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1、3.43.4基本基本不不等式等式ab a b2主要内容基本不等式的应用基本不等式的推导及其证明基本不等式的推导及其证明第 1 课时如图是在北京召开的第 24 界 国际数学家大会的会标，会标是根 据中国古代数学家赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗使它看上去像一个 风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关 系或不等关系吗？设直角三角形的两条直角边长为 a、b,那么正方形的边a长2.为b2这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积a2 为 b2将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 AB CD 中有 4 个全等的直角三角形.由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们
2、就得到了一个不等式：a2 b2 2ab当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有a2b2 2ab若a,b R,则a2 b2 2ab(当且仅当a b时“”成立).结论 1：证明：作差比较a2+b2-2ab=(a-b)2当 ab 时，(a-b)20 得a2+b22ab当 a=b 时，(a-b)2=0 得a2+b2=2ab所以对任意a,b R,则a2 b2 2ab,当且仅当a b时“”成立.若a 0,b 0,则 ab a b,当且仅当a b时“”成立.2特别地，如果 a0,b0,我们用a 上面结论中的 a、b，可得a b 2 ab、b分别代替证明同前面结论
3、1结论 2基本不等式2ab a b的几何意义 B，那么 D2 A B即 D ab在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一 点，AC=a,BC=b.过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解易释证吗？tA D tD.2由于 CD 不大于圆的半径a b2ab a b所以其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 a b 时，等号成立.2因此，基本不等式ab a b2的几何意义是“半径不小于半弦”ab a b如果把看作是正数 a、b 的等差中项，把看作是正数 a、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：2a bab两个正数的等差中项不小于它们的等
4、比中项.基本不等式代数意义2ab a b2何平均数，那么a b为 a、b 的算术ab平均数，为几两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基基本不本不等等式式的的推广：推广：则则的的算算术术平平均均数数，na,a,a R ,1 若若2n叫做叫做 n 个个正数正数叫做叫做 n 个正个正a1 a2 ann a1 a2 ann a1 a 2 an数数的几的几何何平平nna均均数数a.a12n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(1)当a R时,a 1 2.a(2)当a,b R时,a b （2当a b时取“”号）.ba例 1.求证：a 1 2.aa证明(1)由 于 a R ,a 1 2当且仅
5、当 a=即 a=1 时，等号成立.a1b a 2.abab(2)由于a、b R ,b a 2即 a=b 时，等号成立.当且仅当 b=aba22333（x y）（x y）（x y）x y y2 2xy 0 x2例 2.已知 x、y 都是正数，求证：（x y）（x2 y2）（x3 y3）x3y3.证明：由于 x、y 都是正数，根据基本不等式得x y 2 xy 0 x3 y3x3 y3 2 0三式相乘得3.当且仅当 x=y 时等号成 立.例 3.若 x0，y0，且 x+y=2，求 x2+y2 的最小值解：x2+y22xy，2(x2+y2)(x+y)22(x y)2 x2 y2 x+y=2，x2+y2
6、2即 x2+y2 的最小值为 2,当且仅当 x=y=1 时取得最小 值.一半时间的速度为 a，另一半时间的速度为 b；乙车 用速度 a 行走了一半路程，用速度 b 行走了另一半路1.“a 0 且 b 0”是“)(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条2.甲、乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地，甲车件aba b 2程，若 ab，则两车到达 B 地的情A 况是()(A)甲车先到达 B 地(B)乙车先到达 B 地(C)同时到达(D)不能判定”成A立的(练习3.已知 a、b、c 都是正数，求证（a b）（b c）（c a）a bc证明：由于 a、b、c 都
7、是正数，根据基本不等式得（a b）（b c）（c a）aab 0bc 0ca 0a b 2b c 2c a 2三式相乘得当b且c仅当 a=b=c 时等号成 立.4.当a,b R时，求证a b 2 ab证明：由 a0,b0,-b0(a)(b)2(a)(b)a b 2 ab当且仅当-a=-b 即 a=b 时等号成立.小结1.基本不等式的推导及其意义2.利用基本不等式证明简单不等式作业P100 P100练 习 1 习题 3.4 A 组 1,2补充作业2.已知a、b、c 0,求证 b c c a a b 6abc3.求证：a2 b2 c2 ab bc ca2222222a2a2a2a2(A)2a b
8、ab(D)b2a b b2(C)ab b2a b(B)ab b2ab a b1.设a,b R,且a b,则下列各式中正确的是（）基本不等式的应用第 2 课时复习：基本不等式1.若a、b R,则a2 b2 2ab(当且仅当a b时“”成立).2.若a、b R,则 ab a b,当且仅当a b时“”成立.2对于结论 2，应把握三点：“一正、二定、三相 等”例 1（1）用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？2（2）一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最 大面积是多少?可得分
9、析：对于(1)矩形菜园的面积是确定的,长和宽 没有确定.篱笆最短即矩形的周长最短.解：（1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 xy=100，篱笆的长为 2（x+y）m.由x y 2 1002(x y)40当且仅当 x=y 时等号成立，此时 x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为 10m 时，所用的篱 笆最短，最短的篱笆是 40m.解：（2）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜园的面积为 xy m2.由可得分析：对于(2)矩形菜园的周长是确定的,长和宽 没有确定.菜园的面积最大即矩形的面积最大.xy x y 18 922xy 81当且仅当
10、 x=y 时，等号成立，此时 x=y=9.因此，这个矩形的长、宽都为 9m 时，菜园的面 积最大，最大面积是 81m2.；1.已知两个正数 x，y，求 x+y 与 xy 的最值.(1)xy 为定值 p，那么当 x y 时，x+y 有最2 小p值1 s2利用基本不等式求最值的要点2ab a b(2)x+y 为定值 s，那么当 x y 时，积 xy 有最4大值.2.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常 数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2 的造价 为 150 元，池壁每
11、1m2 的造价为 120 元，问怎样设 计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问 题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了基本不等式定理.z 240000 720(x 1600)240000 720 2 40 297600 240000 720 2x x x 1600 xx 1600,即x 40时,z有最小值2976000.解：设水池底面一边的长度为 x m，水池的总 造价为 z 元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元.的最小值以及取得例 3.已知 x 1，求 x1
12、x 1最小值时 x 的值.解：因为 x 1.当且仅当 x 1 1（x1)即 x=2 时，取“”号x 1答：最小值是 3，取得最小值时 x 的值为 2.11所以 x 1 01x 1(x 1)x 1x 11 2 1 3x 1 2(x 1)例 4求 x+y 的最小值.已知 x,y R ,ya、b 为正常数，且xa b 1 0 x a 0 x abx解1 a b 1 y：xybxx a x y x a b x b(x a)ab (x a)ab x ax a 2 ab a b (a b)2解2:x y (x y)(a b)xy a b a y b x a b 2 ab (a b)2 xy的最小值.tt
13、(0,1单调递减，t 1,)单调递增分分析析：利利用用函数函数y t 1(t0)(t0)的的单单调调性性 .x2x2x2x2 5 4 1解解:y 4 421x2x 4 4x2令 t 4则y t 1(t 2)tmin 52当t 2,即:x 0时,y45x 2x 2例 5.求函数y)(B)0 x sinx4e-x(C)y 4ex(D)y log3 x log x 30 x 1xy sinx 1 下列下列函函数中数中，最最小小值为值为 4 的是的是 (C(A)y x 4练习2.某某公公司司租租地地建建仓仓库库，每每月月土土地地占占用用费费 y1 与与仓仓库库 到到车车站站的的距距离离成成反反比比，而
14、而每每月月库库存存货货物物的的运运费费 y2 与与到到 车车站的距离成正比，如果在距站的距离成正比，如果在距离离车车站站 10 公里公里处处建建仓仓库库，这这两两项项费费用用 y1 和和 y2 分分别别为为 2 万万元元和和 8 万万元，那么元，那么要要 使使这这两两项项费费用用之和之和最最小小，仓库仓库应应建在建在离离车车A站站 ()(A)5 公公里里(B)4 公里公里(C)3 公公里里 (D)2 公里公里的的最最小小值值.xy114.若正数若正数 x、y 满满足足 x+2y 1.求求的的最小最小值值是是.xy523.已知已知 lgx+lgy 1，5.已已知正数知正数 a、b 满满足足 a+
15、b 1.的最的最小小值值 .ab(1)求求 ab 的取的取值值范范围围；(2)求求ab 1当时取“=”5x 1 x 1即x 5 1x2 3x 1(x 1)2 5(x 1)5 x 1x 1x 1x 1 05 x 1 5x 15 5 25 5x 1又 x 1 即当 x 5 1最小值为时,函数的25 5解解:f(x)6.求函数 的最小值.(x1)x 1x 3x 12f(x)7.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造 一底宽为 2 米的无盖长方形沉淀箱，污水从 A 孔 流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比.
16、现有制箱材料 60 平 方米，问当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔的面积忽 略不计).ABba小结；1.已知两个正数 x，y，求 x+y 与 xy 的最值.(1)xy 为定值 p，那么当 x y 时，x+y 有最2 小p值1 s2(2)x+y 为定值 s，那么当 x y 时，积 xy 有最4大值.2.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常 数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”一正,二定,三相等3.利用基本不等式求函数最值的步骤:各项必须为正;含变数的各项和或积必须为定值;必须有自变量值能使函数取到等号.作业习题 P100-101 组，2,3,4 组 1,2