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1、1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系1一、频率与概率一、频率与概率二、概率论公理化体系二、概率论公理化体系三、小结三、小结第二节第二节概率论公理化体系概率论公理化体系1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系21.定义定义:频率频率一、频率与概率一、频率与概率Frequency and Probability n次随机试验中事件次随机试验中事件A发生的发生的次数次数nA称为称为事件事件A发生的发生的频数频数.频数与试验总次数频数与试验总次数n的比值称为的比值称为A发生的发生的频率频率.记为记为fn(A)=nAn1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系32.频率的性质频率的性质设设 A 是随机
2、试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件,则频率有如下性质则频率有如下性质(有界性有界性)(规范性规范性)(不相容事件的有限可加性不相容事件的有限可加性)fn(A)=nAn1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系4试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做
3、各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小波动最小随随n的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系5从上述数据可得从上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动,且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得的所得的 f 不一定相同不一
4、定相同;1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系6实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.50051.2 概率论公理化体系概率论公理化体系7我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下
5、一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样的的.1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系8重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增大时大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的了事件在试验中出现可能性的大小
6、它就是事件的概率概率1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系9 1933年年，前苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫，前苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫Kolmogolov提出了概率论的公理化结构提出了概率论的公理化结构，给出了，给出了概率的严格定义概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展，使概率论有了迅速的发展.二、概率论公理化体系二、概率论公理化体系柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系10概率的可列可加性概率的可列可加性1.概率的公理化定义概率的公理化定义1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系112.性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性不可能事件的概率为不可能事件的
7、概率为01.2 概率论公理化体系概率论公理化体系12证明证明由有限可加性得由有限可加性得(子事件公式子事件公式)1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系13证明证明证明证明1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系14证明证明 由图可得由图可得又由性质又由性质 3(子事件减法公式子事件减法公式)得得因此得因此得由不相容事件的可加性得由不相容事件的可加性得1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系15推广推广：加法公式或多除少补原理：加法公式或多除少补原理n 个事件和的情况个事件和的情况三个事件和的情况三个事件和的情况1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系16解解1.2 概率论公理化体系概率论公理
8、化体系17SABAB由图示得由图示得1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系18例例2 打飞机打飞机 甲、乙两人同时打一架飞机，已知甲、乙两人同时打一架飞机，已知甲射中飞机的概率为甲射中飞机的概率为0.7，乙射中飞机的概率为，乙射中飞机的概率为0.8，飞机被射中的概率为，飞机被射中的概率为0.9。求甲、乙两人至。求甲、乙两人至少有一人未射中飞机的概率。少有一人未射中飞机的概率。设设 A 为事件为事件“甲射中飞机甲射中飞机”,B为事件为事件“乙射乙射中飞机中飞机”，飞机被射中即，飞机被射中即解解对立事件即甲、乙两人均射中飞机，故对立事件即甲、乙两人均射中飞机，故 甲或乙射中，则所求甲、乙两人甲或
9、乙射中，则所求甲、乙两人至少有一人未射中飞机的概率为至少有一人未射中飞机的概率为对立事件计算公式对立事件计算公式加法公式加法公式1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系19例例3 概率运算概率运算 设设A，B为两个事件，且为两个事件，且 P(A)=0.6,P(B)=0.7，问何时，问何时 P(AB)取到最大值和最小值？取到最大值和最小值？分别是多少？分别是多少？(练习练习)由概率的单调性由概率的单调性,解解故故时，时，P(AB)取到最大值取到最大值由加法公式由加法公式,故故时，时，P(AB)取到最小值取到最小值1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系20例例4 概率运算概率运算 设设A，B为两个事件，且为两个事件，且 P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，求求由对立事件的概率运算由对立事件的概率运算,解解故故SAB是多少？是多少？(练习练习)由由1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系211.频率频率(波动波动)概率概率(稳定稳定).2.概率的主要性质概率的主要性质三、小结三、小结1.2 概率论公理化体系概率论公理化体系22Born:25 Apr.1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct.1987 in Moscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov