆盘第15页，本讲稿共39页16即即整理后得整理后得第16页，本讲稿共39页17六六 线性变换的应用线性变换的应用 由由于于线线性性变变换换具具有有共共形形性性,保保交交比比性性,保保圆圆(圆圆周周)性性和和保保对对称称点点性性,它它在在处处理理边边界界为为圆圆弧弧或或直直线线的的区区域域变变换换中中
6、,起着重要的作用起着重要的作用,下面介绍一些类型下面介绍一些类型.例例6第17页，本讲稿共39页18事实上事实上,所述变换将实轴变为实轴所述变换将实轴变为实轴,且当且当z为实数时为实数时即实轴变为实轴是同向的即实轴变为实轴是同向的,或或解解第18页，本讲稿共39页19例例7解解故故第19页，本讲稿共39页20即即故故解该方程组得解该方程组得故所的线性变换为故所的线性变换为第20页，本讲稿共39页21例例8解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,第21页，本讲稿共39页22因此这个变换应具有形式因此这个变换应具有形式,故可令故可令从而所求的变换为从而所求的变换为第22页，本讲稿共39页23
7、注注1确定变换确定变换(7.13)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注2第23页，本讲稿共39页24例例9解解因此所求变换具有形式因此所求变换具有形式第24页，本讲稿共39页25利用单位圆周变为单位圆周的条件知利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令因此令从而所求的变换为从而所求的变换为第25页，本讲稿共39页26注注1确定变换确定变换(7.14)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注2第26页，本讲稿共39页作 业 习 题 （P）1（1）（3）（5）；2第27页，本讲稿共39页28.2 定理定理7.1证明证明第28页，本讲稿共39页29.第29页，本
8、讲稿共39页303 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性定理定理7.12证明证明由分式线性变换的保角性由分式线性变换的保角性,由定理由定理7.11,第30页，本讲稿共39页31五五 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性1定义定义7.5注注证明证明“必要性必要性”第31页，本讲稿共39页32则则所以所以“充分性充分性”第32页，本讲稿共39页33例例10第33页，本讲稿共39页34解解作线线变换作线线变换复合上述两个变换得复合上述两个变换得整理得整理得第34页，本讲稿共39页35即由即由得得从而所求的变换为从而所求的变换为第35页，本讲稿共39页36例例11解解(1)先作伸缩变换先作伸缩变换(2)再作平移变换再作平移变换第36页，本讲稿共39页37使得使得于是于是(4)排列对应点排列对应点第37页，本讲稿共39页38(5)将以上线性变换复合起来将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为即得所求的线性变换为第38页，本讲稿共39页39第39页，本讲稿共39页